1、第二章圆锥曲线1椭圆1.2椭圆的简单几何性质课后篇巩固提升合格考达标练1.已知椭圆C:x2a2+y24=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A.13B.12C.22D.223答案C解析因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以其焦点在x轴上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=22,所以椭圆C的离心率e=ca=22.2.过椭圆x24+y23=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为()A.8,6B.4,3C.2,3D.4,23答案B解析由题意知a=2,b=3,c=1,最长弦过两个焦点,长为2a=4,最短弦垂直于x轴,长度为当x=c=1时,纵坐标的绝对值的2倍,长度为3.3.已知椭圆x2
2、a2+y2b2=1与椭圆x225+y216=1有相同的长轴,椭圆x2a2+y2b2=1的短轴长与椭圆y221+x29=1的短轴长相等,则()A.a2=25,b2=16B.a2=9,b2=25C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25D.a2=25,b2=9答案D解析椭圆x225+y216=1的长轴长为10,椭圆y221+x29=1的短轴长为6,由题意可知椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上,即有a=5,b=3.所以a2=25,b2=9.4.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值为()A.12B.14C.2D.4答案B解析因为椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上
3、,短半轴长为1,长轴长是短轴长的2倍,故1m=2,解得m=14.5.焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为45,则椭圆的标准方程为()A.x236+y216=1B.x216+y236=1C.x26+y24=1D.y26+x24=1答案A解析依题意得c=25,a+b=10,又a2=b2+c2,所以解得a=6,b=4,椭圆的标准方程为x236+y216=1.6.已知长方形ABCD,AB=4,BC=3,则以A,B为焦点,且过点C,D的椭圆的离心率为.答案12解析如图,AB=2c=4,点C在椭圆上,|CB|+|CA|=2a=3+5=8,e=2c2a=48=12.7.已知椭圆的短半轴长为1,离心率
4、0e32,则长轴长的取值范围为.答案(2,4解析e=1-(ba)2,b=1,0e32,01-(1a)232,则1a2,2b0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点M43,13,求椭圆C的离心率.解2a=|MF1|+|MF2|=(43+1)2+(13)2+(43-1)2+(13)2.所以a=2.又由已知c=1,所以椭圆C的离心率e=ca=12=22.等级考提升练9.如图,已知F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M,N,若过F1的直线MF1是圆F2的切线,则椭圆的离心率为()A.3-1B.2-3C.22D.32答案A解
5、析过F1的直线MF1是圆F2的切线,F1MF2=90,|MF2|=c,|F1F2|=2c,|MF1|=3c,由椭圆定义可得|MF1|+|MF2|=c+3c=2a,椭圆离心率e=21+3=3-1.10.椭圆(m+1)x2+my2=1的长轴长是()A.2m-1m-1B.-2-mmC.2mmD.-21-mm-1答案C解析椭圆方程可化简为x211+m+y21m=1,由题意,知m0,11+mb0)上,点M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点,则当|OM|取最小值时,椭圆的离心率为()A.33B.12C.22D.32答案C解析点P(2,1)在椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上,可得4a2+1b2=1,
6、M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点,则|OM|=(a2+b2)(4a2+1b2)=5+4b2a2+a2b25+24b2a2a2b2=3,当且仅当a2=2b2时,等号成立,此时由4a2+1b2=1,a2=2b2,解得a2=6,b2=3.所以e=a2-b2a2=12=22.故选C.13.(多选题)如图,已知F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,点P是该椭圆在第一象限内的点,F1PF2的平分线交x轴于Q点,且满足OF2=4OQ,则椭圆的离心率e可能是()A.18B.14C.12D.34答案CD解析OF2=4OQ,|QF2|=34c,|OQ|=14c,则QF1=54c.
7、PQ是F1PF2的平分线,|PF1|PF2|=|QF1|QF2|=53,又|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|=5a4,|PF2|=3a4.在PF1F2中,由余弦定理得cosF1PF2=2516a2+916a2-4c225a43a4=1715-3215e2,-1cosF1PF21,-11715-3215e21,解得14eb0),由e=22,知ca=22,故b2a2=12.由于ABF2的周长为|AB|+|BF2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=16,故a=4,b2=8,椭圆C的方程为x216+y28=1.15.如图,把椭圆x24+y22=4的长轴A
8、B分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=.答案28解析根据题意,把椭圆x24+y22=4的长轴AB分成8等份,设另一焦点为F2,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则根据椭圆的对称性知,|P1F|+|P7F|=|P7F2|+|P7F|=2a,同理,其余两对的和也是2a.又|P4F|=a,|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+
9、|P7F|=7a=28.16.(1)求与椭圆x29+y24=1有相同的焦点,且离心率为55的椭圆的标准方程;(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在x轴上的椭圆的标准方程.解(1)c=9-4=5,所求椭圆的焦点为(-5,0),(5,0).设所求椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0).e=ca=55,c=5,a=5,b2=a2-c2=20,所求椭圆的方程为x225+y220=1.(2)椭圆的焦点在x轴上,设它的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0).2c=8,c=4,又a=6,b2=a2-c2=20.椭圆的方程为x236+y220=1.
10、新情境创新练17.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上有一点P,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆内一点Q在线段PF2的延长线上,且QF1QP,sin F1PQ=513,则该椭圆离心率的取值范围是()A.2626,1B.15,53C.15,22D.2626,22答案D解析QF1QP,点Q在以F1F2为直径,原点为圆心的圆上,点Q在椭圆的内部,以F1F2为直径的圆在椭圆内,cb.c2a2-c2,e212,故0e22.sin F1PQ=513,cos F1PQ=1213.设|PF1|=m,|PF2|=n,则|PF1|+|PF2|=m+n=2a,在PF1F2中,由余弦定理得4c2=m2+n2-2mn1213.4c2=(m+n)2-2mn-2mn1213,即4c2=4a2-5013mn,mn=2625(a2-c2).由基本不等式得mnm+n22=a2,当且仅当m=n时取等号,由题意知QF1QP,mn,mnm+n22=a2,2625(a2-c2)a2,a2126,e2626,综上可得2626e22.
