1、学科网（北京）股份有限公司2023 学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 2答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号 3所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效 4考试结束后，只需上交答题卷选择题部分一、选择题：本题 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 1抛物线24xy=的准线方程为（）A1x=B2x=C1y=D2y=2数列 1，53，52，175，的通项公式可能是（）A211nnan+=+B211nnan+=+C221nnan=D221nnan
2、=3已知直线 1l：10mxy+=，2l：()3230 xmym+=，若 12ll，则 m 的值为（）A1 B3 C1 或3 D1 或 3 4已知两条直线 m，n，两个平面，则下列命题正确的是（）A若mn且 n，则m B若m且 n，则mn C若m且 n，则mn D若且 m，则m 5已知点()4,2P 和圆 Q：()()224216xy+=，则以 PQ 为直径的圆与圆 Q 的公共弦长是（）A2 5 B2 3 C4 5 D4 3 6江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面 10 米，水面宽20 5AB=米，若水面上升 5 米，则水面宽为（）A10 2 米 B15 2 米 C1
3、2 3 米 D30 米 学科网（北京）股份有限公司7在正三棱台111ABCA B C中，111132A BAAAB=，11A BABO=，则异面直线 OC 与1BC 所成角的余弦值是（）A 13 B23 C33 D 23 8如图，是由一系列直角三角形拼接而成的几何图形，已知1122311nnOAA AA AAA=，记1OA，2OA，nOA 的长度构成的数列为 na，则202411iia=的整数部分是（）A87 B88 C89 D90 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错和不选的
4、得 0 分 9已知向量()1,2,0a=，()2,4,0b=，则下列正确的是（）Aab Bab C2ba=Da在b方向上的投影向量为()1,2,0 10若正项数列 na为等比数列，公比为 q，其前 n 项和为nS，则下列正确的是（）A数列21na是等比数列 B数列lgna是等差数列 C若 na是递减数列，则01q的焦点为 F，过焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，分别过点 A，B 作准线 l 的垂线，垂足分别为1A，1B，则（）学科网（北京）股份有限公司AA，B 两点的纵坐标之和为常数 B在直线 l 上存在点 P，使90APB CA，O，1B 三点共线 D在直线 l 上存在点 P，使得A
5、PB的重心在抛物线上 12在正三棱锥 SABC中，SA，SB，SC 两两垂直，2AB=，点 M 是侧棱 SC 的中点，AC 在平面 内，记直线 BM 与平面 所成角为，则当该三棱锥绕 AC 旋转时 的取值可能是（）A53 B60 C75 D89 非选择题部分三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13经过()0,2A，()1,0B 两点的直线的方向向量为()1,k，则k=_ 14已知数列 na为等比数列，163a=，公比12q=，若nT 是数列 na的前 n 项积，当nT 取最大值时，n=_ 15已知某圆锥底面直径与母线长之比为6:5，其内切球半径为 1，则此圆锥的体积等于
6、_ 16已知双曲线 C 的渐近线方程为 yx=，两顶点为 A，B，双曲线 C 上一点 P 满足3PAPB=，则tanAPB=_ 四、解答题：共 6 大题，共 70 分，其中第 17 题 10 分，第 18 题第 22 题每题 12 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知等差数列 na的前 n 项和为nS，749S=，59a=（）求nS；（）若3S、118SS、kS 成等比数列，求 k 的值 18已知圆 C 的圆心在直线25yx=+上，且过()2,4A，()2,6B两点（）求圆 C 的方程；（）已知 l：()()()131510mxmym+=，若直线 l 与圆 C 相切，求实数 m
7、 的值 19如图，已知斜三棱柱111ABCA B C，底面ABC是正三角形，12AAAB=，11A ABA AC=，点 N 是棱11B C 的中点，13AN=（）求证：1BCAA；学科网（北京）股份有限公司（）求平面1A AN 与平面 ANB 的夹角的余弦值 20已知点 F 为抛物线 C：()2201ypxp=的焦点，点()0,1A x在抛物线 C 上，且54AF=（）求抛物线 C 的方程；（）若直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点，设直线 AM，AN 的斜率分别为1k，2k，且1212kk=，求证：直线 l 过定点 21已知数列 na满足12a=，()()*111pnnnapana+=
8、+N（）若0p=，求数列3nna的前 n 项和nS；（）若1p=，设数列1na的前 n 项和为nT，求证：112nT过椭圆2C：22143xy+=的左，右顶点 A，B（）求双曲线1C 的方程；（）()()0000,0,0P xyxy是双曲线1C 上一点，直线 AP，BP 与椭圆2C 分别交于 D，E，设直线 DE与 x 轴交于(),0QQ x，且20102Qxx=，记BDP与ABD的外接圆的面积分别为1S，2S，求12SS的取值范围 2023 学年第二学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科首命题：柯桥中学次命题兼审校：丽水中学审核：瑞安中学一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分
9、，共 40 分 1C 2A 3B 4C 5D 6D 7B 8B 8解析：由题意知，1122311nnOAA AA AAA=且12OA A，23OA A，1nnOAA都是直角三角形，所以11a=，且2211nnaa=+，所以数列2na是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，所以学科网（北京）股份有限公司()2024211111111122024niianna=+=+，1111222 202412 202518911220241220232024+=+=+，即1118889122024+，所以所求整数部分都是 88，故选：B 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 9ACD 1
10、0ABC 11CD 12AB 12当 BM 与平面 平行时，cos1=；由最小角定理，直线与平面所成的角是直线与平面内的线所成角中最小的角，所以 小于等于 BM 与 AC 所成的角，分别取 SC，SA 的中点 M，N，连接 MN，BM，BN 在BMN中，102BMBN=，1MN=，得10cos10BMN=，故10cos,110 因为()62cos75cos 45304=+=，1cos602=，而621014102，所以075，A，B 为左右顶点 设(),P x y，因为3PAPB=，所以()()222299xayxay+=+，化简得：222502xaxya+=，则222222502xyaxax
11、ya=+=，解得5434xaya=，所以53,44Paa，作 PDx轴于 D()13tantan43tantan11tantan31 33APDBPDAPBAPDBPDAPDBPD=+四、解答题（共 6 大题，共 70 分，其中第 17 题 10 分，第 18 题第 22 题每题 12 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17解析：（）设等差数列的首项为1a，公差为 d，由749S=，59a=，所以71517 6749249Sadaad=+=+=，解得121da=，所以21nan=，则()21212nnnSn+=（）由（）可知2339S=，11857SS=，2kSk=，又3S、118S
12、S、kS 成等比数列，所以()21183kSSSS=，即22579 k=，解得19k=或19k=（舍去）18解析：（）方法一：设圆心 C 的坐标为(),a b，则25ba=+，又 CACB=，则()()()()22222426abab+=+即250ab+=，得0a=，5b=，所以圆 C 的半径5rAC=，所以圆 C 的方程是()2255xy+=（或2210200 xyy+=）学科网（北京）股份有限公司方法二：AB 的中点坐标为()0,5，12ABk=，则 AB 的中垂线方程为25yx=+则2525yxyx=+=+，解得05xy=，所以圆心 C 的坐标为()0,5，所以圆 C 的半径5rAC=，
13、所以圆 C 的方程是()2255xy+=（或2210200 xyy+=）（）设圆心 C 到直线的距离为 d，由题意可得()()()()2225 3155101051042131mmmdmmmm+=+，平方整理后可得251890mm+=，解得35m=或3m=19解析：（）取 BC 的中点 M，连接 AM，1A B，1AC，1A M，三棱柱111ABCA B C中，ABBCCA=，AMBC，又11A ABA AC=，11A ABA AC，11A BAC=，1A MBC，又1A MAMM=，BC 面1AA M，1BCAA（）方法一：连接 MN，在AMN中，13AN=，3AM=，2MN=，即2223c
14、os22AMMNANAMNAM MN+=，即150AMN=如图建系，()3,0,0A，()0,1,0B，()3,0,1N，有()3,1,0BA=，()2 3,0,1AN=，设面 ABN 的法向量为(),nx y z=，则302 30 xyxz=+=，解得面 ABN 的一个法向量()1,3,2 3n=，面1AA N 的一个法向量()0,1,0m=，3cos,4n mn mn m=，所以平面1A AN 与平面 ANB 的夹角的余弦值为34 学科网（北京）股份有限公司（）方法二：连接 MN，在AMN中，13AN=，3AM=，2MN=，即2223cos22AMMNANAMNAM MN+=，即150AM
15、N=作 MFAN于 F，连 BF 因为 BC 平面 AMN，AN 平面 AMN，所以 ANBC，又 BCMFM=，所以 AC 平面 BMF，BF 平面 BMF，所以 ANBF，所以BFM为二面角 BANM的平面角 在AMN中，11sin15022AN FMAM MN=，得3913FM=则22134BFBMMF=+=，所以3cos4FMBFMBF=所以平面1A AN 与平面 ANB 的夹角的余弦值为34 20解析：（）由题意得：0052421pxpx+=，解得0121px=，或0214px=（舍去），所以抛物线 C 的方程为2yx=（）方法一：（1）当直线 l 斜率存时，设直线 l：()0ykx
16、m k=+，()11,M x y，()22,N xy，学科网（北京）股份有限公司则2yxykxm=+，消去 x，整理得20kyym+=，则1 40km=，121yyk+=，12myyk=，而()()()121212121212111111111yyk kxxyyy yyy=+112kmk=+，整理得310mk+=，所以1 3mk=，所以直线 l：()1 331ykxkk x=，所以直线 l 过定点()3,1（2）当直线 l 斜率不存时，设直线 l：()0,1xm mm=，则(),M mm，(),N mm，则1211111112mmkkmmm=，得3m=，所以直线 l：3x=，则点()3,1在直
17、线 l 上 综上：直线 l 过定点()3,1（）方法二：设()211,M tt，()222,N tt，则()()1212221212111111112ttk ktttt=+，则()1 2123t ttt=+，直线 l 的方程为()221112221ttytxttt=，则()()121 22112211221311131ttt tyxxxtttttttttt+=+=+=+，所以直线 l 过定点()3,1 21解析：（1）当0p=时，则111nnaa+=，得11nnaa+=，所以11nnaa+=，所以数列 na是以12a=为首项，公差为 1 的等差数列 所以()2111nann=+=+，则()31
18、 3nnnan=+，所以()232 33 34 31 3nnSn=+，()234132 33 34 31 3nnSn+=+，学科网（北京）股份有限公司两式相减得()23412633331 3nnnSn+=+()()21131 361 31 3nnn+=+，所以1321 344nnnS+=+（）当1p=时，由111nnnaaa+=，得211nnnaaa+=+，所以()2212110nnnnnaaaaa+=+=，所以数列 na单调递增，因为12a=，所以2na，又由111nnnaaa+=，可得()111nnnaaa+=，所以()11111111nnnnnaaaaa+=，即111111nnnaaa+
19、=，则1212231111111111111111111111nnnnnTaaaaaaaaaaa+=+=+=，所以1111nnTa+=，易知1111na+为递增数列，且23a=，所以21111111211naa+=，即：112nT，所以02x=把02x=代入双曲线方程得2204143y=，解得2033y=，则点2233,P 设DBP与ABD的外接圆的半径分别为 1r，2r，由正弦定理得12sinPBrBDP=，22sinABrADB=，因为180ADBBDP+=，所以sinsinBDPADB=则2221122231492377744BPSrSrAB+=因为102，所以1213,4SS+（）方法
20、二：设直线 DE：xtym=+，()11,D x y，()22,E xy，则223412xtymxy=+=，消 x 得：()2223463120tytmym+=，所以122634tmyyt+=+，212231234my yt=+，得()2121242my yyymt=+，因为 P，A，D 三点共线，则011022yyxx=+，学科网（北京）股份有限公司因为 P，B，E 三点共线，则022022yyxx=，两式相除得()()1202102222yxxyxx=+，而()()()()()()()()()()()()2121121212122121122122422222222422myym myyx
21、y tymty ymyyxytymty ymymyym my+=+()()()()()()121222222222mm ym ymmmm ym y+=+因为20Qxx=，所以20mx=因为002222xmmx=+，所以2002002222xxxx=+，得02x=，把02x=代入双曲线方程得2204143y=，解得2033y=，则点2233,P 设DBP与ABD的外接圆的半径分别为 1r，2r，由正弦定理得12sinPBrBDP=，22sinABrADB=，因为180ADBBDP+=，所以sinsinBDPADB=，则2221122231492377744BPSrSrAB+=，因为102，所以1213,4SS+
