1、第四章 三角函数、解三角形第三节 简单的三角恒等变换第2课时 简单的三角恒等变换栏目导航12课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 堂 考 点 突 破1考点 三角函数式的化简|题组突破|1化简：sin()cos()cos()sin()_.解析：sin()cos()cos()sin()sin()cos()cos()sin()sin()()sin()答案：sin()2化简：（1sin cos）cos2sin222cos(0)_.解析：原式 2cos222sin2cos2 cos2sin24cos22 cos2cos22sin22cos2cos2cos cos2.因为 0，所以 020，所以
2、原式cos.答案：cos 3化简：sin（）2sin cos 2sin sin cos（）_解析：原式sin cos cos sin 2sin cos 2sin sin cos cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos cos sin（）cos（）tan()答案：tan()4化简：2cos42cos2122tan4 sin24_解析：原式12（4cos44cos21）2sin4cos4cos24（2cos21）24sin4 cos4cos222sin22 cos222cos 212cos 2.答案：12cos 2名师点津 1三角函数式的化简要遵循“三看”原
3、则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等2化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等考点一 三角函数式的求值 命题角度一 给角求值【例 1】(一题多解)cos 15sin 15cos 15sin 15_解析 解法一：原式1tan 151tan 15 tan 45tan 151tan 45tan 15tan 30 33.解法二：原式 2（sin 45cos 15cos 45sin 15）2（sin 45co
4、s 15cos 45sin 15）sin 30sin 601232 33.解法三：因为cos 15sin 15cos 15sin 1521sin 301sin 3013，又cos 15sin 15cos 15sin 150，所以cos 15sin 15cos 15sin 15 33.答案 33命题角度二 给值求值【例 2】已知 0，2，且 2sin2sin cos 3cos20，求sin4sin 2cos 21的值解 因为 0，2，且 2sin2sin cos 3cos20，则(2sin 3cos)(sin cos)0，所以 2sin 3cos，又 sin2cos21，所以 cos 213，s
5、in 313，所以sin4sin 2cos 21sin cos 4cos sin 4（sin 21）cos 222（sin cos）（sin cos）2（cos2sin2）24cos 268.命题角度三 给值求角【例 3】(1)已知 cos 17，cos()1314，若 02，则 _(2)已知，(0，)，且 tan()12，tan 17，则 2 的值为_解析(1)由 cos 17，02，得 sin 1cos211724 37.由 02，得 00，又(0，)，00，022，tan(2)tan 2tan 1tan 2tan 3417134171.tan 170，2，20，234.答案(1)3(2)
6、34名师点津 1“给角求值”“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法2“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为2，2，选正弦较好|跟踪训练|1tan 70cos 10(3tan 201)等于()A1 B2C1 D2解析：选 C tan 70cos 10(3tan 201)sin 70cos 70cos 103sin 20cos
7、 201 cos 20cos 10sin 20 3sin 20cos 20cos 20 cos 102sin（2030）sin 20sin 20sin 20 1.2若 2cos 2cos4 3sin 2，则 sin 2()A.13B.23C23D13解析：选 C 由题意知，2（cos2sin2）cos sin 3sin 2，2(cos sin)3sin 2，则 4(1sin 2)3sin22，因此 sin 223或 sin 22(舍)3设 cos 55，tan 13，32，02，则 的值是_解析：由 cos 55，32，得 sin 2 55，则 tan 2，又 tan 13，于是 tan()t
8、an tan 1tan tan 21312131.又由 32，02，可得232，因此，54.答案：54考点二 三角变换的简单应用【例 4】设函数 f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos x 的图象关于直线 x 对称，其中，为常数，且 12，1.(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)若 yf(x)的图象经过点4，0，求函数 f(x)在区间0，35 上的最值解(1)f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos x 3sin 2xcos 2x2sin2x6，因为图象关于直线 x 对称，所以 262k，kZ，所以 k213，又 12，1，令 k1 时，56符合要求，所以函数 f(
9、x)的最小正周期为 225665.(2)由(1)可知，f(x)2sin53x6，因为 f4 0，所以 2sin5346 0，则 2.所以 f(x)2sin53x6 2.由 0 x35，得653x656，所以当53x66，即 x0 时，f(x)有最小值1 2，当53x62，即 x25 时，f(x)取最大值 2 2.名师点津 1进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用2把形如 yasin xbcos x 化为 y a2b2sin(x)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性|跟踪训练|4已知函数 f(x)(a2cos2x)cos(2x)
10、为奇函数，且 f4 0，其中 aR，(0，)(1)求 a，的值；(2)若 f4 25，2，求 sin3 的值解：(1)f(x)(a2cos2x)cos(2x)为奇函数，而 ya2cos2x 为偶函数，ycos(2x)为奇函数(0，)，2，f(x)sin 2x(a2cos2x)f4 sin2a2cos24(a1)0，a1.(2)由(1)知，f(x)12sin 4x.f4 12sin 25，sin 45.又2，cos 35.sin3 sin cos3cos sin3451235 32 43 310.考点 三角恒等变换的实际应用【例】如图，现要在一块半径为 1 m，圆心角为3的扇形白铁片 AOB 上
11、剪出一个平行四边形 MNPQ，使点 P 在弧 AB 上，点 Q 在 OA 上，点 M，N 在 OB 上，设BOP，平行四边形 MNPQ 的面积为 S.(1)求 S 关于 的函数关系式；(2)求 S 的最大值及相应的 角解(1)分别过 P，Q 作 PDOB 于点 D，QEOB 于点 E，则四边形 QEDP 为矩形由扇形半径为 1 m，得 PDsin，ODcos.在 RtOEQ 中，OE 33 QE 33 PD 33 sin，MNQPDEODOEcos 33 sin，则 SMNPDcos 33 sin sin sin cos 33 sin2，0，3.(2)由(1)知，S12sin 2 36(1co
12、s 2)12sin 2 36 cos 2 36 33 sin26 36，因为 0，3，所以 266，56，sin26 12，1.当 6时，Smax 36m2.名师点津 利用三角恒等变换解决实际问题的思路(1)结合具体图形引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行化简，解决最优化问题(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的范围，最后作出结论并回答问题提醒 注意恰当选择自变量，并利用解直角三角形等知识表示有关线段|跟踪训练|如图，有一块以点 O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形 ABCD 开辟为绿地，使其一边 AD 落在半圆的直径上，另两点B，C 落
13、在半圆的圆周上已知半圆的半径长为 20 m，如何选择关于点O 对称的点 A，D 的位置，可以使矩形 ABCD 的面积最大，最大值是多少？解：连接 OB，设AOB，则 ABOBsin 20sin，OAOB cos 20cos，且 0，2.因为 A，D 关于原点对称，所以 AD2OA40cos.设矩形 ABCD 的面积为 S，则SADAB40cos 20sin 400sin 2.因为 0，2，所以当 sin 21，即 4时，Smax400 m2.此时 AODO10 2 m.故当 A，D 距离圆心 O 为 10 2 m 时，矩形 ABCD 的面积最大，其最大面积是 400 m2.点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS
