1、专题训练(七)四种特殊的等腰三角形的运用类型一等腰直角三角形定义：有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形性质：(1)两条直角边相等；(2)顶角是90，底角是45.判定：利用定义1如图7ZT1，轮船从B处以每小时50 n mile的速度沿南偏东30方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60方向上，则C处与灯塔A的距离是_n mile. 图7ZT12如图7ZT2，ABC和ADE都是等腰直角三角形，且BACDAE90，点B，C，D在同一条直线上求证：BDCE.图7ZT23如图7ZT3，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，BEAC
2、，垂足为E，ABE的平分线交AD于点F，判断DBF的形状，并证明你的结论图7ZT34如图7ZT4，在RtABC中，BAC90，AC2AB，D是AC的中点将一块含45角的三角尺ADE按如图所示方式放置，使三角尺斜边的两个端点分别与点A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想图7ZT4类型二等边三角形定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形性质：(1)三边都相等；(2)三个角都是60.判定：(1)定义；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形5如图7ZT5所示，在ABC中，ABAC，A120，BC6 cm，AB的垂直平
3、分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为()A4 cm B3 cm C2 cm D1 cm图7ZT56.如图7ZT6，在ABC中，ABAC，D，E是ABC内两点，AD平分BAC，EBCE60.若BE6 cm，DE2 cm，则BC_cm. 图7ZT67如图7ZT7，ABC是等边三角形，E是BC边上任意一点，AEF60，EF交等边三角形的外角ACD的平分线于点F.求证：AEEF.图7ZT7类型三有一个角是30的等腰三角形82019荆州 如图7ZT8，在ABC中，ABAC，A30，AB的垂直平分线l交AC于点D，则CBD的度数为()A30 B45 C5
4、0 D75图7ZT89如图7ZT9，在RtABC中，C90，B30，BC3，D是BC边上一动点(不与点B，C重合)，过点D作DEBC交AB边于点E，将B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当AEF为直角三角形时，BD的长为_图7ZT910如图7ZT10，在ABC中，ABC45，D是ABC的边BC上一点，DC2DB，ADC60，CEAD，垂足为E，连接BE.求证：EAEBEC.图7ZT10类型四有一角是36的等腰三角形有一角是36的等腰三角形包括两种情况：(1)顶角是36的等腰三角形，此时底角是72；(2)底角是36的等腰三角形，此时顶角是108.这两类等腰三角形具有一些共性11如图7Z
5、T11，过正五边形ABCDE的顶点A作直线lBE，则1的度数为()A30 B36C38 D45图7ZT11122019益阳 如图7ZT12，在ABC中，ABAC，BAC36，DE是线段AC的垂直平分线，若BEa，AEb，则用含a，b的代数式表示ABC的周长为_图7ZT1213如图7ZT13所示，在ABC中，ABAC，D为BC上一点，且ABBD，ADDC，则BAC_度图7ZT1314如图7ZT14，在ABC中，ABAC，A36，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形请完成以下操作：(画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括ABC)(1)在图中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直
6、接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是_度和_度；(2)在图中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；(3)继续按以上操作发现：在图中画n条线段，则图中有_个等腰三角形，其中有_个黄金等腰三角形图7ZT14详解详析1答案 25解析 由题意知ABC45，ACB90，于是A45，ABC是等腰直角三角形，ACBC5025(n mile)2证明：ABC和ADE都是等腰直角三角形，ADAE，ABAC.又DAB90CAD，EAC90CAD，DABEAC.在ADB和AEC中，ADAE，DABEAC，ABAC，ADBAEC(SAS)，BDCE.3解：DBF是等腰直角三角形证明：ABAC，D是BC的中点，ADBC，
7、AD平分BAC.BF平分ABE，BEAC，DFBDABABF(BAEABE)(180AEB)45，DBF90DFB45，DBDF，DBF是等腰直角三角形4解：数量关系：BEEC，位置关系：BEEC.证明：AED是等腰直角三角形，AED90，EADEDA45，AEDE.BAC90，EABEADBAC9045135，EDCADCEDA18045135，EABEDC.D是AC的中点，AC2CD.又AC2AB，ABDC，EABEDC，EBEC，且AEBDEC，BECBEDDECBEDAEBAED90，即BEEC.5C6答案 8解析 延长AD交BC于点M，由ABAC，AD平分BAC可得AMBC，BMMC
8、BC.延长ED交BC于点N，则EBN是等边三角形，故ENBNBE6，DN624.在RtDMN中，MDN90DNM30，MNDN2，BM624，BC2BM8 cm.7证明：如图，在AB上截取AGCE，连接EG.ABC是等边三角形，ABBC，BACB60，BGBE，BEG是等边三角形，BGE60，AGE120.CF平分ACD，ACF(180ACB)60，ECF120，AGEECF.AECBGAEAEFCEF，且AEFB60，GAECEF，AGEECF(ASA)，AEEF.8解析 BABAC，A30，ABCACB75.AB的垂直平分线交AC于点D，ADBD.AABD30.CBDABCABD75304
9、5.故选B. 9答案 1或2解析 根据题意，得AEF2B60.(1)当AFE90时，如图，则FAB90AEF30，FABB，AFBF.B30，BAC60，FAC30.在RtFAC中，FCAFBFBC1，BFBCFC2，BDBF1；(2)当EAF90时，如图，同理可得FCAF.在RtBAF中，FABF. FCBFBC1，BFBCCF4.BDBF2.综上所述，BD的长为1或2.10证明：CEAD，ADC60，DCE30，DC2DE.DC2DB，DEDB，EBCADC30，EBCECB30，EBEC.DABADCABC15，EBAABCEBC453015，DABEBA，EAEB.EAEBEC.11B12答案 2a3b解析 根据题意可知ACABab.DE是线段AC的垂直平分线，BAC36，ACE36，BBEC72，BCCEAEb，ABC的周长2(ab)b2a3b.1310814. 解：(1)如图所示(画图不唯一)空格处分别填：108，36.提示：当AEBE时，AABE36，则AEB108，EBC36，这2个等腰三角形的顶角度数分别是108和36. (2)答案不唯一，如图所示(3)空格处分别填：2n，n.提示：画1条线段可得到2个等腰三角形；画2条线段可得到4个等腰三角形；画3条线段可得到6个等腰三角形在ABC中画n条线段，则图中有2n个等腰三角形，其中有n个黄金等腰三角形
