1、高考资源网（） 您身边的高考专家章末复习提升课1空间向量运算的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)(1)ab(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，aba1b1a2b2a3b3.(2)重要结论ababa1b1，a2b2，a3b3(R)；abab0a1b1a2b2a3b30.2模、夹角和距离公式(1)设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则|a|；cosa，b .(2)设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB|.3空间向量的运算与线面位置关系的判定(1)设直线l的方向向量是u(a1，b1，c
2、1)，平面的法向量v(a2，b2，c2)，则luvuv0a1a2b1b2c1c20，luvukv(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)a1ka2，b1kb2，c1kc2(kR)(2)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为u，v，则lmabakb，kR；lmabab0；lauau0；lauaku，kR；uvukv，kR；uvuv0.1关注零向量(1)由于零向量与任意向量平行，所以由ab，bc无法推出ac.(2)0a0，而0a0.2弄清立体几何中的“空间角”与向量“夹角”的联系与区别(1)利用直线的方向向量求异面直线所成的角，若方向向量的夹角是锐角或直角，则可直接将该结果作为
3、所求角，若方向向量的夹角是钝角，则应将钝角的补角作为所求的角(2)利用直线的方向向量和平面的法向量求线面角，若两个向量的夹角是锐角，则该锐角的余角为所求的线面角，若两个向量夹角是钝角，则该钝角减去90为所求的线面角(3)利用平面的法向量求二面角时，若法向量的夹角与二面角的平面角同为锐角或钝角，则法向量的夹角就是所求的二面角，否则法向量的夹角的补角才是所求的二面角空间向量与空间位置关系用向量方法证明平行与垂直问题的一般步骤是：(1)建立立体图形与空间向量的关系，利用空间向量表示问题中所涉及到的点、线、面，把立体几何问题转化为空间向量问题(2)通过向量的运算研究平行或垂直关系，有时可借助于方向向量
4、或法向量(3)根据运算结果解释相关的问题已知，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BC90，AB4，CD1，点M在PB上，且PB4PM，PB与平面ABC成30角求证：(1)CM平面PAD；(2)平面PAB平面PAD.【证明】如图所示，建立空间直角坐标系(1)因为PC平面ABCD，所以PBC为PB与平面ABC所成的角，所以PBC30.因为|PC|2，所以|BC|2，|PB|4，得D(0，1，0)，B(2，0，0)，A(2，4，0)，P(0，0，2)又|PB|4|PM|，所以|PM|1，M(，0，)，所以(，0，)，(0，1，2)，(2，3，0)设N为PA上一点，则
5、存在x、y使xy(其中x、yR)，则x(0，1，2)y(2，3，0)(2y，3yx，2x)令2y2x，得3yx0，又，且(2y2，3，2x)，(2，4，2)，所以(2y2)(2)2x2，由解得x，y.所以当x，y时，、共线，所以、共面，因为CM平面PAD，所以CM平面PAD.(2)作BEPA于E，|PB|AB|4.所以E为PA的中点，所以E(，2，1)，所以(，2，1)，因为(，2，1)(2，3，0)0，(，2，1)(0，1，2)0，所以BEDA，BEDP，所以BE平面PAD，则平面PAB平面PAD.【点评】在用向量方法证明平行和垂直时，同样需要立体几何最基本的定理，比如本题中，要证明直线与平
6、面平行，我们现在还没有更好的计算手段，必须依靠直线与平面平行的判定定理来证明直线的方向向量与平面内的某个向量共线，从而得到直线和平面平行空间向量与空间角(1)求异面直线所成的角设两异面直线的方向向量分别为n1、n2，那么这两条异面直线所成的角为n1，n2或n1，n2，所以cos |cosn1，n2|.(2)求斜线与平面所成的角如图，设平面的法向量为n1，斜线OA的方向向量为n2，斜线OA与平面所成的角为，则sin |cosn1，n2|.(3)求二面角的大小如图，设平面、的法向量分别为n1、n2.因为两平面的法向量所成的角(或其补角)就等于平面、所成的锐二面角，所以cos |cosn1，n2|.
7、(注：其中的n1，n2表示向量n1与n2所成的角)在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC90，SA面ABCD，SAABBC1，AD，求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值【解】建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，0，0)，D(，0，0)，C(1，1，0)，S(0，0，1)，面SAB的一个法向量是(，0，0)设n(x，y，z)是面SCD的一个法向量，则n，n，即n0，n0.又(，1，0)，(，0，1)，所以xy0，且xz0，所以yx，且zx，所以n(x，)，取x1，得n(1，)设与n所成角为1，则cos 1.设二面角为，即cos ，所以tan .【点评】此题所求的二面角是一个无棱二面角
8、，对于这种求无棱二面角的问题，用空间向量求解时，无需作出二面角的平面角，从而体现了空间向量的重要作用利用空间向量求距离求点到平面的距离有三种方法：定义法、等体积法及向量法设点A到平面的距离为d，点B是平面内的任意一点，不是平面的法向量，则d(n为平面的法向量)已知空间中点的坐标为A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，6)，D(5，4，8)，求点D到平面ABC的距离【解】因为(2，2，1)，(4，0，5)，设平面ABC的法向量n(x，y，z)，则，所以，所以xz，yz，所以n，令z4，得n(5，3，4)又(7，7，7)，所以点D到平面ABC的距离d，所以d.【点评】用向量的知识来解决立
9、体几何问题是现在高考出题的一个趋势，要将立体几何的问题转化为与向量有关的知识，因为引入向量之后简化了一些繁琐的作辅助线寻找垂线，平面角等步骤，为了更好地利用向量的特点，一般都要在解决的图形中建立坐标系，经常是利用图形中的垂直直线来建坐标系转化与化归的数学思想解题即是对命题的转化，解题中要注意将立体几何问题向平面几何问题转化，即立体问题平面化在论证线线、线面、面面关系中的平行与垂直问题时，要注意平行与垂直关系的转化，求角与距离时应将空间中的距离与角转化为向量的投影的长度或向量的夹角如图，在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC2，M、N分别为AB、SB的中点
10、(1)证明：ACSB；(2)求二面角NCMB的余弦值；(3)求点B到平面CMN的距离【解】(1)证明：取AC中点O，连接OS、OB.因为SASC，ABBC，所以ACSO且ACBO.因为平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABCAC，所以SO平面ABC，所以SOBO.如图，建立空间直角坐标系则A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(2，0，0)，S(0，0，2)，M(1，0)，N(0，)所以(4，0，0)，(0，2，2)因为(4，0，0)(0，2，2)0，所以ACSB.(2)由(1)得(3，0)，(1，0，)设n(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则取z1，则x，y，所以n(，1)又(0，0
11、，2)为平面ABC的一个法向量，所以cosn，.(n，为向量n与所成的角)因为N的射影落在平面BCM上，故二面角NCMB为锐二面角，所以二面角NCMB的余弦值为.(3)由(1)(2)得(1，0)，n(，1)为平面CMN的一个法向量，所以点B到平面CMN的距离d.【点评】本题中(2)的求解是将二面角问题转化为两平面法向量的夹角，而(3)中点到平面的距离的求解是将所求距离转化为向量的投影的长度，这两种转化方法是立体几何问题的常见解法，使用这两种方法时要将点的坐标写准，平面的法向量求正确利用空间向量解决存在性问题存在性问题即在一定条件下论证会不会出现某个结论这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“
12、不存在”、“是否存在”等语句表述解答这类问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性 如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角AMCB为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由【解】(1)证明：如图，以O为原点，以射线OD为y轴的正半轴，射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系则O(0，0，0)，A(0，3，0)，B(4，2，0)，C(4，2，0)，P(0，0，4)(0，3，4)，(8，0，0)，由此可得0，所以，即APBC.(2)假设存在满足题意的M，设，1，则(0，3，4)(4，2，4)(0，3，4)(4，23，44)，(4，5，0)设平面BMC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面APC的法向量n2(x2，y2，z2)由得即可取n1.由即得可取n2(5，4，3)由n1n20，得430，解得，故AM3.综上所述，存在点M符合题意，AM3.【点评】本题考查空间点、线、面位置关系、二面角的求法以及空间向量的应用，也涉及空间想象能力和运算求解能力，难度适中高考资源网版权所有，侵权必究！
