1、专题9.20 菱形（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.特别提醒：菱形是特殊的平行四边形，不能错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形.【知识点二】菱形的性质定理性质符号语言菱形的四条边都相等四边形ABCD为菱形AB=BC=CD=AD菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对边.四边形ABCD为菱形ACBD，AC平分BAD,CA平分BCD，DB平分ADC.特别提醒：1. 菱形具有平行四边形的一切性质.2. 菱形的两条对角线分菱形为四个全等的直角三角形.【知识点三】菱形的判定定理判定定理符号语言四条边都相等的四边形是菱形在平行四边形ABCD中，
2、AB=BC=CD=AD，四边形ABCD为菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形四边形ABCD为平行四边形且ACBD，四边形ABCD为菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形平行四边形ABCD是平行四边形又AB=BC四边形ABCD是菱形特别提醒：证明一个四边形是菱形，一般情况下，先证明他是一个平行四边形，然后要么证明“一组邻边相等”，要么证明“对角线互相垂直”.若要直接证明一个四边形是菱形，则只要证明“四条边相等”即可.【知识点五】菱形的对称性1.菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴.2.菱形是中心对称图形，对角线的交点是他的对称中心.特别提醒：1.对角线互相垂直平分的四边形是菱形2.对
3、角线平分一组内角的平行四边形是菱形.【知识点五】菱形的面积公式1.公式1：文字语言：菱形的面积=底X高符号语言：S=ah2.公式2：文字语言：菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半.符号语言：S=12ab特别提醒：对角线互相垂直的任意四边形的面积等于两条对角线长的乘积的一半.【考点目录】【菱形性质与判定的理解】【考点1】菱形性质的理解； 【考点2】菱形判定的理解； 【菱形性质定理】【考点3】利用菱形性质证明与求值【菱形判定定理】【考点4】利用菱形判定定理证明与求值【菱形性质定理与判定定理】【考点5】利用菱形性质定理和判定定理证明与求值【菱形性质与判定的理解】【考点1】菱形性质的理解； 【例1】（
4、2023下黑龙江哈尔滨八年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）如图，网格纸中每个小正方形的边长均为1，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上（1）在图中画出以为边的正方形，点和点均在小正方形的顶点上；（2）在图中画出以为边的菱形（不是正方形），点和点均在小正方形的顶点上；（3）连接，请直出线段的长【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特征和勾股定理是解题的关键（1）根据正方形四条边相等且每个角都是90度，取格点E，F作图；（2）根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是菱形，取格点G，H作图；（3）根据网格线的特征作图，根据勾股定理求解（1）解：如图
5、，取格点E，F，正方形即为所求；（2）解：如图，取格点G，H，菱形即为所求；（3）解：【变式1】（2023上河北保定九年级统考期末）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A对边平行且相等B每一条对角线所在的直线都是它的对称轴C内角和等于外角和D对角线互相平分【答案】B【分析】本题考查菱形与矩形的性质，菱形的性质有：四边形相等，两组对边分别平行，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直且平分，且每一组对角线平分一组对角；矩形的性质有：两组对边分别相等，两组对边分别平行，四个内角都是直角，对角线相等且平分；由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握并区分矩形和菱形的性质是解题的关键解：A、对边平行且相等，菱形和矩
6、形都具有的性质，故此选项不符合题意；B、每一条对角线所在的直线都是它的对称轴，菱形具有而矩形不一定具有的性质，故此选项符合题意；C、内角和等于外角和，菱形和矩形都具有的性质，故此选项不符合题意；D、对角线互相平分，菱形和矩形都具有的性质，故此选项不符合题意；故选：B【变式2】（2022上陕西咸阳九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，两条笔直的公路、相交于点O，村庄C的村民分别在两条公路的旁边各建一个加工厂B，D已知四边形是菱形，村庄C到公路的距离为，则村庄C到公路的距离是 【答案】4【分析】此题考查了菱形的判定与性质以及角平分线的性质此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用
7、首先连接，过点C作于E，作于F，由四边形是菱形，可得平分，然后根据角平分线的性质，即可求得答案解：连接，过点C作于E，作于F， 村庄C到公路的距离为，四边形是菱形平分，即C到公路的距离是故答案为：4【考点2】菱形判定的理解； 【例2】（2024上辽宁锦州九年级统考期末）如图，在中，点，分别在，上，连接，若，求证：四边形是菱形【答案】见分析【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和全等三角形的判定与性质先由平行四边形的性质和题意证明，得到，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可证明解：证明：四边形是平行四边形，又，是菱形【变式1】（2023上陕西榆林九年级统考期末）如图，已知，将沿边翻
8、折，得到的与原拼成的四边形是菱形、其依据正确的是（）A四边相等的四边形是菱形B对角线互相垂直的四边形是菱形C一组邻边相等的四边形是菱形D对角线互相平分的四边形是菱形【答案】A【分析】本题主要考查了菱形的判定，折叠的性质，根据折叠的性质和已知条件可证明，再由四边形线段的四边形是菱形可得答案解：由折叠的性质可得，又，四边形是菱形，故选A【变式2】（2023上湖北武汉八年级校联考期中）如图，四边形是轴对称图形，对称轴是直线，设，交于O，则以下结论：；其中正确结论的序号是 【答案】【分析】本题主要考查的是轴对称的性质、菱形的性质和判定由轴对称的性质可知；，由平行线的性质可知，从而得到，故此，从而可知四
9、边形为菱形，最后依据菱形的性质判断即可解：由轴对称的性质可知：，四边形为菱形，不能证明；综上，正确故答案为：【菱形性质定理】【考点3】利用菱形性质证明与求值【例3】（2023上全国九年级专题练习）如图：在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接（1）求证：四边形是矩形；（2）若，求的长【答案】（1）见分析；（2）10【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理：（1）先证，结合菱形的性质证明四边形是平行四边形，再结合可证四边形是矩形；（2）由菱形的性质得，推出，再用勾股定理解即可（1）解：在菱形中，四边形是平行四边形，平行四边形是矩形；（2）解：在菱形中，在矩形中，在中
10、，解得：【变式1】（2024上河北保定九年级统考期末）如图，在给定的平行四边形上，作一个菱形，甲、乙二人的做法如下：甲：分别以、为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，连接，则四边形为菱形；乙：以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，作的垂直平分线交于，则四边形为菱形；根据两人的做法可判断（）A甲正确，乙错误 B乙正确，甲错误 C甲、乙均正确D甲、乙均错误【答案】C【分析】由甲作图可得，证明四边形是平行四边形，根据，证明四边形是菱形，可判断甲的正误；由乙作图可得，在的垂直平分线上，则，四边形为菱形，进而可判断乙的正误解：由甲作图可得，四边形是平行四边形，四边形是菱形，甲正确，故符合要求；由乙作图可
11、得，在的垂直平分线上，四边形为菱形，乙正确，故符合要求；故选：C【点拨】本题考查了作垂线，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，等角对等边熟练掌握菱形的判定，平行四边形的判定与性质，等角对等边是解题的关键【变式2】（2023上江苏淮安八年级校考阶段练习）如图，菱形的对角线、交于点O，且，则菱形一边上的高长为 【答案】/【分析】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理，根据菱形的面积的两种表示方法列出方程是解题的关键解：在菱形中，在中，菱形的面积，即，解得故答案为：【菱形判定定理】【考点4】利用菱形判定定理证明与求值【例4】（2023上山东淄博八年级周村二中校考阶段练习）如图，在中，过A
12、点作，交的平分线于点D，点E在上，连接，交于点F，（1）求证：四边形是菱形；（2）当，时，求【答案】（1）证明见分析；（2）【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，等角对等边，平行线的性质与判定，勾股定理等等：（1）先由平行线性质和角平分线的定义推出，得到，再证明，即可证明四边形是菱形；（2）如图所示，连接交于O，由菱形的性质得到，则由勾股定理得到，进而得到，则，求出，则，推出，则解：（1）证明：，平分，又，四边形是平行四边形，四边形是菱形；（2）解：如图所示，连接交于O，四边形是菱形，【变式1】（2023下浙江八年级专题练习）如图，在矩形中，E，F分别是，中点，连接，分别交于点M，N，四边形
13、是（）A正方形B菱形C矩形D无法确定【答案】B【分析】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键求出四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得出，即，同理可证，得出四边形为平行四边形，求出，根据菱形的判定得出即可解：连接EF四边形为矩形，又E，F分别为，中点，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，即，同理可证，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，为直角，为矩形，互相平分于M点，四边形为菱形故选：B【变式2】（2024上辽宁丹东九年级统考期末）如图，菱形中，交于点，于点，连接，若，则 【答案】/20度【分析
14、】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，关键是熟练掌握直角三角形斜边中线性质先根据菱形的性质得到，进而求得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，然后根据等边对等角求解即可解：四边形是菱形，故答案为：【菱形性质定理与判定定理】【考点5】利用菱形性质定理和判定定理证明与求值【例5】（2023上辽宁沈阳八年级统考期末）如图1，已知，点从点出发，沿的方向以的速度匀速运动到点 图2是点运动时的面积随时间变化的关系图象 （1）_；（2）求的值【答案】（1）；（2）【分析】本题主要了动点问题的函数图象，菱形的性质，解题的关键是根据图象分析得出点E的位置于x的关系（1）根据全等三
15、角形的性质推出四边形为菱形，则，进而得出当点E在上时，点E到的距离不变，由图2可知，当时，y的值不变，即可得出，当时，点E与点B重合，即可得出；（2）过点D作于点H，根据，求出，根据勾股定理得出，则，再根据勾股定理得出，列出方程求解即可（1）解：，四边形为菱形，当点E在上时，点E到的距离不变，由图2可知，当时，y的值不变，点E的速度为，当时，y随x的增大而减小，当时，点E与点B重合，故答案为：；（2）解：过点D作于点H，即，解得：，在中，根据勾股定理可得：，在中，根据勾股定理可得：，即，解得：【变式1】（2022下北京海淀九年级北理工附中校考阶段练习）如图，以点B为圆心以任意长为半径画弧，分别
16、交的两边于点D、E，分别以D、E为圆心以的长为半径画弧，两弧相交于点F，作射线，过点F作交于点G若射线上存在点M，使，则当时，的度数是（）ABCD或【答案】D【分析】当时，四边形是菱形，满足条件，此时，当时，推出满足条件的或，由此即可判断解：如图，分两种情况画图，由作图过程可知：平分，当时，四边形是菱形，满足条件，此时，当时，满足条件的或故选：D【点拨】此题考查了菱形的判定和性质、平行线的性质、等边对等角等知识，分情况讨论是解题的关键【变式2】（2015下重庆八年级统考期末）一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和，则它的面积为 .【答案】【分析】根据平行四边的性质，可得对角线互相平分，根据勾股定理的逆定理，可得对角线互相垂直，根据菱形的判定，可得菱形，根据菱形的面积公式，可得答案解：平行四边形两条对角线互相平分，两条对角线的长分别为4和，它们的一半分别为2和，两条对角线互相垂直，这个四边形是菱形，故答案为：【点拨】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，利用了对角线互相垂直的平行四边形是菱形，菱形的面积是对角线乘积的一半
