1、第三节 坐标系与参数方程 第三节 坐标系与参数方程 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1极坐标系的概念一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系其中，点O称为_，射线Ox称为_极点极轴设M是平面上任一点，表示OM的长度，表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角那么，每一个有序实数对(，)确定一个点的位置其中，称为点M的_，称为点M的_有序数对(，)称为点M的_2极坐标和直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，
2、)，可以得出它们之间的关系：x_，y_.又可得到关系式：2_，tan _(x0)极径极角极坐标cossinx2y2yx3常见曲线的极坐标方程(1)直线的极坐标方程过点M(0，0)且倾斜角为的直线l的极坐标方程为_(2)圆的极坐标方程圆心的坐标为M(0，0)，半径为r的圆的极坐标方程为_.4几种常见曲线的参数方程sin()0sin(0)220cos(0)20r20(1)直线经过点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程是其中 t是参数，|t|表示直线上的动点P(x，y)与点P0(x0，y0)之间的距离t表示有向线段P0P的数量(2)圆以O(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中是参数当
3、圆心在(0,0)时，方程为xx0tcos，_.yy0tsinxarcos，_.ybrsinxrcos，yrsin.(3)椭圆中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：椭圆x2a2y2b21(ab0)的参数方程是xacos，_.其中 是参数椭圆x2b2y2a21(ab0)的参数方程是xbcos，_.其中 是参数ybsinyasin课前热身 1(2010年高考广东卷改编)在极坐标系(，)(02)中，求曲线2sin 与cos 1的交点的极坐标解：2sin，x2y22y，cos 1，x1，两曲线交点的直角坐标为(1,1)，化为极坐标为(2，34)2(2009 年高考江苏卷)已知曲线 C
4、 的参数方程为 x t 1ty3t1t，(t 为参数，t0)求曲线 C 的普通方程解：因为 x2t1t2，所以 x22t1ty3，故曲线 C 的普通方程为 3x2y60.3(2011年苏北四市调研)在极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为(为参数)，求直线l与曲线C的交点P的直角坐标3x2cos y1cos 2解：因为直线 l 的极坐标方程为 3(R)，所以直线 l 的普通方程为 y 3x，又因为曲线 C 的参数方程为x2cos y1cos 2(为参数)，所以曲线 C 的直线坐标方程为 y12x2(x2,2)，联立解方程组
5、得x0，y0，或x2 3，y6.根据 x 的范围应舍去x2 3，y6，故 P 点的直角坐标为(0,0)考点探究挑战高考 极坐极系与直角坐标系的互化考点突破 1极坐标的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可2极坐标和直角坐标互化关系式xcosysin或2x2y2，tanyxx0是解决该类问题的关键3若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点P所在的象限(即角的终边的位置)，以便正确地求出角.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题例1在极坐标系中，P是曲线12sin上的动点，Q是曲线12cos()上的动点，试求PQ的最大值【思路
6、分析】6【解】12sin 化为直角坐标方程为 x2y212y，即 x2(y6)262.12cos(6)12coscos 612sinsin 66 3cos6sin，化为直角坐标方程为 x2y26 3x6y0，即(x3 3)2(y3)262，两圆圆心距为3 302362 366，两圆半径均为 6，所以 PQ 的最大值为 62618.【名师点评】圆的极坐标方程，简单类型有r，2rcos，2rsin.一般形式有asin()和acos()解这类问题，可以将圆的极坐标方程化为直角坐标方程变式训练1 已知O1和O2的极坐标方程分别为2cos和2asin(a是非零常数)(1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方
7、程；(2)若两圆的圆心距为，求a的值解：(1)由2cos，得22cos.所以O1的直角坐标方程为x2y22x.即(x1)2y21.由2asin，得22asin.所以O2的直角坐标方程为x2y22ay，即x2(ya)2a2.(2)O1与O2的圆心距为，解得a2.512a25参数方程与普通方程的互化1化参数方程为普通方程消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消去法；加减消去法；乘除消去法；三角恒等式消去法2化普通方程为参数方程只要适当选取参数t，确定x(t)，再代入普通方程，求得y(t)，即可化为参数方程xt，yt.例2在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l
8、的参数方程为 x22ty1t，(t 为参数)，椭圆 C 的参数方程为x2cosysin.(为参数)，试在椭圆 C 上求一点 P，使得点 P 到直线 l 的距离最小【思路分析】直线化为普通方程，点P(2cos，sin)到直线的距离求最值【解】法一：直线 l 的普通方程为 x2y40.设 P(2cos，sin)，点 P 到直线 l 的距离为d|2cos2sin4|5 1542 2sin4.所以当 sin4 1 时，d 有最小值，此时 sinsin4 4sin4 cos 4cos4 sin 4 22，coscos4 4cos4 cos 4sin4 sin 4 22.所以点 P 的坐标为2，22.从而
9、椭圆 C 上到直线 l 的距离最小的点 P 的坐标为2，22.法二：设与直线 l 平行的直线 l的方程为 x2ym.当 l与 C 只有一个公共点且 l与 l 距离最小时，l与C 的公共点即为所求的点 P.椭圆的普通方程为x24 y21.由x24 y21，x2ym，消去 x，得 8y24mym240.因为 l与 C 只有一个公共点，所以 16m232(m24)0.解得 m2 2或2 2.l与 l 的距离为 d|m4|5.所以当 m2 2时，d 最小，此时点 P 坐标为2，22.【名师点评】法一借助了三角函数的知识，较为方便，这也是参数方程的一个优点，其实质是减少了变量的个数，最终归结到某一个变量
10、来研究变式训练2 已知曲线C的方程为y23x22x3，设ytx，t为参数，求曲线C的参数方程解：将 ytx 代入 y23x22x3，得 t2x23x22x3，即 2x3(3t2)x2.当 x0 时，y0；当 x0 时，x3t22.从而 y3tt32.原点(0,0)也满足x3t22y3tt32，曲线 C 的参数方程为x3t22y3tt32(t 为参数)极坐标、参数方程的综合应用利用极坐标、参数方程与普通方程间的转化，把点、线和曲线等问题转化为熟知内容，进而解决有关问题例3(2011 年盐城市高三调研)已知直线 l 的参数方程 xty12t(t 为参数)和圆 C 的极坐标方程 2 2sin(4)(
11、1)将直线 l 的参数方程化为普通方程，圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系【思路分析】写出直线和圆的普通方程，再判断位置关系【解】(1)消去参数 t，得直线 l 的普通方程为 y2x1.2 2sin(4)，即 2(sincos)，两边同乘以 得 22(sincos)得C 的直角坐标方程为(x1)2(y1)22.(2)圆心 C 到直线 l 的距离 d|211|2212 2 55 2，所以直线 l 和C 相交【名师点评】普通方程是我们所熟悉的知识，而且多数知识是利用普通方程来描述数量关系的，因而首先转化为普通方程再解题是常见的解题思路方法感悟 方法技巧1
12、极点的极径为0，极角为任意角，即极点的坐标不是惟一的极径的值也允许取负值，极角允许取任意角，当0时，点M(，)位于极角的终边的反向延长线上，且OM|，在这样的规定下，平面上的点的坐标不是惟一的，即给定极坐标后，可以确定平面上惟一的点，但给出平面上的点，其极坐标却不是惟一的这有两种情况：如果所给的点是极点，其极径确定，但极角可以是任意角；如果所给点M的一个极坐标为(，)(0)，则(，2k)，(，(2k1)(kZ)也都是点M的极坐标这两种情况都使点的极坐标不惟一，因此在解题的过程中要引起注意2在进行极坐标与直角坐标的转化时，要求极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单
13、位相同，在这个前提下才能用转化公式同时，在曲线的极坐标方程和直角坐标方程互化时，如遇约分，两边平方，两边同乘以，去分母等变形，应特别注意变形的等价性3对于极坐标方程，需要明确：曲线上点的极坐标不一定满足方程如点P(1,1)在方程表示的曲线上，但点P的其他形式的坐标都不满足方程；曲线的极坐标方程不惟一，如1和1都表示以极点为圆心，半径为1的圆4同一个参数方程，以不同量作为参数，一般表示不同的曲线5任何一个参数方程化为普通方程，从理论上分析都存在扩大取值范围的可能性从曲线和方程的概念出发，应通过限制普通方程中变量的取值范围，使化简前后的方程表示的是同一条曲线，原则上要利用xf(t)，yg(t)，借
14、助函数中求值域的方法，以t为自变量，求出x和y的值域，作为普通方程中x和y的取值范围6 直 线 还 有 其 他 形 式 的 参 数 方 程，但 只 有 xx0tcosyy0tsin中的参数才具有特定的意义，因此若直线的参数方程是xx0atyy0bt(t 是参数，a2b21)，则要通过换元(b0 时，令 t a2b2t；b0 时，令 ta2b2t)将方程化为上述标准方程后再应用上述结论，否则会导致错误考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年江苏高考来看，本部分内容重点考查直线与圆的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化；直线，圆与椭圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，题目不难，考查“转化”为目的预测
15、2012江苏高考中，极坐标、参数方程与直角坐标系间的互化仍是考查的热点，题目容易规范解答 例(本题满分10分)(2010年高考江苏卷)在极坐标系中，已知圆2cos与直线3cos4sina0相切，求实数a的值【解】将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为 x2y22x，即(x1)2y21，直线的方程为 3x4ya0.3 分由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为 1，5 分即有|3140a|32421，解得 a8，或 a2.8 分故 a 的值为8 或 2.10 分【名师点评】(1)简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中和的具体含义求出，也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化得出同直角坐标方程一样，
16、由于建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同在没有充分理解极坐标的前提下，可先化成直角坐标解决问题(2)在普通方程中，有些F(x，y)0不易得到，这时可借助于一个间变量(即参数)来找到变量x，y之间的关系同时，在直角坐标系中，很多比较复杂的计算(如圆锥曲线)，若借助于参数方程来解决，将会大大简化计算量，将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x，y(它们都是参数的函数)的取值范围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性，参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消去、平方后相加减消去等同极坐标方程一样，在没有充分理解参数方程的前提下，可先化成
17、直角坐标方程再去解决相关问题名师预测 1从极点O作直线与另一直线l：cos4相交于点M，在OM上取一点P，使OMOP12.(1)求点P的轨迹方程；(2)设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值解：(1)设动点P的极坐标为(，)，M的极坐标为(0，)，则012.0cos4，所求的轨迹方程为3cos.(2)将3cos化为直角坐标方程是x2y23x，即(x32)2y2(32)2，知 P 的轨迹是以(32，0)为圆心，半径为32的圆直线 l 的直角坐标方程是 x4.结合图形易得|RP|的最小值为 1.2在极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为 2sin.(1)过极点的一条直线 l 与圆相交于 O，A 两点，且AOX45，求 OA 的长；(2)求过圆上一点 P(2，2)，且与圆相切的直线的极坐标方程解：(1)圆 C 的直角坐标方程为 x2y22y0；直线 l 的直角坐标方程为 yx，则圆心(0,1)到 l 的距离为 d 22，故 OA2 12d2 2.(2)P2，2 的直角坐标为(0,2)，则过该点圆的切线方程为 y2，即 cos2，即为所求直线的极坐标方程本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
