1、专题7.19 锐角三角函数（挑战综合（压轴）题分类专题）（专项练习）【知识点一】三角函数的运算计算化简求值【类型】三角函数的运算直接计算1（2022湖南岳阳中考真题）计算：2（2016贵州毕节中考真题）计算：3（2021山东菏泽中考真题）计算：【类型】三角函数的运算化解求值4（2022山东滨州中考真题）先化简，再求值：，其中5（2021辽宁营口中考真题）先化简，再求值：，其中6（2020黑龙江黑龙江中考真题）先化简，再求值：，其中【知识点二】三角函数在几何问题中的应用【类型】三角函数的应用三角形7（2016黑龙江齐齐哈尔中考真题）如图，在中，垂足分别为，与相交于点（1）求证：；（2）当，时，求
2、的长8（2020四川眉山中考真题）如图，和都是等边三角形，点、三点在同一直线上，连接，交于点（1）若，求证：；（2）若，求的值；求的长9（2021四川阿坝中考真题）如图，中，将绕点C顺时针旋转得到，点D落在线段AB上，连接BE（1）求证：DC平分；（2）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由：（3）若，求的值 【类型】三角函数的应用平行四边形10（2018广西百色中考真题）平行四边形ABCD中，A=60，AB=2AD，BD的中垂线分别交AB，CD于点E，F，垂足为O（1）求证：OE=OF；（2）若AD=6，求tanABD的值11（2019江苏扬州中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分
3、DAB，已知CE=6，BE=8，DE=10.（1）求证：BEC=90；（2）求cosDAE.12（2019辽宁沈阳中考真题）如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AECF，DFBE，且DFBE，过点C作CGAB交AB的延长线于点G（1） 求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若tanCAB，CBG45，BC4，则ABCD的面积是 【类型】三角函数的应用矩形13（2022湖北荆门中考真题）如图，已知矩形ABCD中，AB8，BCx（0x8），将ACB沿AC对折到ACE的位置，AE和CD交于点F(1) 求证：CEFADF；(2) 求tanDAF的值（用含x的式子表示）14（20
4、22江苏无锡中考真题）如图，已知四边形ABCD为矩形，点E在BC上，将ABC沿AC翻折到AFC，连接EF(1) 求EF的长；(2) 求sinCEF的值15（2022四川成都中考真题）如图，在矩形中，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点(1) 【尝试初探】在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由(2) 【深入探究】若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值(3) 【拓展延伸】连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）【类型】三角函数的应用菱形16（2021吉林长春中考真题）如图，在菱形ABCD中，
5、对角线AC与BD相交于点O，点E在边AD上，连结BE交AC于点M（1）求AM的长（2）的值为 17（2020吉林中考真题）能够完全重合的平行四边形纸片和按图方式摆放，其中，点，分别在边，上，与相交于点【探究】求证：四边形是菱形【操作一】固定图中的平行四边形纸片，将平行四边形纸片绕着点顺时针旋转一定的角度，使点与点重合，如图，则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为_【操作二】四边形纸片绕着点继续顺时针旋转一定的角度，使点与点重合，连接，如图若，则四边形的面积为_18（2019北京中考真题）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF（1）求证：A
6、CEF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=，求AO的长【类型】三角函数的应用正方形19（2018宁夏中考真题）已知点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE，过点C作CNBE，垂足为M，交AB于点N.（1）求证：ABEBCN；（2）若N为AB的中点，求tanABE.20（2016湖南株洲中考真题）已知正方形ABCD中，BC=3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF=BE，连接AE、AF，过点A作AHED于H点（1）求证：ADFABE；（2）若BE=1，求tanAED的值21（2016浙江杭州中考真题）如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG
7、为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一直线上，且AD3，DE1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H.(1) 求sinEAC的值；(2) 求线段AH的长【知识点三】三角函数在实际生产生活中的应用【类型】三角函数的应用仰角俯角22（2022广东广州中考真题）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度如图，在某一时刻，旗杆的AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE， CD = 1.6m，BC =5CD(1) 求BC的长；(2) 从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知， 求旗杆AB的高度条件：CE = 1.0m； 条件：从D处看旗杆顶部A
8、的仰角为54.46 注：如果选择条件和条件分别作答，按第一个解答计分参考数据：sin54.460.81， cos54.460.58， tan54.461.40 23（2022辽宁阜新中考真题）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的倾斜角为，小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为（点，在同一平面内）(1) 求，两点的高度差；(2) 求居民楼的高度（结果精确到，参考数据：）24（2022辽宁朝阳中考真题）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为
9、30，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CDEF1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度（结果精确到1m参考数据：1.7）【类型】三角函数的应用方位角25（2022湖北襄阳中考真题）位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士的而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量纪念塔的高度无人机在点A处测得纪念塔顶部点B的仰角为45，纪念塔底部点C的俯角为61，无人机与纪念塔的水平距离AD为10m，求纪念塔的高度（结果保留整数参考数据
10、：sin610.87，cos610.48，tan611.80）26（2022四川资阳中考真题）小明学了解直角三角形内容后，对一条东西走向的隧道进行实地测量如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）(1) 求点D与点A的距离；(2) 求隧道的长度（结果保留根号）27（2022贵州安顺中考真题）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善某市政府为了实现5G网络全覆盖，20212025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡上有一建成的5G基站塔，小明在
11、坡脚处测得塔顶的仰角为，然后他沿坡面行走了50米到达处，处离地平面的距离为30米且在处测得塔顶的仰角（点、均在同一平面内，为地平线）（参考数据：，）(1) 求坡面的坡度；(2) 求基站塔的高【类型】三角函数的应用坡度坡比28（2022辽宁锦州中考真题）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60方向上为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70方向航行20海里到达码头C求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里参考数据：sin500.766，cos500.643，tan501.192）
12、29（2022江苏徐州中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面，坡角在阳光下，小明观察到在地面上的影长为，在坡面上的影长为同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）求立柱AB的高度30（2022湖南郴州中考真题）如图是某水库大坝的横截面，坝高，背水坡BC的坡度为为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离（参考数据：，结果精确到0.1m）【知识点四】三角函数在函数中的应用【类型】三角函数的应用一次函数31（2013黑龙江牡丹江中考真题）如图，平面直角坐标
13、系中，矩形OABC的对角线AC=12，tanACO=，（1）求B、C两点的坐标；（2）把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求直线DE的解析式；（3）若点M在直线DE上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由32（2021天津东丽一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，把绕原点O顺时针旋转，得到，记旋转角为（）如图，当时，求点的坐标（）设直线与直线相交于点M，如图，当时，求的面积33（2020河北石家庄模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中A（0，2），点B（3，0）AOB绕点O逆时针旋
14、转30得到A1OB1（1）直接写出点B1的坐标；（2）点C（2，0），连接CA1交OA于点D，求点D的坐标【类型】三角函数的应用反比例函数34（2021山东泰安中考真题）如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B（1）求m的值；（2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标35（2014江西南昌中考真题）如图，在平面直角坐标系中，RtPBD的斜边PB落在y轴上，tanBPD=延长BD交x轴于点C，过点D作DAx轴，垂足为A，OA=4，OB=3（1）求点C的坐标；（2）若点D在反比例函数y=（k0）的图象上，求反比例函数的解析式36（2022四川宜宾中考真
15、题）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C、D若，(1) 求一次函数和反比例函数的表达式；(2) 求的面积参考答案11【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值等计算法则求解即可解： 【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值，准确熟练地化简各式是解题的关键21-解：试题分析：首先根据绝对值、0次幂、负指数次幂、三角函数以及-1的偶数次幂的计算法则求出各式的值，然后进行求和得出答案.试题解析：原式=1+-1-2+1=1-考点：实数的计算30【分析】根据零指数幂,绝对值的化简,负整数指数幂
16、,特殊角的函数值计算即可解：=1+3=0.【点拨】本题考查了零指数幂 ,负整数指数幂,特殊角的函数值,二次根式的化简,绝对值的化简,熟练掌握各种运算的基本法则是解题的关键4，0【分析】先算括号内的减法，再将除法变成乘法进行计算，然后根据锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质求出a，最后代入计算解：；，原式【点拨】本题考查了分式的化简求值，锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键5，【分析】先约分，再算分式的减法以及除法运算，进行化简，再代入求值，即可解：原式=，当=2时，原式=【点拨】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则以及特殊角三角函数值，是解题的关键6
17、,【分析】括号内先通分进行分式的减法运算，然后进行分式的除法运算，将特殊角的三角函数值代入求出x的值，然后代入化简后的结果进行计算即可解：原式=，当时，原式【点拨】本题考查了分式的混合运算化简求值，涉及了分式的减法、乘除法运算，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键7（1）见分析；（2）3【分析】（1）由，推出，由此即可证明；（2）先证明，由，得，即可解决问题解：（1）证明：， ，（2），【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型8（1）见分析；（2）；【分析】（1）先根据两边对应
18、成比例且夹角对应相等得出，再根据ASA得出即可（2）过点作于点，根据直角三角形角所对直角边是斜边的一半可得，从而得出，由BE=6得出，根据勾股定理得出，然后根据即可在Rt中，根据勾股定理得出BD的长，再根据得出即可得出DF的长解：（1）证明：，又，和均为等边三角形，（2），过点作于点，为等边三角形，在Rt中，在Rt中，【点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，直角三角形的性质，以及锐角三角函数，熟练掌握相关的知识是解题的关键9（1）见分析；（2）BEAB，理由见分析；（3）【分析】（1）根据旋转的性质可得AC=CD，A=CDE，再由等腰三角形的性质得到A=ADC即可证明ADC
19、=CDE；（2）根据旋转的性质得到ACD=BCE，CB=CE，AC=CD，从而得出CAD=ADC=CBE=CEB，再根据ACB=90即可得到ABE=90；（3）设BD=BE=a，根据勾股定理计算出AB=DE=，表达出AD，再证明ACDBCE，得到即可解：（1）由旋转可知：AC=CD，A=CDE，A=ADC，ADC=CDE，即DC平分ADE；（2）BEAB，理由：由旋转可知，ACD=BCE，CB=CE，AC=CD，CAD=ADC=CBE=CEB，又ACB=90，CAD+ABC=90，CBE+ABC=90，即ABE=90，BEAB；（3）ABE=90，BD=BE，设BD=BE=a，则，又AB=DE
20、，AB=，则AD=，由（2）可知，ACD=BCE，CAD=ADC=CBE=CEB，ACDBCE，tanABC=【点拨】本题考查了旋转的综合应用以及相似三角形的性质与判定、锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，并熟记锐角三角函数的定义10（1）证明见分析（2） 【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；（2）作DGAB，根据勾股定理和三角函数解答即可解：（1）四边形ABCD是平行四边形，ABDC，1=2EF是BD的中垂线，OD=OB，3=4=90，DOFBOE，OE=OF；（2）作DGAB，垂足为GA=60，AD=6，ADG=30，AG=AD=3，DG=A
21、B=2AD，AB=26=12，BG=ABAG=123=9，tanABD=【点拨】本题考查了平行四边形的性质和正切的定义，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答11（1）见分析；（2）cosDAE=【分析】(1)先求出BC的长，继而根据勾股定理的逆定理进行证明即可得；(2)根据平行四边形的性质可求得AB=16，ABE=90，继而根据勾股定理求出AE的长，然后利用余弦的定义求出cosEAB的值，再根据DAE=EAB即可求得答案.解：(1)四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，ADBC ，AED=EAB，AE平分DAB，DAE=EAB，AED=DAE，AD=DE=10，BC=10，
22、又BE=8，CE=6，BE2+CE2=BC2，BEC为直角三角形，BEC=90；(2) DE=10，CE=6，CD=DE+CE=16，四边形ABCD是平行四边形，AB/CD，AB=CD=16，ABE=BEC=90，AE=，cosEAB=，DAE=EAB，cosDAE=.【点拨】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，余弦等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用.12（1）见分析；（2）24【分析】（1）根据已知条件得到AFCE，根据平行线的性质得到DFABEC，根据全等三角形的性质得到ADCB，DAFBCE，于是得到结论；（2）根据已知条件得到BCG是等腰直角三角形，
23、求得BGCG4，解直角三角形得到AG10，根据平行四边形的面积公式即可得到结论解：（1）证明：AECF，AE+EFCF+EF，即AFCE，DFBE，DFABEC，DFBE，ADFCBE（SAS），ADCB，DAFBCE，ADCB，四边形ABCD是平行四边形；（2）解：CGAB，G90，CBG45，BCG是等腰直角三角形，BC4，BGCG4，tanCAB，AG10，AB6，ABCD的面积6424，故答案为24【点拨】本题考查了平行相交线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键13(1)证明见分析(2)tanDAF【分析】（1）根据矩形的性质得到BD90，BC
24、AD，根据折叠的性质得到BCCE，EB90，等量代换得到ED90，ADCE，根据AAS证明三角形全等即可；（2）设DFa，则CF8a，根据矩形的性质和折叠的性质证明AFCF8a，在RtADF中，根据勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案（1）证明：四边形ABCD是矩形，BD90，BCAD，根据折叠的性质得：BCCE，EB90，ED90，ADCE，在CEF与ADF中，CEFADF（AAS）；（2）解：设DFa，则CF8a，四边形ABCD是矩形，ABCD，ADBCx，DCABAC，根据折叠的性质得：EACBAC，DCAEAC，AFCF8a，在RtADF中，AD2+DF2AF2，x2+a
25、2（8a）2，a，tanDAF【点拨】本题考查了锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），根据矩形的性质和折叠的性质证出AFCF是解题的关键14(1)(2)【分析】(1)先由可求得的长度，再由角度关系可得，即可求得的长;(2)过F作于，利用勾股定理列方程，即可求出的长度，同时求出的长度，得出答案.解：（1）设，则，在中，由折叠可知，在中，.（2）过F作FMBC于M，FME=FMC=90，设EM=a,则EC=3-a，在中， ，在中， .【点拨】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质，通过添加辅助线构建直角三角形是解题的关键15(1)见分析(2)或(3)或【分析
26、】（1）根据题意可得A=D=BEG=90，可得DEH=ABE，即可求证；（2）根据题意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，可得DE=4x-a，再根据ABEDEH，可得或，即可求解；（3）根据题意可得EG=nBE，然后分两种情况：当FH=BH时，当FH=BF=nBE时，即可求解（1）解：根据题意得：A=D=BEG=90，AEB+DEH=90，AEB+ABE=90，DEH=ABE，ABEDEH；（2）解：根据题意得：AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，DE=4x-a，ABEDEH，解得：
27、或，或，或；（3）解：矩形矩形，EG=nBE，如图，当FH=BH时，BEH=FGH=90，BE=FG，RtBEHRtFGH，EH=GH=，ABEDEH，即，；如图，当FH=BF=nBE时，ABEDEH，即，；综上所述，的值为或【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键16（1）；（2）【分析】（1）根据菱形的性质，结合，可求得的长（2）根据，在中即可求出的值解：（1）是菱形，即，（2）是菱形，在中，【点拨】本题考查了菱形的基本性质，相似三角形的判定和性质，以
28、及解直角三角形，熟练掌握菱形的性质是解题关键17探究：证明见分析；操作一：56；操作二：72【分析】探究：先根据平行四边形的性质可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定即可得证；操作一：先根据菱形的性质得出，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据全等三角形的性质、三角形的周长公式即可得；操作二：先根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定可得是等腰三角形，且平分，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后利用正弦三角函数可求出DN的长，从而可得DG的长，最后根据矩形的判定可得四边形是矩形，据此利用矩形的面积公式即可得解：探究：四边形和都是平行四边形，即四边形是平行四
29、边形又平行四边形是菱形；操作一：如图，设AE与DF相交于点H，AB与FG相交于点M四边形和是两个完全重合的平行四边形，在和中，和的周长相等同理可得：、的周长均相等又的周长为则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为故答案为：56；操作二：如图，设AB与DG相交于点N四边形和是两个完全重合的平行四边形是等腰三角形，且平分，在中，即解得又四边形是平行四边形，即平行四边形是矩形则四边形的面积为故答案为：72【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判定、矩形的判定、正弦三角函数等知识点，熟记并灵活运用各判定定理与性质是解题关键18（1）证明见分析；（2）AO=1【分
30、析】（1）由菱形的性质得出AB=AD，AC平分BAD，再根据等腰三角形的三线合一即可；（2）根据菱形的性质和已知条件得出四边形EBDG为平行四边形，得出G=ABD，再根据tanG=即可求出AO的长解：（1）证明：四边形ABCD为菱形AB=AD，AC平分BADBE=DF， ， AE=AFAEF是等腰三角形， AC平分BAD， ACEF（2）解：如图2所示：四边形ABCD为菱形，CGAB，BO=BD=2，EFBD四边形EBDG为平行四边形，G=ABD，tanABD=tanG=tanABD=，AO=1【点拨】本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形，等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形
31、的性质是解题的关键19（1）证明见分析；（2）.【分析】（1）根据正方形的性质得到ABBC，ACBN90，1290，根据垂线和三角形内角和定理得到2390，推出13，根据ASA推出ABEBCN；（2）tanABE，根据已知求出AE与AB的关系即可求得tanABE.解：（1）证明：如图，四边形为正方形，在和中；（2）为中点，又，在中，【点拨】本题主要考查正方形的性质、三角形的内角和定理、垂线、全等三角形的性质和判定以及锐角三角函数等知识点的掌握和理解，证出ABEBCN是解此题的关键.20（1）证明见分析；（2）【分析】（1）根据辅助线的性质得到AD=AB，ADC=ABC=90，由邻补角的定义得到
32、ADF=ABE=90，于是得到结论；（2）过点A作AHDE于点H，根据勾股定理得到AE=，ED=5，根据三角形的面积SAED=ADBA=，SADE=EDAH=，求得AH=1.8，由三角函数的定义即可得到结论解：（1）正方形ABCD中，AD=AB，ADC=ABC=90，ADF=ABE=90，在ADF与ABE中，AD=AB，ADF=ABE，DF=BE，ADFABE；（2）如图，过点A作AHDE于点H，在RtABE中，AB=BC=3，BE=1，AE=，ED=5，SAED=ADBA=，SADE=EDAH=，解出AH=1.8，在RtAHE中，EH=2.6，tanAED=【点拨】本题考查正方形的性质、全等
33、三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键21（1） ；（2） 试题分析：（1）如图，过点E作EMAC于点M，则EMA=EMC=90，EMC为等腰直角三角形，在RtADE中易得AE=，在RtEMC中易得EM=，sinEAM=；（2）由已知易证ADECDG，从而可得GC=AE=，DAE=DCG，由此可证得AHCG，最后利用SAGC=可解得AH的长.解：(1)作EMAC于M.四边形ABCD是正方形，ADC90，ADDC3，DCA45.在RtADE中，ADE90，AD3，DE1，AE.在RtEMC中，EMC90，ECM45，EC2，EMCM.在RtAEM中，sinEAM；(2)在GDC和ED
34、A中， GDCEDA，GCDEAD，GCAE.又AEDCEH，EHCEDA90，AHGC.SAGCAGDCGCAH，43AH，AH.考点：（1）正方形的性质；（2）勾股定理的应用；（3）锐角三角形函数；（4）全等三角形的判定和性质；22(1)；(2)；旗杆AB高度约【分析】（1）根据BC =5CD，求解即可；（2）CE=1.0m时，连接DE，则有DECACB，根据相似的性质求解即可；当时，作点D到AB的垂线段DF，在RtADF中，求出，进一步可求出AB=AF+FB11.20m+1.6m12.8m（1）解：（2）解：CE=1.0m时，连接DE，则有DECACB， ， 当时，作点D到AB的垂线段D
35、F， 则四边形BCDF是矩形，FB=DC=1.6m，FD=BC=8.0m，RtADF中，AB=AF+FB11.20m+1.6m12.8m旗杆AB高度约12.8m【点拨】本题考查相似三角形的性质，解直角三角形，近似运算解题的关键是掌握相似三角形的性质，解直角三角形23(1)9m(2)24m【分析】（1）过点作，交的延长线于点，在中，可得，再利用勾股定理可求出，即可得出答案（2）过点作于，设，在中，解得，在中，求出的值，即可得出答案（1）解：过点作，交的延长线于点， 在中，答：，两点的高度差为（2）过点作于，由题意可得，设，在中，解得，在中，解得，答：居民楼的高度约为【点拨】本题考查解直角三角形的
36、应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键24旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m【分析】延长DF交AB于点G，根据题意可得：DFCE8m，DCEFBG1.2m，AGF90，然后设AGxm，在RtAFG中，利用锐角三角函数的定义求出FG的长，从而求出DG的长，再在RtADG中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可详解解：延长DF交AB于点G，由题意得：DFCE8m，DCEFBG1.2m，AGF90，设AGxm，在RtAFG中，AFG45，FGx（m），DGDF+FG（x+8）m，在RtADG中，ADG30，tan30，x44，经检验：x4
37、4是原方程的根，ABAG+BG12（m），旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m【点拨】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键25烈士塔的高度约为28m【分析】在RtABD中，BAD=45，AD=10m，则BD=AD=10m，在RtACD中，tanDAC=tan61=1.80，解得CD18m，由BC=BD+CD可得出答案解：由题意得，BAD=45，DAC=61，在RtABD中，BAD=45，AD=10m，BD=AD=10m，在RtACD中，DAC=61，tan61=1.80，解得CD18，BC=BD+CD=10+18=28（m）
38、纪念塔的高度约为28m【点拨】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键26(1)点D与点A的距离为300米(2)隧道的长为米【分析】（1）根据方位角图，易知，解即可求解；（2）过点D作于点E分别解，求出和，即可求出隧道的长解：（1）由题意可知：，在中，（米）答：点D与点A的距离为300米（2）过点D作于点E是东西走向在中，在中，（米）答：隧道的长为米【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键27(1)(2)基站塔的高为米【分析】（1）过点、分别作的垂线，交的延长线于点、，过点作，垂足为，利
39、用勾股定理求出，然后利用坡度的求解方式求解即可；（2）设米，则米，米，根据，求出米，米在中，求出；再根据（米（1）解：如图，过点、分别作的垂线，交的延长线于点、，过点作，垂足为根据他沿坡面行走了50米到达处，处离地平面的距离为30米，（米），（米），根据勾股定理得：（米）坡面的坡度为；,即坡面的坡度比为；（2）解：设米，则米，米，米，米在，米，米，解得；（米），（米，（米）答：基站塔的高为米【点拨】本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法28货轮从A到B航行的距离约为30.6海里【分析】过B作BDAC于D，在RtBCD中，利用正弦
40、函数求得BD=15.32海里，再在RtABD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解解：过B作BDAC于D，由题意可知ABE=30，BAC=30，则C=180-30-30-70=50，在RtBCD中，C=50，BC=20(海里)，BD= BCsin50200.766=15.32(海里)，在RtABD中，BAD=30，BD=15.32(海里)，AB=2BD=30.6430.6(海里)，答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里【点拨】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键29(170+60)cm【分析】延长AD交BN于点E，过点D作DFBN于点F，根
41、据直角三角形的性质求出DF，根据余弦的定义求出CF，根据题意求出EF，再根据题意列出比例式，计算即可解：延长AD交BN于点E，过点D作DFBN于点F，在RtCDF中，CFD=90，DCF=30，则DF=CD=90（cm），CF=CDcosDCF=180=90（cm），由题意得：=，即=，解得：EF=135，BE=BC+CF+EF=120+90+135=(255+90)cm，则=，解得：AB=170+60，答：立柱AB的高度为(170+60)cm【点拨】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、平行投影的应用，解题的关键是数形结合，正确作出辅助线，利用锐角三角函数和成比例线段计算30背水坡新起
42、点A与原起点B之间的距离约为14.6m【分析】通过解直角三角形和，分别求出AD和BD的长，由求出AB的长解：在中，背水坡BC的坡度，在中，背水坡AC的坡度，答：背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6m【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度31（1）C的坐标是：（6，0），B的坐标是（6，6）（2）直线DE的解析式是：y=x6（3）N的坐标是：（3，）或（3，）或（，3）试题分析：（1）根据三角函数求得OA以及OC的长度，则C、B的坐标即可得到解：在直角OAC中，设OA=x，则OC=3x，根据勾股定理得：
43、（3x）2+（x）2=AC2，即9x2+3x2=144，解得：x=2C的坐标是：（6，0），B的坐标是（6，6）（2）直线DE是AC的中垂线，应用待定系数法以及锐角三角函数定义即可求得DE的解析式解：F是AC的中点，根据对折的性质，F的坐标是（3，3）设D（d，0），则根据对折的性质，E（，6）如图，过点E作EHOC于点H，则HE=6，DH=易证DEH=ACO，即，解得D（，0）设直线DE的解析式是y= k x+b，将点D、F的坐标代入，得，解得直线DE的解析式是：y=x6（3）分当FM是菱形的边和当OF是对角线两种情况进行讨论，利用三角函数即可求得N的坐标：OF=AC=6，30DE与x轴夹角
44、是60当FM是菱形的边时（如图），ONFM，则NOC=60或120当NOC=60时，过N作NGy轴，NG=ONsin30=6=3，OG=ONcos30=6=N的坐标是（3，）当NOC=120时，与当NOC=60时关于原点对称，则N的坐标是（3，）当OF是对角线时（如图），MN关于OF对称F的坐标是（，3），FOD=NOF=30在RtONH中，OH=OF=3，作NLy轴于点L，在RtONL中，NOL=30，NL=ON=，OL=ONcos30=2=3N的坐标是（，3）综上所述，N的坐标是：（3，）或（3，）或（，3）32（）点B的坐标为；（）【分析】（）当30时，由正切的定义解得ABO30，再根据
45、旋转的性质得到，ABOABO30，BOA60，继而解得设BCx轴于点C，由含30角的直角三角形的性质解题即可；（）当时，得到A坐标为（0，1），B坐标为，利用待定系数法，分别解得直线A A、B B的解析式，再联立成方程组，解得两直线的交点，最后根据三角形面积公式解题解：（）当30时，由已知，得OA1，ABO30，ABO是ABO旋转得到的，ABOABO30，BOB30，BOA60，设BCx轴于点C，点B的坐标为； （）当时，A坐标为（0，1），B坐标为，设A A解析式为ykxb，把A、A坐标代入得，A A解析式为，同理可得B B解析式为，联立方程组得，解得，点M的坐标为【点拨】本题考查一次函数、
46、旋转、锐角三角函数、含30角的直角三角形等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键33（1）（，）；（2）（0，）【分析】（1）过点B1作B1Ey轴于点E，根据AOB绕点O逆时针旋转30得到A1OB1，即可求出点B1坐标；（2）根据题意可得OA1OC2，由旋转可得AOA130，进而得A1OC120，所以可得A1CO30从而可求出OD的长，即可得点D的坐标解：（1）如图，过点B1作B1Ey轴于点E，AOB绕点O逆时针旋转30得到A1OB1，BOB130，B1OE60，B（3，0），OBOB13，OE，B1E，点B1的坐标为：（ ，）；（2）点C（2，0），OC2，A（0，2），OAOA
47、12，OA1OC2，AOA130，DOC90，A1OC120，A1CO30ODOCtan302点D的坐标为：（0，）【点拨】此题考查坐标与图形变化-旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质34（1）24；（2）M点的坐标为【分析】(1)根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用k=xy计算m即可；（2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可.解：（1）点P纵坐标为4，解得，（2），设，则，当M点在P点右侧，M点的坐标为，（6+2t）（4-t）=24，解得：，（舍去），当时，M点的坐标为，当M点在P点的左侧，M点的坐标为，（6-2t）（4+t）=24，解得：，均舍去综上，M点的坐标为【点拨】
48、本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键35（1）C（6，0）（2）y=【分析】（1）根据DMA人正切值，可得PD的斜率，由PD与BC垂直，可得BD的斜率，从而可求出直线BC的解析式，根据函数值为0，可得C点坐标；（2）由OA=4，可知D点横坐标，由于点D在直线BC上，从而可得D坐标，再由待定系数法，可得反比例函数解析式解：（1）RtPBD的斜边PB落在y轴上，BDPB，kPD=tanDMA=tanOMP=2，kBDkPD=1，kBD=，直线BD的解
49、析式是y=x+3，当y=0时，x+3=0，x=6，C点坐标是（6，0）；（2）当x=4时，y=4+3=1，D（4，1）点D在反比例函数y=（k0）的图象上，k=41=4，反比例函数的解析式为 y=【点拨】1、直线斜率；2、反比例函数；3、一次函数36(1)，(2)8【分析】（1）根据，可得出B点的坐标，运用待定系数法即可求出AB的解析式；再通过比例关系解出点C的坐标，可得反比例函数表达式；（2）过D作轴，垂足为点，联列方程组解出点D的坐标，再根据即可求出的面积解：（1）在中，A、B两点在函数上，将、代入得 解得，设，过点C作轴，垂足为E，则，又，即，即，；（2）解方程组，得，过D作轴，垂足为点【点拨】本题考查反比例函数的性质，涉及反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数中的面积问题，熟练运用反比例函数的性质，以及灵活运用面积计算的方法是解题的关键
