1、专题65 三个分布的期望、方差与性质的运用【方法点拨】1.如果XB(n，p)，那么E(X)np，D(X)np(1p)如果XH(n，M，N)时，E(X)如果XN(，2)，则E(X)，D(X)2.2. E(aXb)aE(X)b. D(aXb)a2D(X)【典型题示例】例1 购买某种意外伤害保险，每个投保人年度向保险公司交纳保险费20元，若被保险人在购买保险的一年度内出险，可获得赔偿金50万元.已知该保险每一份保单需要赔付的概率为，某保险公司一年能销售10万份保单，且每份保单相互独立，则一年度内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为_；一年度内盈利的期望为_万元.（参考数据：）【答案】0.63，1
2、50【分析】根据题意知，保险公司此项保险业务就是概率为，试验次数为10万的独立重复实验，设随机变量X为一年度内出险的人数，则.一年度内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率即求，转化为对立事件，再结合贝努力概型公式即可. 一年度内盈利的期望转化为求随机变量X的期望再使用数学期望的性质立得.【解析】设随机变量X为一年度内出险的人数，则所以故一年度内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为设，随机变量Y为一年度内盈利的金额（万元），则因为所以根据数学期望的性质得故保险公司一年度内盈利的期望为150万元.例2 为预防新冠肺炎，需做好个人的防护与自我检测，倡导个人每天做好体温检测工作我国某体温仪生产厂商
3、在加大生产的过程中，严格管控质量，随机做好体温仪质量抽检工作该厂质检人员从某天所生产的体温仪中随机抽取了100个，依据质检指标值分成， ， ，五组，并制成如下的频率分布直方图为节省检测成本，现采用混装的方式将所有的体温仪按200个一箱包装已知一个一级体温仪的利润是20元，一个特等体温仪的利润是15元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱体温仪的利润为 【答案】3750元.【分析】设一箱体温仪中一级体温仪有个，每箱体温仪的利润为元，利用二项分布的期望公式，期望的性质计算作答.【解析】设每箱产品中一级体温仪有个，每箱体温仪的利润为元，则每箱特等体温仪有个，因此，由频率分布直方图知，质量指
4、标值低于40的频率为0.75，质量指标值不低于40的频率为0.25，任抽一个体温仪，为一级体温仪的概率是，故，则，所以（元），即每箱体温仪的利润大约为3750元【巩固训练】1. 有9本不同的书，其中语文书2本，英语书3本，数学书4本.现从中随机拿出2本，记拿出数学书的本数为，则（ ）A，B，C，D，2. 袋中有大小完全相同的7个白球，3个黑球.若甲每次抽取1个球，一共抽取4次，记录好球的颜色后再放回袋子中，等待下次抽取，且规定抽到白球得10分，抽到黑球得20分，记为甲总得分，则= .3.袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案或提示】1.【答案】C【解析】由题意知 ，故选：C2.【答案】52【解析】设4次取球取得黑球数为，则，且3.【答案】ACD【分析】利用超几何分布的性质，及超几何分布的期望求解公式逐项验证.【解析】由题意知X，Y均服从于超几何分布，且，故；从而，故选项A正确；，故选项B错误，C正确；，故选项D正确；故选：ACD.
