1、专题5.10 平行线的判定（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】两直线平行的判定方法1判定方法1：同位角相等，两直线平行.如图1，几何语言：32ABCD（同位角相等，两直线平行）图1【知识点二】两直线平行的判定方法2判定方法2：内错角相等，两直线平行.如图2，几何语言：12ABCD（内错角相等，两直线平行）图2【知识点三】两直线平行的判定方法3判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如图3，几何语言：42180ABCD（同旁内角互补，两直线平行）图3特别提醒：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【考点目录】 【考点1】同位角相等，两直线平行； 【考点2】内错角相等，两直线平行；【
2、考点3】同旁内角互补，两直线平行；【考点4】垂直于同一直线的两直线平行. 【考点1】同位角相等，两直线平行【例1】（2022上黑龙江绥化七年级统考期末） ，与平行吗？为什么？解：， ，即 又，且， 理由是： 理由是： 【答案】90；90；，；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行【分析】由垂直于，利用垂直的定义得到为直角，进而得到与互余，再由与互余，根据，利用等角的余角相等得到，利用同位角相等两直线平行即可得证解： ，即又，且，理由是：等角的余角相等理由是：同位角相等，两直线平行 故答案为：90；90；，；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行【点拨】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判
3、定方法是解本题的关键【变式1】（2023上黑龙江哈尔滨七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）如图能判断的是（）ABCD【答案】C【分析】本题主要考查了平行线的判定根据平行线的判定定理，逐项判断，即可求解解：A、与是对顶角，无法判断，故本选项不符合题意；B、与是同旁内角，无法判断，故本选项不符合题意；C、能判断，故本选项符合题意；D、与是邻补角，无法判断，故本选项不符合题意；故选：C【变式2】（2023下浙江温州七年级校联考期中）如图，要使，需添加的一个条件是 （写出一个即可）【答案】【分析】根据同位角相等两直线平行，图中和为同位角，所以加上即可解：图中和为同位角，根据同位角相等两直线平行，则
4、加上，可得【点拨】本题比较简单，记住平行线的判定定理即可【考点2】内错角相等，两直线平行【例2】（2023上七年级课时练习）如图，已知于点于点试说明：解：（已知），（_）同理，（_），即（已知）_（_）_（_）【答案】垂直的定义，等量代换，等量代换，内错角相等，两直线平行【分析】根据垂直的定义得到，推出，得到，由此证得解：（已知），（垂直的定义）同理，（等量代换），即（已知）（等量代换）（内错角相等，两直线平行）【点拨】此题考查了垂直的定义，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键【变式1】（2023上黑龙江绥化七年级校考阶段练习）如图，如果与、与分别互补，那么（）ABCD【答案】B
5、【分析】本题考查了同角的补角相等，平行线的判定；根据同角的补角相等可得，根据内错角相等，两直线平行可得解：与、与分别互补，故选：B【变式2】（2024下全国七年级假期作业）小友把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边，在同一条直线上，可以得到 【答案】 【解析】略【考点3】同旁内角互补，两直线平行【例3】（2023上黑龙江绥化七年级校考阶段练习）请将下列证明过程补充完整：已知：如图，平分，平分，且求证：证明：平分，平分（已知），_（角的平分线的定义）（_）即（已知），_（_）（_）【答案】角平分线的定义，等式性质，等量代换，同旁内角互补，两直线平行【分析】本题主要考查了平行线的判定的运用，解
6、题时注意：同旁内角互补，两直线平行先根据角平分线的定义，得到，再根据，即可得到，进而判定解：平分（已知）， （角平分线的定义）平分（已知），（角的平分线的定义）（等式性质）即（已知）， （等量代换）（同旁内角互补，两直线平行）故答案为：角平分线的定义，等式性质，等量代换，同旁内角互补，两直线平行【变式1】（2023下七年级课时练习）如图，下列能判定的条件有（）；A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】略【变式2】（2023上黑龙江绥化七年级校考阶段练习）如图，对于下列条件：；其中一定能判定的条件有 （填写所有正确条件的序号）【答案】/【分析】本题考查了平行线的判定，准确识图是解题的关键根据平
7、行线的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解解：，符合题意；，故本选项错误；，故本选项正确；，故本选项错误；故选答案为：【考点4】垂直于同一直线的两直线平行【例4】（2023下湖北咸宁七年级统考期末）如图，三角形中， 请依次解决下列问题：（1）作交于点D，作于点E；（2） 度；与的位置关系是 ；（3）点A到直线的距离是图中线段 的长度【答案】（1）见分析；（2）30；（3）【分析】（1）利用三角板的两条直角边作图即可；（2）由垂直的定义可得，进而可求出的度数；根据垂直于同一直线的两条直线互相平行可判断与的位置关系；（3）根据点到直线距离的定义求解即可解：（1）如图， （2），故答案为：30；
8、（3），点A到直线的距离是图中线段的长度故答案为：【点拨】本题考查了垂线的定义及作法，角的和差，平行线的判定，以及点到直线的距离，熟练掌握各知识点是解答本题的关键【变式1】（2023下山东滨州七年级校考期末）在同一平面内，是直线，下列关于它们位置关系的说法中，正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【分析】根据平行线的判定与性质、平行公理的推论判断求解即可解：若，则，故A错误，不符合题意；若，则，故B错误，不符合题意；若，则，故C错误，不符合题意；若，则，故D正确，符合题意；故选：D【点拨】此题考查了平行线的判定与性质，平行公理的推论，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理是解题的关
9、键【变式2】（2023上全国八年级专题练习）已知a，b，c在同一平面内的三条直线，若，则a c【答案】/平行【分析】本题考查了平行线的判定，熟知在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键解：，故答案为：【考点5】平行线判定探究【例5】（2021下福建厦门七年级校考期中）已知：如图，点、三点共线，平分，问：与有什么位置关系？请写出推理过程 【答案】，推理见分析【分析】由得到，求出，由平分得到，进而得到，根据平行线的判定证明结论解：，证明如下：，平分，【点拨】此题主要考查了平行线的判定、垂线的定义、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定是解题的关键【变式1】（2022下四川绵
10、阳七年级统考期末）在探究“过直线外一点P作已知直线a的平行线”的活动中，王玲同学通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线，在这个过程中她可能用到的推理依据组合是（）平角的定义；邻补角的定义；角平分线的定义；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等ABCD【答案】D【分析】如图5，设直线PA与纸片的边相交于点M、点N，直线AB与纸片的边交于点H，根据翻折变换的性质推出PAB=PAH，MPC=APC，然后根据平角MPA=HAB=180，即可推出PAB=PAH=90，MPC=APC=90，即得b平行于a解：如图5，设直线PA与纸片的边相交于点M、点N，直线AB与纸片的边交于点H， 如题图2，对
11、折后，射线AH与射线AB重合而产生折线AP，PAB=PAH（角平分线的定义），如题图3，对折后，射线PM和射线PA重合而产生折线PC，MPC=APC（角平分线的定义），点M、P、A在同一条直线上，点B、A、H在同一条直线上，MPA=HAB=180（平角的定义），PAB=PAH=90，MPC=APC=90ba（同旁内角互补，两直线平行）故选：D【点拨】本题主要考查翻折变换的性质，关键在于通过相关的性质推出PAB=PAH，MPC=APC，确定MPA和HAB为平角【变式2】（2023下河北秦皇岛七年级统考期中）如图所示，直线上有两点A，C，分别引两条射线，射线别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度
12、同时顺时针转动，设时间为t，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间 秒【答案】5或/或5【分析】分与在的两侧时，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解解：，分三种情况：如图，与在的两侧时， 要使，则，即，解得；如图，旋转到与都在的右侧时， ，要使，则，即，解得；如图，旋转到与都在的左侧时，要使，则，即，解得，此时，此情况不存在综上所述，当时间t的值为5秒或秒时，与平行故答案为：5或【点拨】本题考查了平行线的判定、一元一次方程的应用，读懂题意并熟练掌握根据平行线的判定方法列方程是解题的关键，要注意分情况讨论
