1、专题48 椭圆、双曲线的焦点弦被焦点分成定比【方法点拨】1. 设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，且，则间满足.2.长短弦公式:如下图,长弦,短弦（其中是焦参数，即焦点到对应准线的距离，是直线与轴的夹角，而非倾斜角）.说明：（1）公式1的推导使用椭圆的第二定义，不必记忆，要有“遇过将焦半径转化为到准线距离”的意识即可.（2）双曲线也有类似结论. FxABO【典型题示例】例1 已知椭圆方程为，AB为椭圆过右焦点F的弦，则的最小值为 【答案】【解析】由，得，则椭圆的离心率为，右准线方程为如图，过作于，则，设的倾斜角为，则，联立，可得，同理可得，令，当且仅当，即时上式取等号的
2、最小值为故答案为：例2 （2021江苏南京盐城二调7）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且若|AB|AF1|，则双曲线C的离心率为A4 B C D2【答案】D【解析】，例3 已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，与过右焦点F且斜率为k(k0)的直线相交于A，B两点若3，则k_.【答案】【解析】如右图，设l为椭圆的右准线，过A、BxDFB BBAyOB/A/分别向l作垂线AA/、BB/，A/、B/分别是垂足，过B作AA/垂线BD，D是垂足 设BF=t ，AF=3t 则， 中， 故 又k0，所以.【巩固训练】1. 设F
3、1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点若|AF1|3|F1B|，AF2x轴，则椭圆E的离心率为_2.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且 2，则C的离心率为_3. 已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点设，则与的比值等于 4.已知，是椭圆的左右焦点，若上存在不同两点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围为A，BC，D5.设为双曲线的右焦点，过点且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若，则双曲线的离心率等于( )A.B.C.D.6.设双曲线：的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为_
4、7.抛物线y2=4x，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两点，若BA=4BF，则OAB（O为坐标原点）的面积为_【答案与提示】1.【答案】【解析】如右图，设直线AB的倾斜角为 则， 所以由|AF1|3|F1B|、长短弦公式得：，化简得：代入得：，即解之得：（负值已舍），所以.2.【答案】3.【答案】4.【答案】C【解析】延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，则，由，且，由，所以，整理得，其中，由，不重合，所以，解得，所以，椭圆的离心率的取值范围，5.【答案】D【解析】设双曲线的右焦点，则过点且斜率为的直线的方程为，渐近线方程是.由，得，由，得，所以，.由，得，则，即，则，则，故选D.6.【答案】【解析】由可得，设，过分别做准线的垂线，垂足为，由双曲线定义得，过做垂直于垂足，因为斜率为，所以在中，可得 ，即，解得 ，的离心率为，故答案为.7.【答案】433【解析】由题意可知：AF=3BF，结合焦半径公式有：p1-cos=3p1+cos，解得：cos=12,=3，故直线AB的方程为：y=3(x-1)，与抛物线方程联立可得：3y2-43y-12=0，则y1-y2=4332-4(-4)=83，故OAB的面积S=12OFy1-y2=12183=433.
