1、天津市河西区2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（共9小题）.1.如果，是两个单位向量，则与一定（ ）A. 相等B. 平行C. 方向相同D. 长度相等【答案】D【解析】【分析】根据，是两个单位向量；可得到其模长相等，方向不定，即可判断答案【详解】因为，是两个单位向量；所以其模长相等，方向不定；故选：D【点睛】本题主要考查平面向量的概念和关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题。2.若复数为纯虚数，则实数的值为 （ ）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】解：因为选C3.在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方
2、式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如表：观看场数01234567观看人数占调查人数的百分比8%10%20%26%m%12%6%2%从表中可以得出正确的结论为（ ）A. 表中m的数值为8B. 估计观看比赛不低于4场的学生约为360人C. 估计观看比赛不低于4场的学生约为720人D. 估计观看比赛场数众数为2【答案】B【解析】【分析】由频率分布表的性质，求出m12,否定A;先由频率分布表求出观看比赛不低于4场的学生所占比率为36%，由此估计观看比赛不低于4场的学生约为360人；出现频率最高的为3即可作出选择.【详解】由频率分布表的性质，得：m1008102026166212，故A错
3、误；观看比赛不低于4场的学生所占比率为：16%+12%+6%+2%36%，估计观看比赛不低于4场的学生约为：100036%360人，故B正确，C错误；出现频率最高的为3故D错误；故选：B【点睛】本题考查频率分布表以及利用频率分布表估计人数与众数，考查基本分析判断能力，属基础题.4.甲、乙两个元件构成一串联电路，设=“甲元件故障”，=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，可知串联电路中，甲元件故障或者乙元件故障，都会造成电路故障，根据并事件的定义，即可得出答案.【详解】解：由题意知，甲、乙两个元件构成一串联电路，=“甲元件故障”，
4、=“乙元件故障”，根据串联电路可知，甲元件故障或者乙元件故障，都会造成电路故障，所以电路故障的事件为：.故选：A.【点睛】本题考查对并事件的理解，属于基础题.5.若为虚数单位，且，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化简原式，利用复数相等的性质可得结果.【详解】因为，即，因为为虚数单位，所以，故选C【点睛】本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题.6. 小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支分布如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为A. 30%B. 10%C. 3%D. 不能确定【答案】C【解析】鸡蛋开支占食品开支
5、，小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为7.设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（ ）A. 事件AB，则P（A）P（B）B. 若A和B互斥，则A和B一定相互独立C. 若A和B相互独立，则A和B一定不互斥D. P（A）+P（B）1【答案】C【解析】【分析】根据事件的包含关系，对立事件与相互独立事件的概率与性质进行判断【详解】若事件B包含事件A，则P（A）P（B），故A错误；若事件A、B互斥，则P（AB）0，若事件A、B相互独立，则P（AB）P（A）P（B）0，故B错误，C正确；若事件A，B相互独立，且P（A），P（B），则P（A）+P（B）1，故D错误故选：C【点睛】本题考查概
6、率的性质，属于基础题.8.设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果.【详解】因为，所以由正弦定理可得，所以，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.9.已知向量，是两个不共线的向量，
7、且向量m3与（2m）共线，则实数m的值为（ ）A. 1或3B. C. 1或4D. 3或4【答案】A【解析】分析】由向量共线可得存在实数k使得m3k（2m），整理，利用平面向量基本定理列关于k，m的方程组，解出即可.【详解】解：向量m3与（2m）共线，存在实数k使得：m3k（2m），化为：（mk）3k（2m），向量，是两个不共线的向量，解得m3或1.故选：A.【点睛】本题考查向量共线定理的应用以及平面向量基本定理的应用，是基础题.二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.10.i是虚数单位，复数_.【答案】4i 【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复
8、数的运算法则得：.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_名学生【答案】60【解析】【分析】采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的.【详解】该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，应从一年级本科生中抽取学生人数为：.故答案为60.12.将一颗质地均匀的正
9、方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y则事件“x+y3”的概率为_【答案】【解析】【分析】基本事件总数n6636，利用列举法求出事件“x+y3”包含的基本事件（x，y）有3个，由此能求出事件“x+y3”的概率【详解】将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y基本事件总数n6636，事件“x+y3”包含的基本事件（x，y）有：（1，1），（1，2），（2，1），共3个，则事件“x+y3”的概率为p故答案为：【点睛】本题考查古典概型概率，考查
10、基本分析求解能力，属基础题.13.在三角形ABC中，角A,B,C所对应的长分别为a，b，c，若a=2，B=，c=2，则b= 【答案】：2【解析】【详解】因为已知两边及其夹角，所以直接用余弦定理 得b=2.14.已知， 是夹角为的两个单位向量，2，k，若 0，则实数k的值为_【答案】【解析】解：因为为两个夹角为的单位向量，所以即为15.如图，在平面四边形中，.若点为上的动点，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】建立直角坐标系，得出，利用向量的数量积公式即可得出，结合，得出的最小值.【详解】因为，所以以点为原点，为轴正方向，为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，因为，所以，又因为，所以直线
11、的斜率为，易得，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，令，解得，所以，设点坐标为，则，则，所以 又因为，所以当时，取得最小值为【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及直线与方程三、解答题：本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤16.随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率25，3030.12（30，35
12、50.20（35，4080.32（40，45n1f1（45，50n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人日加工零件数落在区间（30，35的概率【答案】（1）n17，f10.28； n22， f20.08；（2）见解析（3）0.5904【解析】【分析】（1）利用所给数据，可得样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图；（3）利用对立事件可求概率【详解】（1）（40，45的频数n17，频率f10.28；（45，50的频数
13、n22，频率f20.08；（2）分组频数频率频率/组距25，3030.120.024（30，3550.200.04（35，4080.320.064（40，4570.280.056（45，5020.080.016绘制频率分布直方图如图所示：（3）设在该厂任取4人，没有一人的日加工零件数落在区间（30，35为事件A，则至少有一人的日加工零件数落在区间（30，35为事件，已知该厂每人日加工零件数落在区间（30，35的概率为，0.4096，在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35的概率0.5904【点睛】本题考查频率分布表、频率分布直方图、求事件的概率，属于中档题.17.在一次猜灯
14、谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，求出，任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：，由此能求出结果（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为，由此能求出结果.【详解】（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则P（A），P（B），任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P（A）P（A）P（）+P（）P（B）（1）（2）任选一道灯谜，甲、
15、乙都没有猜对的概率为：P（）P（）P（）（1）（1）【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.18.在ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B30，b，c2，解这个三角形【答案】a1，A15，C135或，A105，C45【解析】【分析】根据正弦定理求得C，进而得到A，根据余弦定理求得a即可【详解】解：由正弦定理可得sinCsinB，因为bc，则C135或45，所以A15或105；根据余弦定理可得cosB，即，解得a1或 1，时，时，故该三角形a1，A15，C135或a1，A105，C45【点睛】本题考查
16、解三角形，确定选用公式的顺序是解题关键本题根据已知条件先用正弦定理求出，从而得角，然后由余弦定理求出19.已知（2，1），（1，7），（5，1），设C是直线OP上的一点（其中O为坐标原点）（1）求使取到最小值时的；（2）根据（1）中求出的点C，求cosACB【答案】（1）；（2）cosACB【解析】【分析】（1）根据题意设点，从而将数量积的坐标表示求出来，可得一个关于x的二次函数，利用二次函数的性质，即可求得答案；（2）根据（1）中的点C，可以求得，的坐标，利用向量的数量积即可求得cosACB的值【详解】（1），则直线OP的方程为y，C是直线OP上的一点，则设点，（1x）（5x）+（7）（1）
17、 ，当x4时，取到最小值，此时C（4，2），；（2）由（1）可知，C（4，2），故cosACB【点睛】本题考查向量数量积坐标表示、向量夹角坐标表示、二次函数最值，考查基本分析求角能力，属基础题.20.设z1是虚数，z2z1是实数，且1z21（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；（2）若，求证为纯虚数；（3）求z22的最小值【答案】（1）|z1|1，取值范围为，（2）见解析（3）1【解析】分析】（1）设z1代数形式代入z2，根据z2是实数，求得|z1|，再根据1z21，求得z1的实部的取值范围；（2）根据复数除法法则化简，再根据纯虚数概念判断证明；（3）先化简z22，再利用基本不等式求最小值【详解】（1）设z1a+bi，（a，bR，且b0），则z2z1（a+bi）（a+bi）（a+bi）（a）+（b）i，因为z2是实数，所以b0，即b（）0，因为b0，所以a2+b21，即|z1|1，且z22a，由1z21，得12a1，解得a，即z1的实部的取值范围为，（2）证明：a2+b21，因为a，b0，所以为纯虚数（3）z22（a）+（b）i（）2，2a+（bb）i2a2a 1111+2（a+1）42（a+1）3，a+1，当2（a+1）时，即a0时，z22取最小值1【点睛】本题考查复数概念、复数的模、纯虚数概念、复数运算以及利用基本不等式求最值，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.
