1、坐标系 第一讲 1.4 柱坐标系与球坐标系简介2.1 曲线的参数方程2.1.1 参数方程的概念与圆的参数方程栏目导航 课前教材预案课堂深度拓展课后限时作业课末随堂演练 建立空间直角坐标系Oxyz，设P(x，y，z)是空间任意一点，在Oxy平面的射影为Q，用(，)(0,02)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，点P的位置可用有序数组(，z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做_有序数组(，z)叫点P的_，其中0,02，zR.课前教材预案要点一 柱坐标系柱坐标系柱坐标 建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|r，OP与Oz轴正向所夹的角为，P在Oxy平面的射影为Q，Ox轴按逆
2、时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为，点P的位置可以用有序数组(r，)表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)有序数组(r，)叫做点P的球坐标，其中r0，0，02.要点二 球坐标系要点三 空间直角坐标系与柱坐标系的转化空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(，z)之间的变换公式为xcos，ysin ，zz.要点四 空间直角坐标系与球坐标系的转化空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，)之间的变换公式为x2y2z2r2，x_，y_，z_.rsin cos rsin sin rcos 课堂深度拓展考点一 点的柱坐标与直角坐标的互化运用公式xcos ysin
3、 zz与 x2y2tan yxx0zz，可实现点的柱坐标与点的直角坐标之间的互化在使用 tan yx(x0)时，的值由直角坐标系中的 x，y 的符号来确定【例题1】设点M的直角坐标为(2,2,2)，求它在柱坐标系中的坐标 思维导引：已知直角坐标系中点M的直角坐标，联想空间直角坐标系与柱坐标系的转化公式，代入求解解析：设点 M 的柱坐标为(，z)，则有2cos，2sin ，2z，解得 2 2，4，z2.因此，点 M 的柱坐标为2 2，4，2.【变式 1】已知点 P 的柱坐标为8，6，4，求它的直角坐标解析：P 点的柱坐标为8，6，4，8，6.由公式xcos ysin zz，得x8cos 6y8s
4、in 6z4，即x4 3，y4，z4.P 点的直角坐标为(4 3，4,4)考点二 点的球坐标与直角坐标的互化运用公式x2y2z2r2xrsin cos yrsin sin zrcos 与r2x2y2z2tan yxx0cos zr，可实现点的球坐标与点的直角坐标的互化特别注意在由直角坐标求球坐标的时候，应根据点所在的象限准确取值，才能无误【例题 2】已知点 M 的球坐标为2，34，34，求它的直角坐标思维导引：已知点 M 的球坐标，求它的直角坐标联想到公式x2y2z2r2，xrsin cos，yrsin sin ，zrcos，代入求解解析：设点 M 的直角坐标为(x，y，z)，将点 M 的球坐
5、标为2，34，34 代入公式x2y2z2r2，xrsin cos，yrsin sin ，zrcos，得到 x2sin 34cos 341，y2sin 34sin 341，z2cos 34 2.因此点 M 的直角坐标为(1,1，2)【变式 2】设点 M 的直角坐标为24，64，22，求它的球坐标解析：由变换公式得r x2y2z2216 616241，由 rcos z 22 得 cos 22，34.又 tan yx 3(x0，y0)，得 3.则 M 的球坐标为1，34，3.考点三 空间坐标系中两点间的距离空间坐标系中两点间距离的解法在球坐标系与柱坐标系中没有研究两点间的距离，应先把它们化成直角坐标
6、，再运用空间两点间的距离公式 d x2x12y2y12z1z22求解 思维导引：把柱坐标与球坐标都化为直角坐标，利用空间两点间的距离公式来解决【例题 3】已知点 M 的柱坐标为2，4，3，点 N 的球坐标为2，4，2，求线段 MN 的长度解 析：设 点 M 的 直 角 坐 标 为(x，y，z)，则 由xcos ，ysin ，zz，得 x 2cos 41，y 2sin 41，z3，则 M(1,1,3)设点 N 的直角坐标为(x，y，z)，则由x2y2z2r2，xrsin cos，yrsin sin ，zrcos，得 x 2sin 4cos 20，y 2sin 4sin 21，z 2cos 41，
7、则 N(0,1,1)故MN 102112312 5.【变式 3】在球坐标系中，A2，4，4 和 B2，34，34 的距离为_.解析：A，B 两点化为直角坐标分别为：A(1,1，2)，B(1,1，2)故|AB|112112 2 222 3.2 3考点四 空间坐标系的综合应用(1)柱坐标系是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的(2)解决空间坐标系中的问题的关键是找出这些点所具有的共性和变化的特征【例题4】给定一个底面半径为2，高为2的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标系描述圆柱侧面以及底面上点的坐标 思维导引：建立恰当的柱坐标系，然后根据柱坐标的定义解决相关问题 解析：以圆柱底面圆的圆心
8、为原点，取两条互相垂直的直线为x轴y轴，以向上的中轴线为z轴正方向建立柱坐标系 下底面上的点的柱坐标满足(1，1,0)其中012，012.上底面上的点的柱坐标满足(2，2,2)其中022，022.侧面上的点的柱坐标满足(2，3，z)其中032，0z2.【变式 4】在赤道平面上，我们选取地球球心 O 为极点，以 O 为端点且与零子午线相交的射线 Ox 为极轴，建立坐标系有 A，B 两个城市，它们的球坐标分别为AR，4，6，BR，4，23，飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最短，求最短的路程解析：如图所示，因为AR，4，6，BR，4，23，可知AOO1O1OB4，则O1AOO1BO4.又EOC6，EOD23，COD23 62.AO1BCOD2.RtOO1B 中，O1BO4，OBR，O1BO1A 22 R.AO1B2，ABR.在AOB 中，ABOBOAR，AOB3.故飞机经过 A，B 两地的大圆，航线最短，其路程为3R.课末随堂演练课后限时作业制作者：状元桥适用对象：高二学生制作软件：Powerpoint2003、Photoshop cs3运行环境：WindowsXP以上操作系统
