1、计时双基练四十三垂直关系A组基础必做1给出下列四个命题：垂直于同一平面的两条直线相互平行；垂直于同一平面的两个平面相互平行；若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面。其中真命题的个数是()A1 B2C3 D4解析由直线与平面垂直的性质，可知正确；正方体的相邻的两个侧面都垂直于底面，而不平行，故错；中两平面有可能相交，故错；由直线与平面垂直的定义知正确。答案B2设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下面命题正确的是()Am，n，mnB，m，nmnC，m，nmnD，m，nmn解析对于选项A，与还可能平
2、行，选项A错；对于选项B，设l，在内作cl，则c，所以mc，且nc，所以mn，选项B正确；而对于选项C和D，容易举出反例来否定。答案B3设a，b，c是三条不同的直线，是两个不同的平面，则ab的一个充分条件是()Aac，bcB，a，bCa，bDa，b解析对于选项C，在平面内存在mb，因为a，所以am，故ab；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D选项中一定推出ab。答案C4(2016南昌模拟)设a，b是夹角为30的异面直线，则满足条件“a，b，且”的平面，()A不存在 B有且只有一对C有且只有两对 D有无数对解析过直线a的平面有无数个，当平面与直线b平行时，两直线
3、的公垂线与b确定的平面，当平面与b相交时，过交点作平面的垂线与b确定的平面。故选D。答案D5如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A直线AB上 B直线BC上C直线AC上 DABC内部解析由ACAB，ACBC1，AC平面ABC1。又AC平面ABC，平面ABC1平面ABC。C1在面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上。答案A6如图所示，AB是O的直径，VA垂直于O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()AMNABBMN与BC所成的角为45COC平面VACD平面VAC平面VBC解
4、析对于A，MN与AB异面，故A错，对于B，可证BC平面VAC，故BCMN，所以所成的角为90，因此B错；对于C，OC与AC不垂直，所以OC不可能垂直平面VAC，故C错；对于D，由于BCAC，因为VA平面ABC，BC平面ABC，所以VABC，因为ACVAA，所以BC平面VAC，BC平面VBC，所以平面VAC平面VBC，故D正确。答案D7如图，BAC90，PC平面ABC，则在ABC，PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有_；与AP垂直的直线有_。解析PC平面ABC，PC垂直于直线AB，BC，AC。ABAC，ABPC，ACPCC，AB平面PAC，ABPA。与AP垂直的直线是AB。答案AB，BC，
5、ACAB8.如图，在三棱锥DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有_(写出全部正确命题的序号)。平面ABC平面ABD；平面ABD平面BCD；平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDE；平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE。解析由ABCB，ADCD知ACDE，ACBE，从而AC平面BDE，故正确。答案9(2016盐城模拟)已知平面，直线l，m满足，m，l，lm，那么：m；l；。由上述条件可推出的结论有_(写出全部正确结论的序号)。解析由条件知，m，l，lm，则根据面面垂直的性质定理有l，即成立；又l，根据面面垂直的判定定理有，即成立。答案10.(2016哈
6、尔滨模拟)如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD。(1)证明：PABD；(2)设PDAD1，求棱锥DPBC的高。解(1)证明：因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得BDAD，从而AB2AD2BD2，故ADBD，又PD底面ABCD，可得BDPD，又PD平面PAD，AD平面PAD，PDADD，所以BD平面PAD，又PA平面PAD，故PABD。(2)如图，作DEPB，垂足为E。已知PD底面ABCD，则PDBC。由(1)知BDAD，又BCAD，BCBD。又PD，BD平面PBD，PDBDD，故BC平面PBD，又DE平面PBD，所以BCDE。又B
7、C，PB平面PBC，BCPBB，则DE平面PBC。AD1，AB2，DAB60。BD。又PD1，PB2。根据DEPBPDBD，得DE，即棱锥DPBC的高为。11如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点。(1)求证：平面ABE平面B1BCC1；(2)求证：C1F平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积。解(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC。所以BB1AB。又因为ABBC，所以AB平面B1BCC1。因为AB平面ABE。所以平面ABE平面B1BCC1。(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG。因为E，
8、F分别是A1C1，BC的中点，所以FGAC，且FGAC。因为ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1。所以四边形FGEC1为平行四边形。所以C1FEG。又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE。(3)因为AA1AC2，BC1，ABBC，所以AB。所以三棱锥EABC的体积VSABCAA112。B组培优演练1如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，ACBC1，ACB90，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E。要使AB1平面C1DF，则线段B1F的长为()A.B1 C.D2解析设B1Fx，因为AB1平面C1DF，DF平面C1D
9、F，所以AB1DF。由已知可以得A1B1，设RtAA1B1斜边AB1上的高为h，则DEh。又2h，所以h，DE。在RtDB1E中，B1E。由等面积法得 x，得x。答案A2正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若B1MN是直角，则C1MN_。解析B1C1平面ABB1A1，MN平面ABB1A1。MNB1C1。又MNB1M，B1MB1C1B1，MN平面B1C1M，又MC1平面B1C1M，MNMC1即C1MN90。答案903(2016天津模拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：BDAC
10、；BAC是等边三角形；三棱锥DABC是正三棱锥；平面ADC平面ABC。其中正确的是_。解析由题意知，BD平面ADC，故BDAC，正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等边三角形，正确；易知DADBDC，又由知正确；由知错。答案4.(2015湖北卷)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑。在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE。(1)证明：DE平面PBC，试判断四面体EBCD是否为鳖臑。若是，写出其每个面的直角(
11、只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)记阳马PABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值。解(1)证明：因为PD底面ABCD，所以PDBC。由底面ABCD为长方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC平面PCD。DE平面PCD，所以BCDE。又因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC。而PCBCC，所以DE平面PBC。由BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是BCD，BCE，DEC，DEB。(2)由已知，PD是阳马PABCD的高，所以V1SABCDPDBCCDPD；由(1)知，DE是鳖臑DBCE的高，BCCE，所以V2SBCEDEBCCEDE。在RtPDC中，因为PDCD，点E是PC的中点，所以DECECD，于是4。
