1、二十三 椭圆的标准方程(15 分钟 30 分)1(2020宁波高二检测)已知椭圆x225 y216 1 上一点 P 到一个焦点的距离为 3，则点 P 到另一个焦点的距离为()A2 B5 C6 D7【解析】选 D.设椭圆的左右焦点分别为 F1，F2，则|PF1|PF2|2a，由椭圆方程知 a5，所以点 P 到另一个焦点的距离为 1037.【补偿训练】(2020吴起高二检测)已知点 P 是椭圆x216 y27 1 上一点，F 是椭圆的一个焦点，PF 的中点为 Q，O 为坐标原点，若|OQ|1，则|PF|()A3 B4 C5 D6【解析】选 D.设左焦点为 F，右焦点为 E，因为 PF 的中点为 Q
2、，EF 的中点为 O，所以|PE|2|OQ|2，又|PE|PF|2a8，所以|PF|6.2已知椭圆过点 P35，4和点 Q45，3，则此椭圆的标准方程是()A.y225 x21 Bx225 y21 或 x2y225 1Cx225 y21 D以上都不对【解析】选 A.设椭圆方程为 Ax2By21(A0，B0)，由题意得 925A16B1，1625A9B1，解得A1，B 125所以此椭圆的标准方程为y225 x21.3椭圆 5x2ky25 的一个焦点是(0，2)，那么 k()A1 B1 C 5 D 5【解析】选 B.由 5x2ky25 得，x2y25k1.因为焦点为(0，2)，所以 a25k，b2
3、1，所以 c2a2b25k 14，所以 k1.4(2020济南高二检测)若方程x2m y21m 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为_【解析】由题可知，方程x2m y21m 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，可得 1mm0，解得 0mb0)，令 xc，则 yb2a，由|AB|3，得2b2a3，又 a2b2c21，联立得 a24，b23.所以椭圆的方程为x24 y23 1.3设椭圆x24 y21 的左焦点为 F，P 为椭圆上一点，其横坐标为 3，则|PF|()A12 B32 C52 D72【解析】选 D.由椭圆方程易求点 P 的一个坐标为3，12，左焦点为 F(3，0)，所以|P
4、F|（3 3）2120272.4(2020常德高二检测)已知椭圆 C：x264 y239 1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆 C 上，若|PF1|6，则PF1F2 的余弦值为()A 310 B 710 C25 D35【解析】选 A.因为椭圆方程为x264 y239 1，|PF1|6，所以|PF1|PF2|2a16，所以|PF2|10，而|F1F2|2 6439 10，故 cos PF1F2|PF1|2|F1F2|2|PF2|22|PF1|F1F2|361001002610 310.二、多选题(每小题 5 分，共 10 分，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得
5、0 分)5已知在平面直角坐标系中，点 A(3，0)，B(3，0)，点 P 为一动点，且|PA|PB|2a(a0)，给出下列说法中正确的说法是()A当 a2 时，点 P 的轨迹不存在B当 a4 时，点 P 的轨迹是椭圆，且焦距为 3C当 a4 时，点 P 的轨迹是椭圆，且焦距为 6D当 a3 时，点 P 的轨迹是以 AB 为直径的圆【解析】选 AC.当 a2 时，2a4|AB|，故点 P 的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|6，B 错误，C 正确；当a3 时，点 P 的轨迹为线段 AB，D 错误 6(2020沈阳高二检测)椭圆x216 y225 1 上的一点 P 到椭圆焦点的距离的乘积为m，当 m 取
6、最大值时，点 P 的坐标不可能为()A()4，0 B()0，5 C()4，0 D()0，5【解析】选 BD.记椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，有|PF1|PF2|2a10，则知 m|PF1|PF2|PF1|PF2|2225，当且仅当|PF1|PF2|5，即点 P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值 25，所以点 P 的坐标为(4，0)或(4，0).三、填空题(每小题 5 分，共 10 分)7在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ABC 顶点 A(4，0)和 C(4，0)，顶点 B在椭圆x225 y29 1 上，则sin Asin Csin B_.【解析】由题意知，A，C 为椭圆的两焦点，
7、则|AC|8，|AB|BC|10.所以sin Asin Csin B|BC|AB|AC|108 54.答案：54 8已知 F 是椭圆 5x29y245 的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|PF|的最大值为_，最小值为_【解析】椭圆方程化为x29 y25 1，设 F1 是椭圆的右焦点，则 F1(2，0)，所以|AF1|2，|PA|PF|PA|PF1|6，又|AF1|PA|PF1|AF1|(当 P，A，F1 共线时等号成立)，所以|PA|PF|6 2，|PA|PF|6 2.答案：6 2 6 2四、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9(2020遂宁高二检测)求适合下
8、列条件的椭圆的标准方程(1)与椭圆x22 y21 有相同的焦点，且经过点1，32.(2)经过 A2，22，B 2，32两点【解析】(1)椭圆x22 y21 的焦点坐标为(1，0)，因为椭圆过点1，32，所以 2a（11）2322（11）23224，所以 a2，b 3，所以椭圆的标准方程为x24 y23 1.(2)设所求的椭圆方程为x2m y2n 1(m0，n0，mn).把 A2，22，B 2，32两点代入，得4m12n12m34n1，解得 m8，n1，所以椭圆的标准方程为x28 y21.10设 P 是圆 x2y225 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为 PD 上一点，且|MD
9、|45|PD|.当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程【解析】设点 M 的坐标是(x，y)，P 的坐标是(xP，yP)，因为点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为 PD 上一点，且|MD|45|PD|，所以 xPx，且 yP54 y.因为 P 在圆 x2y225 上，所以 x254y225，整理得x225 y216 1，即点 M 的轨迹 C 的方程是x225 y216 1.【创新迁移】1已知点 P(6，8)是椭圆x2a2 y2b2 1(ab0)上一点，F1，F2 为椭圆的两焦点，若1PF 2PF 0.试求(1)椭圆的方程(2)sin PF1F2 的值【解析】(1)因为1PF 2
10、PF 0，所以(c6)(c6)640，所以 c10，所以 F1(10，0)，F2(10，0)，所以 2a|PF1|PF2|（610）282 （610）282 12 5，所以 a6 5，b280.所以椭圆方程为 x2180 y280 1.(2)如图所示，过点 P 作 PMx 轴，垂足为 M，则|PM|8，|F1M|10616，所以|PF1|PM|2|F1M|2 82162 8 5，所以 sin PF1F2|PM|PF1|88 5 55.2(2020靖远高二检测)已知 ABC 的周长为 4 3 8 且点 A，B 的坐标分别是()2 3，0，()2 3，0，动点 C 的轨迹为曲线 Q.(1)求曲线
11、Q 的方程；(2)直线 l 过点 P()1，1，交曲线 Q 于 M，N 两点，且 P 为 MN 的中点，求直线l 的方程【解析】(1)因为 ABC 的周长为 4 3 8，点 A()2 3，0，B()2 3，0，所以|AB|4 3，|BC|AC|8.因为 84 3，所以点 C 到两个定点的距离之和等于定值，所以点 C 的轨迹是椭圆，设它的方程为x2a2 y2b2 1()ab0.所以 a4，c2 3，b24，所以椭圆的方程是x216 y24 1()y0.(2)设 M()x1，y1，N()x2，y2，因为两点在椭圆上，所以x2116y214 1x2216y224 1，两式相减可得()x1x2()x1x216()y1y2()y1y240，因为 x1x22，y1y22，代入可得y1y2x1x2 14，所以直线 l 的方程是 y114()x1，即 x4y50.
