1、专题12 截长补短证全等1如图，在中，平分交于点D，若，求的度数【答案】【解析】【分析】在上截取，连接，证明，再证明，设，再得到，证明 然后利用内角和定理求解即可【详解】解：如图，在上截取，连接平分，设，则在中，解得，【点睛】本题考查的是角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键2已知：如图所示，在中，为中线，交分别于，如果，求证： 【答案】详见解析【解析】【分析】根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF【详解】证明：延长
2、ED至G，使，连结GC， 在中，为中线，BD=CD，在ADC和GDB中， ，又，.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形3如图，已知：在中，、是的角平分线，交于点O求证：【答案】见解析【解析】【分析】在AC上取一点H，使AHAE，根据角平分线的定义可得EAOHAO，然后利用“边角边”证明AEO和AHO全等，根据全等三角形对应角相等可得AE0AHO，根据角平分线的定义可得12，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出360，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出460，从而得到34，然后利用“边角边”证明CFO和CHO全等，根据全等三
3、角形对应边相等可得CFCH，再根据ACAHCH代换即可得证【详解】证明：如图，在上取一点H，使，连接是的角平分线，在和中，是的角平分线，、是的角平分线，在和中，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，利用“截长补短”法作辅助线构造出全等三角形是解题的关键4如图，四边形中， ，M、N分别为AB、AD上的动点，且求证： 【答案】见解析【解析】【分析】延长至点，使得，连接，根据同角的补角相等得，根据证明，则，进而证明，根据证明，得到，则【详解】证明：延长至点，使得，连接，四边形中，在和中，在和中，【点睛】本题主要
4、考查了全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键5如图所示，已知ABC中ABAC，AD是BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MBMCABAC【答案】见解析【解析】【分析】法一：因为ABAC，所以在AB上截取线段AEAC，则BEABAC，连接EM，在BME中，显然有MBMEBE，再证明MEMC，则结论成立法二：延长AC至H，在AH上截取线段ABAG，证明ABMAGM，得到BM=GM，根据三角形的三边关系即可求解【详解】证明：法一：在AB上截取AEAC，连接ME，在MBE中，MBMEBE（三角形两边之差小于第三边）,AD是BAC的平分线，,在AMC和AME中，AMCAME
5、（SAS），MCME（全等三角形的对应边相等）又BEABAE，BEABAC，MBMCABAC法二：延长AC至H，在AH上截取线段ABAG，同理可证得ABMAGM（SAS），BM=GM，在MCG中MG-MCCGMBMCAG-AC= ABAC即MBMCABAC【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系以及截长补短法，解题关键是作辅助线构造全等三角形6如图，已知ABC中，AB=AC，A=108，BD平分ABC求证：BC=AB+CD 【答案】证明见解析【解析】【分析】在BC上截取点E，并使得BE=BA，连接DE，证明ABDEBD，得到DEB=BAD=108，进一步计算出DEC=CDE=72
6、得到CD=CE即可证明【详解】证明：在线段BC上截取BE=BA，连接DE，如下图所示：BD平分ABC，ABD=EBD， 在ABD和EBD中： ，ABDEBD(SAS)，DEB=BAD=108，DEC=180-108=72，又AB=AC，C=ABC=(180-108)2=36，CDE=180-C-DEC=180-36-72=72，DEC=CDE，CD=CE，BC=BE+CE=AB+CD【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质等，本题的关键是能在BC上截取BE，并使得BE=BA，这是角平分线辅助线和全等三角形的应用的一种常见作法7如图，在正方形AB
7、CD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分DAE，求证：AEEC+CD【答案】见解析【解析】【分析】连接FE，过点F作FHAE交AE于点H，由题意易得DAFEAF，FHFD，进而可证FHEFCE，然后根据三角形全等的性质及线段的等量关系可求证【详解】证明：连接FE，过点F作FHAE交AE于点H，AF平分DAE，D90，FHAE，DAFEAF，FHFD，又DFFCFH，FE为公共边，FHEFCE（HL）HECEAEAH+HE，AHADCD，HECE，AEEC+CD【点睛】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定与性质，关键是根据正方形的性质得到三角形的全等，然后根据全等三角形的性质
8、及线段的等量关系即可求解8如图，点在线段上，、分别是、的角平分线，若，求的长【答案】5【解析】【分析】如图，在上截取，连接，先证明，得到，然后证明，得到，即可求出答案【详解】解：如图，在上截取，连接，是的角平分线，在和中，是的角平分线，在和中，【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证明是解题关键9如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B=D=90，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD求证：EF=BE+FD 【答案】证明见解析【解析】【分析】延长EB到G，使BG=DF，连接AG先说明ABGADF，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得AEGAEF，最
9、后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答【详解】延长EB到G，使BG=DF，连接AGABG=ABC=D=90，AB=AD，ABGADFAG=AF，1=21+3=2+3=EAF=BADGAE=EAF又AE=AE，AEGAEFEG=EFEG=BE+BGEF=BE+FD【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，做出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键10如图，在梯形ABCD中，ADBC，AE平分BAD，BE平分ABC，且AE、BE交CD于点E试说明ADABBC的理由【答案】见解析【解析】【分析】在AB上找到F使得AFAD，易证AEFAED，可得AFAD，AFED，根据平行线性质可证CBFE，即可
10、证明BECBEF，可得BFBC，即可解题【详解】证明：在AB上找到F使得AFAD，AE平分BAD，EADEAF，在AEF和AED中，AEFAED，（SAS）AFAD，AFED，ADBC，DC180，AFEBFE180CBFE，BE平分BAD，FBEC，在BEC和BEF中，BECBEF，（AAS）BFBC，ABAFBF，ABADBC，即ADABBC【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证AEFAED和BECBEF是解题的关键11如图，在ABC中，D是三角形外一点，且，求证：【答案】见解析【解析】【分析】首先延长BD至E，使CDDE，连接AE，AD，
11、由BDDCAB，易得ABE是等边三角形，继而证得ACDADE，则可证得：ACDE60【详解】延长BD至E，使，连接AE，AD，ABE是等边三角形，在ACD和ADE中，ACDADE（SSS），【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用12如图所示，已知中，BD、CE分别平分和，BD、CE交于点O求证：BE+CD=BC【答案】见解析.【解析】【分析】在BC上取点G使得CGCD，可证CODCOG，得BOGBOE，然后证BOEBOG，得BEBG，可以求得BECDBC【详解】解：在BC上取点G使得CGCD，BOC180
12、（ABCACB）180（18060）120，BOECOD60，在COD和COG中，CODCOG（SAS），COGCOD60，BOG1206060BOE，在BOE和BOG中，BOEBOG（ASA），BEBG，BECDBGCGBC【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证CDCG和BEBG是解题的关键13如图，平分，平分，点在上，求证：.【答案】详见解析【解析】【分析】在BC上取点F，使BF=BA，连接EF，由角平分线的性质可以得出1=2，从而可以得出ABEFBE，可以得出A=5，进而可以得出CDECFE，就可以得出CD=CF，即可得出结论【详解】在B
13、C上取点F，使BF=BA，连接EF，BE、CE分别是ABC和BCD的平分线，1=2，3=4，在ABE和FBE中，ABEFBE(SAS)，A=5，ABCD，A+D=180，5+D=180，5+6=180，6=D，在CDE和CFE中，CDECFE(AAS)，CF=CDBC=BF+CF，BC=AB+CD【点睛】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用截取法正确作辅助线是关键14如图，已知ADBC，PAB的平分线与CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D求证：AD+BC=AB【答案】证明见解析【解析】【分析】如图，在上截取证明再证明可得 从而可得结论.【详解】证明：
14、如图，在上截取 平分 平分 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用截长补短的方法证明两条线段的和等于另一条线段”是解题的关键.15如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于（1）求证：；（2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析【解析】【分析】（1）取的中点，连接，根据已知及正方形的性质利用判定，从而得到；（2）成立，在上取，连接，根据已知及正方形的性质利用判定，从而得到【详解】（1）证明：取的中点，连接，如图；是正方形，；，又，在和中，；（2）解：成立在上取，连接，如图，为正方形，
15、 ，又，在和中，【点睛】此题考查了学生对正方形的性质及全等三角形判定的理解及运用，解题关键是构造16在四边形中，是边的中点（1）如图（1），若平分，则线段、的长度满足的数量关系为_；（直接写出答案）（2）如图（2），平分，平分，若，则线段、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明【答案】（1）AEABDE；（2）AEABDEBD，证明见解析【解析】【分析】（1）在AE上取一点F，使AFAB，由三角形全等的判定可证得ACBACF，根据全等三角形的性质可得BCFC，ACBACF，根据三角形全等的判定证得CEFCED，得到EFED，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AFAB，连结C
16、F，在AE上取点G，使EGED，连结CG，根据全等三角形的判定证得ACBACF和ECDECG，由全等三角形的性质证得CFCG，进而证得CFG是等边三角形，就有FGCGBD，从而可证得结论【详解】解：（1）如图（1），在AE上取一点F，使AFABAC平分BAE，BACFAC在ACB和ACF中，ACBACF（SAS）BCFC，ACBACFC是BD边的中点，BCCDCFCDACE90，ACBDCE90，ACFECF90ECFECD在CEF和CED中，CEFCED（SAS）EFEDAEAFEF，AEABDE故答案为：AEABDE；（2）AEABDEBD证明：如图（2），在AE上取点F，使AFAB，连结
17、CF，在AE上取点G，使EGED，连结CGC是BD边的中点，CBCDBDAC平分BAE，BACFAC在ACB和ACF中，ACBACF（SAS）CFCB，BCAFCA同理可证：ECDECGCDCG，DCEGCECBCD，CGCFACE120，BCADCE18012060FCAGCE60FCG60FGC是等边三角形FGFCBDAEAFEGFG，AEABDEBD【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键17如图，中，分别平分和，相交于点，（1）求的度数；（2）判断，之间的等量关系，并证明你的结论【答案】（1）BFD60；（2）BCBDCE；证
18、明见解析【解析】【分析】（1）根据角平分线和外角性质求解即可；（2）在BC上截取BGBD，连接FG，证明BDFBGF，CGFCEF，即可得到结果；【详解】（1），分别平分和，（2）BCBDCE；证明方法：在BC上截取BGBD，连接FG，在BDF和BGF中，又，CGFCEF（ASA）,CECG，BCBDCE【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、外角定理、三角形全等应用，准确分析是解题的关键18阅读下面材料：【原题呈现】如图1，在ABC中，A2B，CD平分ACB，AD2.2，AC3.6，求BC的长【思考引导】因为CD平分ACB，所以可在BC边上取点E，使ECAC，连接DE这样很容易得到DECDA
19、C，经过推理能使问题得到解决（如图2）【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；（2）拓展提升：如图3，已知ABC中，ABAC，A20，BD平分ABC，BD2.3，BC2求AD的长【答案】（1）5.8；（2）4.3【解析】【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得ACDECD，得到ADDE，ADEC，由于A2B，推出DEC2B，等量代换得到BEDB，得到BDE是等腰三角形，得出ACCE3.6，DEBE2.2，相加可得BC的长；（2）在BA边上取点E，使BEBC2，连接DE，得到DEBDBC（SAS），在DA边上取点F，使DFDB，连接FE，得到BDEFDE，即可推出结论【详解】
20、解：（1）如图2，在BC边上取点E，使ECAC，连接DE在ACD与ECD中，ACDECD（SAS），ADDE，ADEC，A2B，DEC2B，BEDB，BDE是等腰三角形；BEDEAD2.2，ACEC3.6，BC的长为5.8；（2）ABC中，ABAC，A20，ABCC80，BD平分B，1240，BDC60，在BA边上取点E，使BEBC2，连接DE，在DEB和DBC中，DEBDBC（SAS），BEDC80，460，360，在DA边上取点F，使DFDB，连接FE，同理可得BDEFDE，5140，BEEF2，A20，620，AFEF2，BDDF2.3，ADBD+BC4.3【点睛】本题考查了全等三角形的
21、性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键19如图，在四边形中，点E、F分别在直线、上，且(1)当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由(2)当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、之间的数量关系，并说明理由【答案】(1)见解析(2)不成立，见解析【解析】【分析】（1）延长EB至G，使BGDF，连接AG，通过证明ABGADF，EAGEAF可得GEEF，进而可说明EFBE+DF；（2）在BE上截取BMDF，连接AM，通过证明ABMADF，AMEAFE可得MEEF，进而可得EFBEFD(1)EFBE+DF，
22、理由：延长EB至G，使BGDF，连接AG，ABC+ADC180，ABC+ABG180，ADCABG，在ABG和ADF中，ABGADF（SAS），AGAF，BAGDAF，EAFBAD，BAE+DAFBAE+BAGEAF，即EAGEAF，在EAG和EAF中，EAGEAF（SAS），GEEF，EFBE+DF；(2)（1）中结论不成立，EFBEFD，在BE上截取BMDF，连接AM，ABC+ADC180，ADC+ADF180，ABCADF，在ABM和ADF中，ABMADF（SAS），AMAF，BAMDAF，BAM+MADDAF+MAD，BADMAF，EAFBAD，EAFMAF，EAFEAM，在AME和A
23、FE中，AMEAFE（SAS），MEEF，MEBEBMBEDF，EFBEFD【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线证明相关三角形全等是解题的关键20通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请补充完整【解决问题】如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，连接EF，则，试说明理由证明：延长CD到G，使，在与中，理由：（SAS）进而证出：_，理由：（_）进而得【变式探究】如图，四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，若、都不是直角，则当与满足等量关系_时，仍有请证明你的猜想【拓展延伸】如图，若，但，连接EF，请直接写出EF、BE、DF之间的数量关系【答案】（1），理由：SAS；（2），证明见解析；（3）BE+DF=EF【解析】【分析】（1）在前面已证的基础上，得出结论，进而证明，从而得出结论；（2）利用“解决问题”中的思路，同样去构造即可；（3）利用前面两步的思路，证明全等得出结论即可【详解】（1），则，在与中，理由：（）；（2）满足即可，证明如下：如图，延长至，使，在与中，则，在与中，理由：（）；（3）BE+DF=EF证明如下：如图，延长至，使，在与中，则，在与中，理由：（）； 【点睛】本题考查了截长补短的方法构造全等三角形，能够理解前面介绍的方法并继续探究是解决问题的关键
