1、专题10无理方程（3大考点+5种题型）思维导图核心考点与题型分类聚焦考点一：无理方程的概念和解法考点二：无理方程的根的讨论考点三：无理方程的应用题型一：无理方程的概念题型二：不解方程，判断方程是否有实数根题型三：解无理方程题型四：无理方程的根的讨论题型五：无理方程的应用考点一：无理方程的概念和解法1无理方程的概念方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程2解无理方程的方法通过平方把无理方程转化为整式方程，再求解3解无理方程的一般步骤（1）方程两边平方，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验直接代入原方程中，看其是否成立如果成立，则这个根为原
2、方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解考点二：无理方程的根的讨论增根的概念无理方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得无理方程左右两边不相等，那么这个解就是方程的增根.考点三：无理方程的应用寻找题目中的等量关系，列方程，求解，根据实际情况进行取舍题型一：无理方程的概念【例1】下列方程是哪些是关于的无理方程?（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【变式】下列方程是无理方程的是（）AB CD 题型二：不解方程，判断方程是否有实数根【例2】不解方程，说明下列方程是否有实数根：（1）； （2）【变式1】根据平方根的意义，直接判断下列方程是否有解，并简述理由：
3、（1）；（2）；（3）；（4）【变式2】下列哪个方程有实数解（）AB CD题型三：解无理方程【例3】解下列方程：（1）；（2）【变式1】解下列方程：（1）；（2）；【变式2】解下列方程：（1）；（2）【变式3】解方程：【变式4】解方程： （1）； （2）【变式5】解下列方程：（1）；（2）【变式6】解下列方程：【变式7】解下列方程：题型四：无理方程的根的讨论【例4】关于的方程有一个增根x=4，求：（1） a的值；（2） 方程的根【变式1】若方程有一个根是，求实数m的值【变式2】若关于x的无理方程有实数根，求k的取值范围 【变式3】若关于x的方程只有一个实数根，求m的取值范围题型五：无理方程的应
4、用【例5】用一根56厘米的细铁丝弯折成一个直角三角形，使它的一条直角边长为7厘米，求这个直角三角形的另两条边的长度【变式1】建一块场地，用600块正方形的砖头铺成，如果把场地的面积扩大到原来面积的2倍还多0.6平方米，且正方形的砖头的边长增加10厘米，则需要铺540块方砖，求原场地的面积【变式2】如果轴上一点P到两点A（3，5）、B（-1，-2）的距离相等，求P点的坐标【变式3】与为两条互相垂直的大路，小李和老王从十字路口O点同时出发，分别沿着图示的方向以1千米/小时和2千米/小时的速度前进，到达A与B地，一座学校座落于距8千米，距5千米的P处，问：经过多少时间，两人距离学校的路程刚好相等？是
5、几千米？ABPNMOl1l2【变式4】有一群蜜蜂，一部分飞进了枸杞里，其个数等于总数的一半的平方根，还有全体的遗留在后面，此外，这群里还有一个小蜜蜂在莲花旁徘徊着，它被一个坠入香花陷阱的同伴的呻吟声所吸引试问：这群蜜蜂共有多少个?一、单选题1（2023下上海静安八年级统考期末）下列方程中，属于无理方程的是（）ABCD2（2023下上海虹口八年级统考期末）方程的解是（）ABCD3（2023下上海静安八年级上海市回民中学校考期中）如果关于x的方程没有实数根，那么m的取值范围是（）ABCD4（2023下上海普陀八年级校考阶段练习）下列方程没有实数根的个数是（）（1），（2），（3），（4）A1个B2
6、个C3个D4个5（2021下上海浦东新八年级校考期中）下列方程有实数根的是（）.ABCD二、填空题6（2023下上海杨浦八年级统考期末）如果关于的方程无实数解，那么的取值范围是 7（2023下上海宝山八年级统考期末）方程的根是 8（2023下上海虹口八年级上外附中校考期末）关于x的方程有两个不相等的实数解，则k的范围为 9（2023下上海徐汇八年级上海市西南模范中学校考期末）如果关于的无理方程有实数根，那么的值为 10（2023下上海浦东新八年级校考期末）若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是 11（2023下上海八年级专题练习）方程的根为 三、解答题12（2023下上海虹口八年级上外附中校
7、考期末）13（2023下上海宝山八年级校考期中）解方程：14（2023下上海虹口八年级上外附中校考期末）15（2023下八年级单元测试）求直角坐标平面内到的距离都等于15的点的坐标16（2023下八年级单元测试）阅读下列材料，解决问题：求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解，求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程例如：一元三次方程x3+x22x0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x2）0，解方程x0和x2+x
8、20，可得方程x3+x22x0的解（1）方程x36x216x0的解是x10，x2，x3；（2）用“转化”的思想求方程（x2+x2）2+（2x27x+6）2（3x26x+4）2的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD8m，宽AB3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C求AP的长17（2023下上海八年级专题练习）m、n为两条互相垂直的笔直公路，工厂A在公路n上，距公路m为1千米，B与工厂A在公路m的同侧，且距公路m为2千米，距公路n
9、为3千米现要在公路m上建造一个车站P，使它与A、B的距离之和为千米，求P的位置18（2023下上海黄浦八年级统考期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在九章算术对方程一词给出的注释，对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”(1)判断分式方程与无理方程是否是“相似方程”，并说明理由；(2)已知关于，的方程：和，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由；(3)已知关于，的二元一次方程：和（其中为整数）是“相伴方程”，求的值
