1、-1-4.2.2 圆与圆的位置关系-2-4.2.2 圆与圆的位置关系 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 学习目标 思维脉络 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.会利用圆与圆位置关系的判断方法进行圆与圆位置关系的判断.3.能综合应用圆与圆的位置关系解决其他问题.-3-4.2.2 圆与圆的位置关系 XINZHI DAOXUE新知导学 首 页 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 1 2 1.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种,分别为相离、外切、相交、内切、内含
2、.名师点拨两圆的公切线条数:(1)两圆相离时,有四条公切线;(2)两圆外切时,有三条公切线;(3)两圆相交时,有两条公切线;(4)两圆内切时,有一条公切线;(5)两圆内含时,没有公切线.-4-4.2.2 圆与圆的位置关系 XINZHI DAOXUE新知导学 首 页 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 1 2 2.圆与圆位置关系的判定(1)几何法:圆 O1:(x-x1)2+(y-y1)2=12(r10),圆 O2:(x-x2)2+(y-y2)2=22(r20),两圆的圆心距 d=|O1O2|=(1-2)2+(1-2)2,则有 位置关系 外离 外切 相交
3、 内切 内含 图示 d 与 r1,r2 的关系 dr1+r2 d=r1+r2|r1-r2|dr1+r2 d=|r1-r2|d0)相交于 P,Q 两点,则过交点 P,Q 的圆的方程可设为(x2+y2+Dx+Ey+F)+(Ax+By+C)=0(R).这些圆的圆心均在公共弦 PQ 的垂直平分线上,且以 PQ 为直径的圆最小.(2)过 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(12+12-4F10),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(22+22-4F20)交点的圆的方程可设为 x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1).当=-1 时,所设方程为两已知
4、相交圆的公共弦所在的直线方程.即两圆公共弦所在直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.-6-4.2.2 圆与圆的位置关系 XINZHI DAOXUE新知导学 首 页 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 1 2 做一做 1(2015 河南郑州高一期末)圆 x2+y2-1=0 和圆 x2+y2-4x+2y-4=0 的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.外离解析:两个圆的半径分别为 1 和 3,圆心距是 5,2 50).试求a 为何值时,两圆 C1,C2 的位置关系为:(1)相切;(2)相交;(3)外离;(4)内含.思路分析:求
5、出圆心距,与两半径的和或差比较求出 a 的值.解:圆 C1,C2 的方程,经配方后可得C1:(x-a)2+(y-1)2=16,C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,圆心 C1(a,1),C2(2a,1),半径 r1=4,r2=1.|C1C2|=(-2)2+(1-1)2=a.(1)当|C1C2|=r1+r2=5,即 a=5 时,两圆外切;当|C1C2|=r1-r2=3,即 a=3 时,两圆内切.(2)当 3|C1C2|5,即 3a5,即 a5 时,两圆外离.(4)当|C1C2|3,即 a0.两圆的圆心、半径长分别为(0,0),与(-3,4),6.由于两圆内切,则(0+3)2+(0-4)2=|-
6、6|,解得 a=121 或 a=1.-11-4.2.2 圆与圆的位置关系 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究二两圆相交问题当两圆方程中二次项系数相同时,两方程相减即得公共弦所在直线方程.若求公共弦长,则可看作公共弦所在直线与其中一圆相交,利用半径、弦心距、半弦长的关系求解.若求过两圆交点的圆的方程,可利用圆系方程求解.当然也可将两圆的方程联立,解出两交点坐标,利用两点式求出公共弦所在直线方程,并求出弦长.典型例题 2已知圆 C1:x2+y2+6x-4=0 和圆 C2:x2+y2
7、+6y-28=0.(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长;(2)求经过两圆交点且圆心在直线 x-y-4=0 上的圆的方程.思路分析:(1)两圆方程相减求出公共弦所在直线方程,再根据半径、弦心距、弦长的关系求出弦长.(2)可求出两圆的交点坐标,结合圆心在直线 x-y-4=0 上求出圆心坐标与半径,也可利用圆系方程求解.-12-4.2.2 圆与圆的位置关系 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 解:(1)设两圆交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点坐标是方程组 2+2
8、+6-4=0,2+2+6-28=0的解.-得 x-y+4=0.A,B 两点坐标都满足此方程,x-y+4=0 即为两圆公共弦所在直线的方程.又圆 C1 的圆心(-3,0),r=13,C1 到直线 AB 的距离为 d=|-3+4|2=22,|AB|=2 2-2=2 13-12=5 2,即两圆的公共弦长为 5 2.-13-4.2.2 圆与圆的位置关系 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三(2)方法一:解方程组 2+2+6-4=0,2+2+6-28=0,得两圆的交点A(-1,3),B(-6,-
9、2).设所求圆的圆心为(a,b),因圆心在直线 x-y-4=0 上,故 b=a-4.则(+1)2+(-4-3)2=(+6)2+(-4+2)2,解得 a=12,故圆心为 12,-72,半径为 892.故圆的方程为-12 2+72 2=892,即 x2+y2-x+7y-32=0.方法二:设所求圆的方程为 x2+y2+6x-4+(x2+y2+6y-28)=0(-1),其圆心为-31+,-31+,代入 x-y-4=0,解得=-7.故所求圆的方程为x2+y2-x+7y-32=0.方法总结由本题(2)的解法二可以看出,本题用圆系方程求解比较简单.-14-4.2.2 圆与圆的位置关系 ZHONGNAN TA
10、NJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 变式训练 2已知圆 C 的圆心为(2,1),若圆 C 与圆 x2+y2-3x=0 的公共弦所在直线经过点(5,-2),求圆 C 的方程.解:设圆 C 的半径长为 r,则圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,即x2+y2-4x-2y+5=r2,两圆的方程相减得公共弦所在直线方程为 x+2y-5=-r2,因为该直线过点(5,-2),所以 r2=4,故圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.-15-4.2.2 圆与圆的位置关系 ZHONGNAN TANJI
11、U重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究三两圆相切问题两圆相切包括外切与内切,外切时,圆心距等于两半径之和,内切时,圆心距等于两半径差的绝对值.在题目没有说明是内切还是外切时,要分两种情况进行讨论.解决两圆相切问题,常用几何法.典型例题 3求与圆 C:x2+y2-2x=0 外切,且与直线 l:x+3y=0 相切于点 M(3,-3)的圆的方程.解:圆 C 的方程可化为(x-1)2+y2=1,圆心 C(1,0),半径为 1.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),由题意可得 (-1)2+2=+1,
12、+3-3 -33 =-1,|+3|2=,解得 =4,=0,=2.所以所求圆的方程为(x-4)2+y2=4.-16-4.2.2 圆与圆的位置关系 DANGTANG JIANCE当堂检测 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 1 2 3 4 51.圆 O1:(x+2)2+y2=4 与圆 O2:(x-2)2+(y-1)2=9 的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.相离解析:圆 O1 的圆心为(-2,0),半径 r1=2,圆 O2 的圆心为(2,1),半径 r2=3,|O1O2|=42+12=17.因为 r2-r1|O1O2|r1+r2,所以两圆相交
13、.答案:B-17-4.2.2 圆与圆的位置关系 DANGTANG JIANCE当堂检测 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 1 2 3 4 52.已知圆 A、圆 B 相切,圆心距为 10 cm,其中圆 A 的半径为 4 cm,则圆 B 的半径为()A.6 cm 或 14 cmB.10 cmC.14 cmD.无解解析:圆 A 与圆 B 相切包括内切与外切,设圆 B 的半径为 r cm,10=4+r 或 10=r-4,即 r=6 或 14.答案:A-18-4.2.2 圆与圆的位置关系 DANGTANG JIANCE当堂检测 首 页 XINZHI DA
14、OXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 1 2 3 4 53.圆 C1:x2+y2-12x-2y-13=0 和圆 C2:x2+y2+12x+16y-25=0 的公共弦所在的直线方程是 .解析:两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为 4x+3y-2=0.答案:4x+3y-2=0-19-4.2.2 圆与圆的位置关系 DANGTANG JIANCE当堂检测 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 1 2 3 4 54.一圆过圆 x2+y2-2x=0 与直线 x+2y-3=0 的交点,且圆心在 y 轴上,则这个圆的方程是 .解析:设所求圆的
15、方程为 x2+y2-2x+(x+2y-3)=0,即 x2+y2+(-2)x+2y-3=0.依题意,-22=0,=2.故圆的方程为 x2+y2+4y-6=0.答案:x2+y2+4y-6=0-20-4.2.2 圆与圆的位置关系 DANGTANG JIANCE当堂检测 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 1 2 3 4 55.求和圆(x-2)2+(y+1)2=4 相切于点(4,-1),且半径为 1 的圆的方程.解:设所求圆的圆心为(a,b),则(-4)2+(+1)2=1.若两圆外切,则有(-2)2+(+1)2=1+2=3.由,解得 a=5,b=-1,所以所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.若两圆内切,则有(-2)2+(+1)2=2-1=1.由,解得 a=3,b=-1,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.综上,所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1 或(x-3)2+(y+1)2=1.
