1、倍长中线模型巩固练习（基础）1.如图，AD为ABC的中线（1）求证：ABAC2AD（2）若AB5，AC3，求AD的取值范围【解答】（1）证明见解析；（2）1AD4【解析】（1）证明：如图，延长AD至E，使DEAD，连接BE，AE2ADAD是ABC的中线，BDCD，在BDE和CDA中，BDECDA（SAS），BEAC，在ABE中，ABBEAE，ABAC2AD；（2）解：由可知AE2AD，BEAC，在ABE中，ABBEAEABBE，AC3，AB5，53AE53，22AD8，1AD4.2.如图，在ABC中，AD平分BAC，且BDCD求证：ABAC【解答】证明见解析【解析】证明：如图，延长AD到E，使
2、DEAD，连接BE在ADC和EDB中，ADCEDB（SAS），ACEB，2E，AD平分BAC，12，1E，ABBE，ABAC.3.如图，CB是AEC的中线，CD是ABC的中线，且ABAC求证：CE2CD；CB平分DCE【解答】证明过程见解析【解析】证明：如图，延长CD到F，使DFCD，连接BF由题意可得CF2CD，CD是ABC的中线，BDAD，在BDF和ADC中，BDFADC（SAS），BFAC，3A，CB是AEC的中线，BEAB，ACAB，BEAC，BEBF，CBE是ABC的一个外角，CBEBCAABCA3，ACAB，BCACBA，CBECBA3CBF，在CBE和CBF中，CBECBF（SA
3、S），CECF，45，CE2CD，CB平分DCE.4.如图，在ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BEAC，BE的延长线交AC于点F求证：AEFEAF.【解答】证明见解析【解析】证明：如图，延长AD到M，使DMAD，连接BMD是BC边的中点，BDCD，在ADC和MDB中，ADCMDB（SAS），CADM，ACMB，BEAC，BEMB，MBEM，CADBEM，AEFBEM，CADAEF，即AEFEAF.5.如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EFAD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BGCF求证：AD为ABC的角平分线【解答】证明见解析【解析】证明：如图，延长FE到M
4、，使EMEF，连接BM点E是BC的中点，BECE，在CFE和BME中，CFEBME（SAS），CFBM，FM，BGCF，BGBM，3M，3F，ADEF，2F，13，12，即AD为ABC的角平分线6.如图，在四边形ABCD中，ADBC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AFAB，已知AD2.7，AEBE5，求CE的长【解答】CE2.3【解析】如图，延长AF交BC的延长线于点GADBC，3G，点F是CD的中点，DFCF，在ADF和GCF中，ADFGCF（AAS），ADCG，AD2.7，CG2.7，AEBE，5B，ABAF，4590，BG90，4G，EGAE5，CEEGCG52.72.3.7.如图，
5、在正方形ABCD的边CB的延长线上取一点E，FEB为等腰直角三角形，FEB90，连接FD，取FD的中点G，连接EG，CG求证：EGCG且EGCG【解答】证明见解析【解析】证明：如图，延长EG，交CD的延长线于M由题意，FEB90，DCB90，DCBFEB180，EFCD，FEGM，点G为FD中点，FGDG，在FGE和DGM中，FGEDGM（AAS），EFMD，EGMG，FEB是等腰直角三角形，EFEB，BEMD，在正方形ABCD中，BCCD，BEBCMDCD，即ECMC，ECM是等腰直角三角形，EGMG，EGCG，ECGMCG45，EGCG.8.如图，ABC与BDE均为等腰直角三角形，BAAC，EDBD，垂足分别为A，D，连接EC，F为EC中点，连接AF，DF，猜测AF，DF的数量关系和位置关系，并说明理由【解答】AFDF且AFDF【解析】AFDF，AFDF，理由如下：延长DF交AC于点P，如图所示：BAAC，EDBD，BACEDA90，DEAC，DECECA，F为EC中点，EFCF，在EDF和CPF中，EDFCPF（ASA），DECP，DFPF，ABC与BDE均为等腰直角三角形，ABAC，DEBD，ABBDACDEACCP，即ADAP，在DAF和PAF中，DAFPAF（SSS），DFAPFA90，DAFPAF45，AFDF，AFDF.
