1、江苏省扬州中学2019-2020学年高一数学下学期4月阶段测试试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，计60分每小题所给的A、B、C、D四个结论中，只有一个是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑1.直线的倾斜角是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直线方程化为点斜式，求出直线斜率，即可求出倾斜角.【详解】化，斜率为，所以倾斜角为.故选:D.【点睛】本题考查直线的一般式方程，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题.2.已知中，则等于（ ）A. B. 或C. 60D. 或【答案】D【解析】【分析】由正弦定理，得，再根据大边对大角和三角形内角和定理即可.
2、【详解】解：中，由正弦定理得，或满足和故选：D【点睛】考查正弦定理的应用，注意大边对大角和三角形内角和定理，基础题.3.若方程表示圆，则m的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】配方变形为圆的标准方程后可得【详解】方程配方后得，它表示圆，则，故选：C【点睛】本题考查圆的一般方程，二元二次方程表示圆，可通过配方法化为圆的标准方程，由圆标准方程得条件4.在中，若，则的形状是（ ）A. 锐角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形【答案】B【解析】【分析】用正弦定理化边为角，再由三角函数同角关系变形可得【详解】，由正弦定理得，显然，三角形为等腰三角形，故选：B【
3、点睛】本题考查三角形形状的判断，掌握正弦定理的边角互化是解题关键5.已知，则的最小值为A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】由，得，则，利用基本不等式，即可求解【详解】由题意，因为，则，所以，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为5，故选C【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题6.两圆x2+y2=9和x2+y28x+6y+9=0的位置关系是（ ）A. 相离B. 相交C. 内切D. 外切【答案】B【解析】试题分析：分别由两圆的方程找出两圆心坐标和两个半径R和r，然后利用两点间的距离
4、公式求出两圆心的距离d，比较d与Rr及d与R+r的大小，即可得到两圆的位置关系解：把x2+y28x+6y+9=0化为（x4）2+（y+3）2=16，又x2+y2=9，所以两圆心的坐标分别为：（4，3）和（0，0），两半径分别为R=4和r=3，则两圆心之间的距离d=5，因为4354+3即RrdR+r，所以两圆的位置关系是相交故选B考点：圆与圆的位置关系及其判定7.过点（1，3）且垂直于直线x2y+3=0的直线方程为（ ）A. 2x+y1=0B. x2y5=0C. x2y+7=0D. 2x+y+5=0【答案】D【解析】【分析】设所求直线为，根据垂直关系，得到直线的斜率，由点斜式写出直线方程，得到答
5、案.【详解】设直线为，所求直线为因为两直线垂直，所以斜率乘积为，故直线的斜率为，所以直线的方程为，整理得：，故选D.【点睛】本题考查两直线垂直时斜率的关系，直线的点斜式方程，属于简单题.8.已知角的终边与单位圆x2+y21交于P（x0，），则sin2等于（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据三角函数的定义求解，然后利用倍角公式可得.【详解】因为角的终边与单位圆x2+y21交于P（x0，），所以，即，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数求值问题，熟记倍角公式和基本关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.9.设P点为圆C：上任一点，动点，则PQ长度的最小值为（
6、 ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出到圆心距离的最小值，再减去半径即得【详解】由已知圆心为，半径为，时，PQ长度的最小值为故选：A【点睛】本题考查圆上点到圆外点的距离的最值问题，圆上的点到圆外点的距离的最小值等于圆心到圆外点的距离减去半径最大值为加上半径本题点在直线上运动，还可以用点到直线距离公式求得最小值10.设点,若直线与线段有交点，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】动直线过点,使其绕点从逆时针旋转到的过程，符合题意，求出斜率的变化过程即可.【详解】如图,画出线段,直线过点,斜率为,当动直线，绕点从逆时针旋转到的过程，该直线始终与线
7、段有交点,因为，,所以或者，即.即时，直线与线段有交点.故选:D.【点睛】本题考查了过定点的直线与线段有交点问题，数形结合是解决本题的一个较好方法，考查直线的斜率问题，属于中档题.11.如图，是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔，若某科研小组在坝底点测得，沿着坡面前进40米到达点，测得，则大坝的坡角（）的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，可得，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，进而由可得结果.【详解】因为，所以.在中，由正弦定理得，解得.在中，由正弦定理得，所以.又，所以，所以.故选A.【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查诱导公式，考查
8、学生合理进行边角转化的能力，属于中档题.12.中，中，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，建立直角坐标系，设点D的坐标，然后分析点D的位置，利用直线的夹角公式，求得点D的轨迹方程为圆的一部分，然后利用圆的相关知识求出最大最小值即可.【详解】由题，以点B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立直角坐标系；设点，因为，所以由题易知点D可能在直线AB的上方，也可能在AB的下方；当点D可能在直线AB的上方；直线BD的斜率；直线AD的斜率 由两直线的夹角公式可得： 化简整理的 可得点D的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点D在AB的上方，所以是圆在A
9、B上方的劣弧部分；此时CD的最短距离为： 当当点D可能在直线AB的下方；同理可得点D的轨迹方程：此时点D的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点D在AB的下方，所以是圆在AB下方的劣弧部分；此时CD的最大距离为：所以CD的取值范围为【点睛】本题主要考察了直线与圆的综合知识，建系与直线的夹角公式是解题的关键，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卷相应位置13.过点且在轴，轴上截距相等的直线的方程为_.【答案】或【解析】【分析】当直线不过原点时设截距式方程；当直线过原点时设,分别将点代入即可【详解】由题,当直线不过原点时设,则,所以,则直线
10、方程为,即；当直线过原点时设,则,所以,则直线方程为,即,故答案为: 或【点睛】本题考查求直线方程,考查截距式方程的应用,截距相同的直线问题,需注意过原点的情况14.已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】直线过定点，曲线表示圆心为原点，半径为2的圆的上半部分画出图形，结合图形可得所求的范围【详解】由题意得，直线过定点，曲线表示圆心为原点，半径为2的圆的上半部分（包括与轴的交点），画出图形如下图所示当直线，即直线与圆相切时，则有，解得，结合图形可得当直线与圆有两个不同的交点时，则有，实数的取值范围是故答案为【点睛】解决曲线交点个数、方程根的个数等关于“个数”的问
11、题时，一般要结合图形（或函数的图象）求解，即利用数形结合的方法求解，考查数形结合思想的运用和转化能力，属于中档题15.在平面直角坐标系中，若直线l：与圆C：相切，且圆心C在直线l的上方，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】由点到直线距离公式及切线性质,可得等量关系.由圆心C在直线l的上方可得的符号特征.再结合基本不等式变形,即可求得的最大值.【详解】圆C：则圆心为,半径为直线l：与圆C：相切所以由点到直线距离公式和切线性质可得,即因为圆心C在直线l的上方,所以所以由基本不等式可得当且仅当时取等号,即时取等号所以的最大值为故答案为: 【点睛】本题考查了直线与圆相切的性质,点到直线距离公式的应
12、用,由基本不等式求最值,属于中档题.16.已知中，所在平面内存在点使得，则面积的最大值为_【答案】【解析】【详解】设，以所在直线为轴、其中垂线所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示），则，设，由，得，即，则，则，即，解得，即，即面积的最大值为.三、解答题：本大题共6小题，计70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.已知直线（）若，求实数的值；（）当时，求直线与之间的距离【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）根据两直线垂直的等价条件可得所求（）先由求出，然后根据两平行线间的距离公式求解【详解】（），且，解得（），且，且，解得，即直线间的距离为【点睛】本题考查平面内两直线的位置关系的
13、判定和距离公式，解答本题的关键是熟记相关公式，即：若，则；且，或且考查转化和计算能力，属于基础题18.已知圆C经过抛物线y=x2-4x+3与坐标轴的三个交点（1）求圆C的方程；（2）设直线2x-y+2=0与圆C交于A，B两点，求|AB|【答案】(1) （x-2）2+（y-2）2=5(2)【解析】【分析】（1）求出抛物线与坐标轴的交点坐标,确定圆心与半径,即可求圆C的方程；（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,再由圆的半径,利用垂径定理及勾股定理即可求出|AB|的长【详解】解：（1）抛物线与坐标轴的交点分别是,所求圆的圆心是直线与的交点,圆的半径是,于是圆C的方程为 （2）圆心C到直
14、线的距离,【点睛】本题考查了圆C的方程,考查直线与圆相交的性质,熟练掌握点到直线的距离公式,圆的标准方程,垂径定理,以及勾股定理是解本题的关键19.已知a，b，c分别为非等腰内角A，B，C的对边，（1）证明：；（2）若，求的面积【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先利用余弦定理完成边化角，然后得到关于角的等式，分析其中与的关系即可证明；（2）根据（1）的结论计算出的值，然后即可计算出的值，再根据面积公式求解三角形面积即可.【详解】（1）由余弦定理得，或，由得，不符合条件，（2）由（1）及正弦定理得，解得或（舍），【点睛】本题考查解三角形的综合应用，难度一般.（1）解三角形时，
15、若出现的形式不可盲目认为，可能还会出现这一种情况，需要注意.（2）已知三角形中的两边及其中一边的对角，求解三角形面积的方法：先通过已知角的余弦求解出第三边长度，然后利用面积公式即可完成求解.20.如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照半圆周上的处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是,点在直径上，且（1）若，求的长；（2）设, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积【答案】（1）1或3（2）【解析】【详解】试题分析：（1）在中,因，所以由余弦定理，且，所以，解得或（
16、2）该空地产生最大经济价值等价于种植甲种水果的面积最大，所以用表示出，再利用三角函数求最值得试题解析：（1）连结，已知点在以为直径的半圆周上，所以为直角三角形，因为，所以，在中由余弦定理，且，所以，解得或， （2）因为，所以，所以，在中由正弦定理得：所以，在中，由正弦定理得：所以， 若产生最大经济效益，则的面积最大， 因为，所以所以当时，取最大值为，此时该地块产生的经济价值最大考点：解三角形及正弦定理的应用三角函数求最值21.如图，已知圆C与y轴相切于点T(0,2)，与x轴的正半轴交于两点 (点在点的左侧)，且. (1)求圆C的方程；(2)过点任作一直线与圆O：相交于两点，连接，求证：定值【答
17、案】（1） (2)见解析【解析】试题分析：（1）由题意，得到圆C的方程为2(y2)2；（2）直线AB：x1ty，联立圆O方程，得到韦达定理，求得kANkBN为定值试题解析：(1)因为圆C与y轴相切于点T(0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m0)，则圆C的半径为m，又|MN|3，所以m242，解得m，所以圆C的方程为2(y2)2.(2)由(1)知M(1,0)，N(4,0)，当直线AB的斜率为0时，易知kANkBN0，即kANkBN0.当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x1ty，将x1ty代入x2y240，并整理得，(t21)y22ty30.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以则kA
18、NkBN0.综上可知，kANkBN为定值22.在平面直角坐标系中，已知直线和圆，是直线上一点，过点作圆两条切线，切点分别为.（1）若，求点坐标；（2）若圆上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围；（3）设线段中点为，与轴的交点为，求线段长的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）先求出到圆心的距离为，设，解方程即得解；（2）设，若圆上存在点，使得，分析得到，即，解不等式得解；（3）设，可得所在直线方程：，点的轨迹为：，根据求出最大值得解.【详解】（1）若，则四边形为正方形，则到圆心的距离为，在直线上，设故，解得，故；（2）设，若圆上存在点，使得，过作圆的切线，在直角三角形中，即，解得，点横坐标的取值范围为：；（3）设，则以为直径的圆的方程为化简得，与联立，可得所在直线方程：，联立，得，的坐标为，可得点的轨迹为：，圆心，半径.其中原点为极限点（也可以去掉）.由题意可知，.线段的最大值为.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆中的轨迹问题的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
