1、专题08 函数的应用（一）（考点清单）目录一、思维导图2二、知识回归2三、典型例题讲与练5考点清单01：函数的零点5【期末热考题型1】求函数的零点5【期末热考题型2】函数零点个数6【期末热考题型3】判断函数零点所在区间9【期末热考题型4】已知零点个数求参数的取值范围10考点清单02：二分法14【期末热考题型1】确定零点（根）所在区间14【期末热考题型2】用二分法求函数的零点的近似值16考点清单03：函数模型的应用19【期末热考题型1】指数函数模型19【期末热考题型2】对数函数数模型20【期末热考题型3】拟合函数模型的应用题23一、思维导图二、知识回归知识点01：函数零点的概念1、函数零点的概念
2、对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点.几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点2、已学基本初等函数的零点一次函数只有一个零点；反比例函数没有零点；指数函数（且）没有零点；对数函数（且）只有一个零点1；幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。知识点02：函数零点存在定理及其应用1、函数零点存在定理如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.说明：定理要求具备两个条件:函数在区间上的图象是连续不断的;.两个条件缺一不可.2、函数零点的求
3、法代数法：根据零点定义，求出方程的实数解;数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解3、函数零点个数的判断利用代数法，求出所有零点；数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数；数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数；函数零点唯一：函数存在零点+函数单调.知识点03：二次函数的零点问题一元二次方程的实数根也称为函数的零点.当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示：的实数根（其中）方程无实数根的图象的零点函数无零点知识点04：区间中点对于区间，其中点知识点05：二分法1、二分法的概念对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间
4、一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection )2、用二分法求零点的近似值 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：（1）确定零点的初始区间，验证；（2）求区间的中点（3）计算;若（此时)，则就是函数的零点；若（此时)，则令；若（此时)，则令；（4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2-4知识点06：常见函数模型1、一次函数模型（，为常数）2、反比例函数模型（）3、二次函数模型（）4、指数函数模型（且，）5、对数函数模型（且，）6、幂函数模型（，）7、分段函数模型：两种或两种以上上述六种模型的综合8、对勾
5、函数模型：三、典型例题讲与练01：函数的零点【期末热考题型1】求函数的零点【解题方法】定义【典例1】（2023上北京东城高三北京市广渠门中学校考开学考试）已知函数则函数的零点为 【答案】【详解】当时，由，即，解得或（舍），当时，由，解得，综上可得，函数的零点为故答案为：【典例2】（2023全国高三专题练习）已知函数， ，函数的零点为 .【答案】 【详解】因为，所以，则；令，则，即，当时，解得；当时，解得（舍去）；综上：函数的零点为.故答案为：；.【专训1-1】（2023上陕西西安高一交大附中校考阶段练习）已知二次函数图象如图所示，那么二次函数的零点是 【答案】【详解】根据图象可得函数的零点是，
6、故答案为：.【期末热考题型2】函数零点个数【解题方法】图象法【典例1】（2023四川雅安统考一模）已知函数，则函数的零点个数为（）A1B2C3D4【答案】C【详解】设，设，则.又，所以1是函数的一个零点；因为，所以，.又，所以，.根据零点的存在定理，可知，使得，即是函数的一个零点；因为，所以，.又，所以，.根据零点的存在定理，可知，使得，即是函数的一个零点.结合函数图象以及的增长速度可知，当或时，函数没有零点.综上所述，函数的零点为1，共3个零点.故选：C.【典例2】（2023全国高一随堂练习）方程的实数根个数是 【答案】无数【详解】函数的定义域为，在每个区间是都单调递增，并且函数值集合为R，
7、在同一坐标系内作出函数与的图象，如图，观察图象得，函数与的图象有无数个交点，方程的实数根个数是无数个.故答案为：无数【专训1-1】（2023上北京高一北京十四中校考期中）函数的零点个数是（ ）A0B1C2D3【答案】B【详解】令，即，解得，所以函数有且仅有一个零点.故选：B【专训1-2】（2023上山东济宁高三统考期中）已知函数，则函数的零点个数是（）A2B3C4D5【答案】D【详解】由已知，令，即，当时，得或，当时，明显函数在上单调递减，且，故存在，使，画出的图象如下，再画出直线，其中，观察图象可得交点个数为个，即函数的零点个数是.故选：D.【期末热考题型3】判断函数零点所在区间【解题方法】
8、零点存在性定理【典例1】（2023上北京高一北京四中校考期中）函数一定存在零点的区间是（）ABCD【答案】C【详解】对于A项：，得：，故区间上不一定存在零点，故A项错误；对于B项：，得：，故区间上不一定存在零点，故B项错误；对于C项：，得，故区间上一定存在零点，故C项正确；对于D项：，得，故区间上不一定存在零点，故D项错误；故选：C.【典例2】（2023上陕西咸阳高三校考阶段练习）函数的零点所在的区间是（）ABCD【答案】C【详解】函数，可判断函数为单调递增函数，所以因为，所以，所以可得，即函数的零点所在的区间是.故选：C【专训1-1】（2023上福建泉州高三校考期中）若是方程的实数解，则属于
9、区间（）ABCD【答案】C【详解】令，则在定义域上单调递增，又，所以，所以在上存在唯一零点，即存在使得.故选：C【期末热考题型4】已知零点个数求参数的取值范围【解题方法】图象法【典例1】（2023上江苏南京高一南京市第九中学校考阶段练习）函数只有一个零点，则的取值集合为 【答案】【详解】（1）若，即时，当时，此时，此时没有零点，当时，此时，令，解得，符合题意，（2）当时，令，则，解得或1（舍去），综上或，则的取值集合为.故答案为：.【典例2】（2023上宁夏吴忠高三吴忠中学校考开学考试）已知是定义在R上的奇函数，满足，当时，则在区间上所有零点个数为 .【答案】【详解】由题意，是定义在上的奇函数
10、, , , 是其中一条对称轴，, 的周期是2 ,在中，当时，求函数零点, 即为求与的交点的横坐标,作出与图象如图所示，由图知: 交点关于对称,每个周期有个交点有1011个周期, 有1011个周期，在区间上所有零点个数为：，故答案为：.【典例3】（2023上福建南平高一武夷山一中校考期中）已知的定义域为，且是奇函数，当时，函数，则方程的所有的根之和为（）A3B4C5D6【答案】C【详解】解：因为的定义域为，且是奇函数，所以，则的图象关于对称，且，当时，又因为函数，所以的图象关于对称，所以方程的所有的根之和即为两个函数图象交点的横坐标和，和的图象，如图所示：由图象知：和的图象有5个交点，其中一个交
11、点的横坐标为1，另外四个，两两分别关于对称，所以5个交点的横坐标之和为，故选：C【专训1-1】（2023上北京海淀高一首都师范大学附属中学校考期中）已知函数.（1）当时，函数的值域为 ；（2）若存在实数m，使得关于x的方程恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是 .【答案】 【详解】（1）当时，当时，其对称轴为，故在区间上单调递减， ，当时，区间上单调递减，综上函数的值域为；（2）恰有三个不同的实数根，则当时，与有两个交点，当时，与有一个交点，如图：故，当时，故得，故，故答案为：；【专训1-2】（2023北京海淀统考一模）设函数当时， ；若恰有2个零点，则a的取值范围是 【答案】 【详解】当时，
12、所以，所以，令，可得当时，所以或，当或时，方程在上有唯一解，当或时，方程在上的解为或，当时，所以当时，当时，方程在上无解，综上，当时，函数有两个零点，当时，函数有两个零点，当时，函数有三个零点，当时，函数有两个零点，因为恰有2个零点，所以或，所以a的取值范围是.故答案为：；.【专训1-3】（2023上山西高二校联考开学考试）已知函数，若互不相等的实数，满足，则的取值范围是 .【答案】【详解】根据解析式可得草图如下：要使互不相等的实数满足，由图知：，且，令，则或；令，则或；令，则；令，则；令，则；令，则或；所以，所以，在上递增，所以.故答案为：02：二分法【期末热考题型1】确定零点（根）所在区间
13、【解题方法】零点存在性定理【典例1】（2023上山东日照高一统考期中）已知函数的图象在区间上连续不断，则“”是“在上存在零点”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当在上存在零点时，不一定能得到，例如，此时的零点为，但，所以必要性不满足；当时，若三个值中存在，则在上显然存在零点，若三个值均不为，不妨假设，因为，所以，取等号时不满足条件，所以，则，根据零点的存在性定理可知在上存在零点，所以充分性满足；所以“”是“在上存在零点”的充分不必要条件，故选：A.【典例2】（2022下湖南高一南县第一中学校联考阶段练习）函数的零点所在的区间为（）ABCD【
14、答案】C【详解】在上单调递增，在上单调递增，函数在上单调递增，函数的零点所在的区间为.故选：C【专训1-1】（多选）（2023上重庆高一统考期末）已知函数的零点所在的区间可能是（）ABCD【答案】AD【详解】，故函数有两个零点，故上有零点；，故上有零点；故零点所在的区间为，.故选：AD【期末热考题型2】用二分法求函数的零点的近似值【解题方法】二分法【典例1】（2023上高一课时练习）已知函数在区间内有一个零点，且的部分函数值数据如下：，要使零点的近似值精确度为，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（）A6次，B6次，C7次，D7次，【答案】D【详解】由题中数据知，零点区间变化如下：，此时区间长
15、度小于，在区间内取近似值，最少等分了7次，近似解取.故选：D.【典例2】（2023上高一课时练习）下列是函数在区间上一些点的函数值. 由此可判断：方程的一个近似解为 (精确度0.1)x11.251.3751.40651.4380.165x1.51.6251.751.87520.6251.9822.6454.356【答案】1.438(答案不唯一)【详解】由题设有，于是，所以，函数在区间内有零点，此时，取区间的中点，又，因为，所以，此时，再取的中点，又，因为，所以，此时，再取的中点，又，因为，所以，此时，再取的中点，又，因为，所以，此时，再取的中点，又，因为，所以，所以，当精确度为0.1时，方程的
16、一个近似解为1.438故答案为：1.438(答案不唯一)【专训1-1】（多选）（2023上高一单元测试）设函数，则下列说法不正确的是（）A函数在区间，内均有零点B函数在区间，内均无零点C函数在区间内有零点，在区间内无零点D函数在区间内无零点，在区间内有零点【答案】ABC【详解】令，作出两函数的大致图象，显然两图象在内无交点，所以在内有交点；函数在内无零点，在有零点即只有D正确故选：ABC.【专训1-2】（多选）（2023上辽宁沈阳高三辽宁实验中学校考阶段练习）（多选）已知函数，其中，为某确定常数，运用二分法研究函数的零点时，若第一次经计算且，则（）A可以确定的一个零点，满足B第二次应计算，若，
17、第三次应计算C第二次应计算，若，第三次应计算D第二次应计算，若，第三次应计算【答案】AB【详解】对于A选项：由题意第一次经计算且，因此由零点存在定理可知存在满足，故A选项符合题意.对于B选项：第二次应计算，若，又，所以有，满足零点存在定理，所以第三次应计算，故B选项符合题意.对于C选项：第二次应计算，若，又，所以有，满足零点存在定理，所以第三次应计算，故C选项不符题意.对于D选项：第二次应计算，而不是计算，故D选项不符题意.故选：AB.03：函数模型的应用【期末热考题型1】指数函数模型【解题方法】图象法【典例1】（2023上黑龙江哈尔滨高三哈尔滨三中校考阶段练习）小明在调查某班小学生每月的人均
18、零花钱时，得到了下列一组数据：月份23456元1.402.565.311121.30请从模型，模型中选择一个合适的函数模型，并预测小学生零花钱首次超过300元的月份为（）（参考数据：，）A8B9C10D11【答案】C【详解】根据表格提供的数据，画出散点图，并画出函数及的图象如图：观察发现，这些点基本上是落在函数图象上或附近，因此用这一函数模型当时，则有.由且，最小值为10.故选：C.【典例2】（多选）（2023上海高一专题练习）（多选）从今年起年内，小李的年薪（万元）与年数的关系是，小马的年薪（万元）与年数的关系是，则下列判断正确的有（）A年后小马的年薪超过小李B年后小马的年薪超过小李C小马的
19、年薪比小李的增长快D小马的年薪比小李的增长慢【答案】BC【详解】易知指数函数的增长速度更快，故C正确，D错误；画出函数和的图象，从图象中观察，可知在这年内先是小马的年薪低，后来超过了小李，令，则，所以存在，当时，由于，所以至少经过年，小马的年薪超过小李的年薪，即A错误，B正确；故选：BC【专训1-1】（2023上云南红河高一统考期末）牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同.假定保鲜时间与储藏温度的关系为（为常数）.若牛奶在的冰箱中，保鲜时间约是，在的冰箱中，保鲜时间约是，那么在的冰箱中保鲜时间约是（）ABCD【答案】B【详解】由题得，解得，因此在的冰箱中的保鲜时间大约是.故选：B【期末热考题型2】
20、对数函数数模型【解题方法】图象法【典例1】（2023上北京通州高三潞河中学校考阶段练习）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中C为最大数据传输速率，单位为；W为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（）ABCD3【答案】D【详解】根据题意，将，代入可得；将，代入可得；所以可知.故选：D【典例2】（2023上高一课时练习）某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随生源利润x（单位：万元）的增
21、加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的.现有三个奖励模型：，其中哪个模型符合该校的要求？【答案】符合学校的要求【详解】借助工具作出函数，的图象（如图所示）观察图象可知，在区间上，的图象都有一部分在直线的上方，只有的图象始终不超过和，这说明只有按模型进行奖励才符合学校的要求【专训1-1】（多选）（2023河南校联考模拟预测）若物体原来的温度为（单位:），环境温度为（单位:），物体的温度冷却到，单位:）与需用时间（单位:分钟）满足为正常数.现有一杯开水放在室温为的房间里，根据函数关系研究这杯开水冷却的情况（，则（）A当时，经过10分钟，这杯水的温度大约为B当时，这杯开水冷却到大约需
22、要14分钟C若，则D这杯水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短【答案】BCD【详解】为正常数.对于A，由，得，所以，解得，故错误；对于B，故B正确；对于C，由，得，即，则，故正确；对于D，设这杯水从冷却到所需时间为分钟，则，设这杯水从冷却到所需时间为分钟，则，因为，所以，故D正确.故选：BCD.【专训1-2】（2023上福建龙岩高三上杭一中校考阶段练习）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（单位：贝
23、尔），即.取贝尔的倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音强度（单位：分贝）与喷出的泉水最高高度（单位：米）之间满足关系式，若甲游客大喝一声的声强大约相当于个乙游客同时大喝一声的声强，则甲、乙两名游客大喝一声激起的涌泉最高高度差为 .【答案】【详解】设甲游客的声强为，大喝一声激起的涌泉最高高度为米，乙游客的声强为，大喝一声激起的涌泉最高高度为米，则，两式相减得，甲、乙两名游客大喝一声激起的涌泉最高高度差为米故答案为：.【期末热考题型3】拟合函数模型的应用题【解题方法】图象法【典例1】（2022上安徽亳州高三安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）“小黄城外芍药花，十里五里生朝霞，花前
24、花后皆人家，家家种花如桑麻.”这是清代文学家刘开有描写安徽毫州的诗句，毫州位于安徽省西北部，有“中华药都”之称.毫州自商汤建都到今，已有3700年的文明史，是汉代著名医学家华佗的故乡，由于一代名医的影响，带动了毫州医药的发展，到明清时期毫州就是全国四大药都之一，现已是“四大药都”之首.毫州建有全球规模最大设施最好档次最高的“中国（毫州）中药材交易中心”，已成为全球最大的中药材集散地，以及价格形成中心.某校数学学习小组在假期社会实践活动中，通过对某药厂一种中药材销售情况的调查发现：该中药材在2021年的价格浮动最大的一个月内（以30天计）日平均销售单价（单位：元/千克）与第天（）的函数关系满足（
25、为正常数）.该中药材的日销售量（单位：千克）与的部分数据如下表所示：4102030149155165155已知第4天该中药材的日销售收入为3129元.（日销售收入=日销售单价日销售量）(1)求的值；(2)给出以下四种函数模型：，请你根据表中的数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该中药材的日销售量与的关系，并求出该函数的解析式和日销售收入（单位：元）的最小值.【答案】(1)(2)，最小值为3125元【详解】（1）由时，得；（2）因为数据有增有减，不合符题意，将二三组数据代入类函数解析式可得：，解得：，即得类函数解析式为.将二三组数据代入类函数解析式可得：，解得：，即得类函数解析式
26、为，将第一组数据代入，可知：，将第一组数据代入，可知：，因此最合适.当时，当且仅当时，等号成立当时函数在上单调递减，所以，当且仅当时，等号成立综上可知，当或日销售收入最小值为3125元.【典例2】（2022上福建厦门高一厦门双十中学校考期末）北京冬奥会已于月日开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温，与冬奥会相关的周边产品也销量上涨.因可爱而闻名的冰墩墩更是成为世界顶流，在国内外深受大家追捧.对某商户所售的冰墩墩在过去的一个月内（以天计）的销售情况进行调查发现：冰墩墩的日销售单价（元/套）与时间（被调查的一个月内的第天）的函数关系近似满足（常数），冰墩墩的日销量（套）与时间的部分数据如表所示：（套）已
27、知第天该商品日销售收入为元，现有以下三种函数模型供选择：，(1)选出你认为最合适的一种函数模型，来描述销售量与时间的关系，并说明理由；(2)根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（，）在哪天达到最低【答案】(1)模型最合适，理由见解析；(2)第天达到最低.【详解】（1）模型最合适，理由如下：对于模型，为指数型函数模型，表格中对应的数据递增的速度较慢，故模型不合适；对于模型，为二次函数模型，其图象关于直线对称，有，与表中数据不符，故模型不合适；对于模型，幂函数型增长模型满足表格中对应数据较慢的递增速度，将表中数据，代入模型，有，解得，经验证，均满足表中数据，因此，使用模型来描述销售量与时间的关
28、系最合适.（2）第天冰墩墩的日销售单价（元/套），第天的日销售收入为（元），由（1）所选模型，当且时，（元）当且仅当，即时，等号成立，在第天时，该商品的日销售收入达到最低元.【专训1-1】（2022下湖北高一宜昌市夷陵中学校联考期中）自2014年9月25日起，三峡大坝旅游景点对中国游客（含港、澳、台同胞、海外侨胞）施行门票免费，去三峡大坝旅游的游客人数增长越来越快，经统计发现2017年三峡大坝游客总量约为200万人，2018年约为240万人，2019年约为288万人，三峡大坝的年游客人数y与年份代码x（记2017年的年份代码为，2018年年份代码为，依此类推）有两个函数模型与可供选择(1)试判
29、断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型的函数解析式；(2)问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍（参考数据：，）【答案】(1)；(2)2022.【详解】（1）因为函数中，随的增长而增长的速度越来越快，而函数，随的增长而增长的速度越来越慢，故由题意应选；则有，解得，；（2）设经过年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍，则，即，故大约在2022年三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍【专训1-2】（2022上福建漳州高一统考期末）2021年10月26日下午，习近平总书记参观国家“十三五”科技成就展强调，坚定创新自信紧抓创新机遇，加快实现高水平科
30、技自立自强.面向人民生命健康，重点展示一体化全身正电子发射磁共振成像装备，在红色“健康中国”四个大字衬托下，更显科技创新为人民健康“保驾护航”的意义.为促进科技创新，某医学影像设备设计公司决定将在2022年对研发新产品团队进行奖励，奖励方案如下：奖金（单位：万元）随收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过90万元，同时奖金不超过收益的，预计收益.(1)分别判断以下三个函数模型：，能否符合公司奖励方案的要求，并说明理由；（参考数据：）(2)已知函数模型符合公司奖励方案的要求，求实数的取值范围.【答案】(1)函数模型能符合公司奖励方案的要求，理由见解析(2)【详解】（1）函数模型，满足奖金随收益增加而增加，因为，所以当时，即奖金超过90万，不满足要求；函数模型，当时，此时奖金超过收益的，不满足要求；函数模型，满足奖金随收益增加而增加，当时，满足奖金不超过90万元，又时，满足奖金不超过收益的，函数模型能符合公司的要求.（2）函数模型，因为奖金随收益增加而增加，所以，当时，解得，当时，解得，当时，恒成立，即，又，当且仅当时等号成立，所以，综上所述，实数的取值范围是.
