1、 专题05 对角互补模型综合应用（能力提升）1如图，在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，E，F分别是边BC，CD上的点，且EAFBAD，求证：EFBE+FD【解答】证明：延长CB至M，使BMFD，连接AM，如图所示：ABC+D180，ABM+ABC180，ABMD，在ABM与ADF中，ABMADF（SAS），AFAM，BAMDAF，EAFBAD，DAF+BAEBADFAE，BAM+BAEEAF，即MAEEAF，在AME与AFE中，AMEAFE（SAS），EFME，MEBE+BM，EFBE+FD2如图在四边形ABCD中，B+ADC180，ABAD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且
2、EAFBAD，求证：EFBEFD【解答】证明：在BE上截取BG，使BGDF，连接AGB+ADC180，ADF+ADC180，BADF在ABG和ADF中，ABGADF（SAS），BAGDAF，AGAFBAG+EADDAF+EADEAFBADGAEEAF在AEG和AEF中，AEGAEF（SAS）EGEF，EGBEBGEFBEFD3（1）如图1，在四边形ABCD中，ABAD，BD90，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAFBAD求证：EFBE+FD（2）如图2，在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAFBAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若
3、不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明（3）如图3，在四边形ABCD中，ABAD，B+ADC180，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAFBAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明【解答】证明：（1）如图1，延长EB到G，使BGDF，连接AG在ABG与ADF中，ABGADF（SAS）AGAF，121+32+3EAFBADGAEEAF又AEAE，易证AEGAEFEGEFEGBE+BGEFBE+FD（2）（1）中的结论EFBE+FD仍然成立证明：如图2，延长CB至M，使BMDF，ABC+D180，
4、1+ABC180，1D，在ABM与ADF中，ABMADF（SAS）AFAM，23EAFBAD，2+4BADEAF3+4EAF，即MAEEAF在AME与AFE中，AMEAFE（SAS）EFME，即EFBE+BMEFBE+DF（3）结论EFBE+FD不成立，应当是EFBEFD证明：在BE上截取BG，使BGDF，连接AGB+ADC180，ADF+ADC180，BADF在ABG与ADF中，ABGADF（SAS）BAGDAF，AGAFBAG+EADDAF+EADEAFBADGAEEAFAEAE，易证AEGAEFEGEFEGBEBGEFBEFD4（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的
5、点，且EAF45直接写出BE、DF、EF之间的数量关系；（2）如图2，在四边形ABCD中，ABAD，BD90，E、F分别是BC，CD上的点，且EAFBAD，求证：EFBE+DF；（3）如图3，在四边形ABCD中，ABAD，B+ADC180，延长BC到点E，延长CD到点F，使得EAFBAD，则结论EFBE+DF是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明【解答】解：（1）EFBE+DF；如图1，将ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到ABF，EAF45，EAFEAF45，在AEF和AEF中，AEFAEF（SAS），EFEF，又EFBE+BFBE+DF，EFBE+DF；
6、（2）延长CB到G，使BGFD，连接AG，ABGD90，ABAD，ABGADF（SAS），BAGDAF，AGAF，EAFBAD，DAF+BAEEAF，EAFGAE，AEFAEG（SAS），EFEGEB+BGEB+DF（3）结论不成立，应为EFBEDF，证明：在BE上截取BG，使BGDF，连接AGB+ADC180，ADF+ADC180，BADFABAD，ABGADF（SAS）BAGDAF，AGAFBAG+EADDAF+EADEAFBADGAEEAFAEAE，AEGAEF（SAS）EGEFEGBEBGEFBEFD5（1）方法感悟：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，且满足E
7、AF45，连接EF将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABG，易证GAFEAF，从而得到结论：DE+BFEF根据这个结论，若CD6，DE2，求EF的长（2）方法迁移：如图，若在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，E、F分别是BC、CD上的点，且EAFBAD，试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，证明你的结论（3）问题拓展：如图，在四边形ABCD中，ABAD，B+ADC180，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAFBAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明理由）【解答】解：（1）方法感悟：将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABG，GBDE2，GAFE
8、AFGFEF，CD6，DE2CE4，EF2CF2+CE2，EF2（8EF）2+16，EF5；（2）方法迁移：DE+BFEF，理由如下：如图，将ADE绕点A顺时针旋转角度为BAD的度数，得到ABH，由旋转可得，AHAE，BHDE，12，DABH，EAFDAB，HAF1+32+3BAD，HAFEAF，ABH+ABFD+ABF180，点H、B、F三点共线，在AEF和AHF中，AEFAHF（SAS），EFHF，HFBH+BF，EFDE+BF（3）问题拓展：EFBEFD，理由如下：在BC上截取BHDF，B+ADC180，ADC+ADF180，BADF，且ABAD，BHDF，ABHADF（SAS）BAHD
9、AF，AHAF，EAFBAD，DAE+BAHBAD，HAEBADEAF，且AEAE，AHAF，HAEFAE（SAS）HEEF，EFHEBEBHBEDF6（1）阅读理解：如图，在ABC中，若AB5，AC3，求BC边上的中线AD的取值范围解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DEAD，再连接BE，这样就把AB，AC，2AD集中在ABE中，利用三角形三边的关系可判断线段AE的取值范围是 ；则中线AD的取值范围是 ；（2）问题解决：如图，在ABC中，D是BC边的中点，DEDF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，此时：BE+CF EF（填“”或“”或“”）；（3）问题拓展：如图，在
10、四边形ABCD中，B+D180，CBCD，BCD140，以C为顶点作ECF70，边CE，CF分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，此时：BE+DF EF（填“”或“”或“）；（4）若在图的四边形ABCD中，ECF（090），B+D180，CBCD，且（3）中的结论仍然成立，则BCD （用含的代数式表示）.【解答】解：（1）在ADC与EDB中，ADCEDB（SAS），BEAC3，在ABE中，ABBEAEAB+BE，即2AE8，22AD8，1AD4，故答案为：2AE8；1AD4；（2）如图，延长FD至点G，使DGDF，连接BG，EG，点D是BC的中点，DBDC，BDGCDF，DGDF，BDGCD
11、F（SAS），BGCF，EDFD，FDGD，EFEG，在BEG中，BE+BGEG，BE+CFEF，故答案为：；（3）BE+DFEF，如图，延长AB至点G，使BGDF，连接CG，ABC+D180，ABC+CBG180，CBGD，又CBCD，BGDF，CBGCDF（SAS），CGCF，BCGDCF，BCD140，ECF70，DCF+BCE70，BCE+BCG70，ECGECF70，又CECE，CGCF，ECGECF（SAS），EGEF，BE+BGEG，BE+DFEF，故答案为：；（4）由（3）同理可得CBGCDF，CGCF，BCGDCF，若BE+DFEF，则EGEF，ECFECG（SSS），ECG
12、ECF，BCD2ECF2，故答案为：27【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题（1）如图 1，ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，连结DA、DB、DC，且BDC120，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系解题思路：延长DC到点E，使CEBD，连接AE，根据BAC+BDC180，则ABD+ACD180，因为ACD+ACE180可证ABDACE，易证得ABDACE，得出ADE是等边三角形，所以ADDE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系根据上述解题思路，
13、请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是 ；【拓展延伸】（2）如图2，在RtABC中，BAC90，ABAC若点D是边BC下方一点，BDC90，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，已知30所对直角边等于斜边一半，则PQ的长为 cm（结果无需化简）【解答】解：（1）如图1，延长DC到点E，使CEBD，连接AE，ABC是等边三角形，ABAC，BAC60，BDC120，BAC+BDC180，ABD+ACD180，ACD+ACE180，ABDACE，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），ADAE，BAD
14、CAE，DAEBAC60，ADE是等边三角形，ADDE，DADEDC+CEDB+DC；故答案为：DADB+DC；（2）DADB+DC，理由如下：延长DC到点E，使CEBD，连接AE，BAC90，BDC90，ABD+ACD180，ACE+ACD180，ABDACE，ABAC，CEBD，ABDACE（SAS），ADAE，BADCAE，DAEBAC90，DA2+AE2DE2，2DA2（DB+DC）2，DADB+DC；（3）如图3，连接PQ，MN2cm，QMN30，QNMN1cm，MQ（cm），由（2）可得：PQQM+QN，解得：PQcm，故答案为：8如图，点P（3m1，2m+4）在第一象限的角平分线
15、OC上，APBP，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上（1）求点P的坐标（2）当APB绕点P旋转时，OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值请求出OA2+OB2的最小值【解答】解：（1）点P（3m1，2m+4）在第一象限的角平分线OC上，3m12m+4，m1，P（2，2）；（2）不变过点P作PMy轴于M，PNOA于NPMOPNOMON90，PMPN2，四边形QMPN是正方形，MPN90APB，MPBNPA在PMB和PNA中，PMBPNA（ASA），BMAN，OB+OAOMBM+ON+AN2OM4，连接AB，AOB90，OA2+OB2AB2，BPA90，AB2PA2+PB22PA2，OA2+OB22PA2，当PA最小时，OA2+OB2也最小根据垂线段最短原理，PA最小值为2，OA2+OB2的最小值为8
