1、第十章选修系列选修44 坐标系与参数方程第一节 坐标系基础梳理1坐标系(1)坐标变换设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：xx（0），yy（0）的作用下，点 P(x，y)对应到点(x，y)，称 为坐标系中的伸缩变换(2)极坐标系在平面内取一个定点 O，叫作极点；自极点 O 引一条射线 Ox，叫作极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系设 M 是平面内任意一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫作点 M 的极径，记为；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫作点 M 的极角，记为，有序数对(，)
2、叫作点 M 的极坐标，记为M(，)2直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴非负半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位设 M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则xcos，ysin，2x2y2，tan yx（x0）.3常用简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为 r 的圆r圆心为(r，0)，半径为 r 的圆2rcos 22圆心为r，2，半径为 r 的圆2rsin(00），yy（0），可将其代入 x2y21，得 2x22y21.将 4x29y236 变形为x29 y241，比较系数得 13，12.所以x13x，y12y.故将椭
3、圆 4x29y236 上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆 x2y21.法二：利用配凑法将 4x29y236 化为x32y221，与 x2y21 对应项比较即可得xx3，yy2.故将椭圆 4x29y236 上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆 x2y21.破题技法 1.平面上的曲线 yf(x)在变换：xx（0），yy（0）的作用下的变换方程的求法是将xx，yy代入 yf(x)，得yfx，整理之后得到 yh(x)，即为所求变换之后的方程2应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的坐标(x，y)1(2020池州模拟)求曲线 x
4、2y21 经过：x3x，y4y变换后得到的新曲线的方程解析：曲线 x2y21 经过：x3x，y4y变换后，即将xx3，yy4代入圆的方程，可得x29 y2161，即所求新曲线方程为：x29 y2161.2求正弦曲线 ysin x 按：x13x，y12y变换后的函数解析式解析：设点 P(x，y)为正弦曲线 ysin x 上的任意一点，在变换：x13x，y12y的作用下，点 P(x，y)对应到点 P(x，y)即x3x，y2y，代入 ysin x 得 2ysin 3x，所以 y12sin 3x，即 y12sin 3x 为所求考点二 求曲线的极坐标方程例(2019高考全国卷)在极坐标系中，O 为极点，
5、点 M(0，0)(00)在曲线 C：4sin 上，直线 l 过点 A(4，0)且与 OM 垂直，垂足为 P.(1)当 03时，求 0 及 l 的极坐标方程；(2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程解析(1)因为 M(0，0)在曲线 C 上，当 03时，04sin 32 3.由已知得|OP|OA|cos 32.设 Q(，)为 l 上除 P 外的任意一点在 RtOPQ 中，cos3|OP|2.经检验，点 P2，3 在曲线 cos3 2 上，所以，l 的极坐标方程为 cos3 2.(2)设 P(，)，在 RtOAP 中，|OP|OA|cos 4cos，即 4
6、cos.因为 P 在线段 OM 上，且 APOM，所以 的取值范围是4，2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos，4，2.破题技法 1.将 03代入 4sin 求得 0.由 0 可求得|OP|，从而求得 l 的极坐标方程2设点 P(，)，用，表示出 RtAOP 中的边角关系，从而求出 P 点轨迹的极坐标方程(2019高考全国卷)如图，在极坐标系 Ox 中，A(2，0)，B2，4，C2，34，D(2，)，弧AB，BC，CD 所在圆的圆心分别是(1，0)，1，2，(1，)，曲线 M1 是弧AB，曲线 M2 是弧BC，曲线 M3 是弧CD.(1)分别写出 M1，M2，M3 的极坐标方程；(2)曲线
7、 M 由 M1，M2，M3 构成，若点 P 在 M 上，且|OP|3，求 P 的极坐标解析：(1)由题设可得，弧AB，BC，CD 所在圆的极坐标方程分别为 2cos，2sin，2cos.所以 M1 的极坐标方程为 2cos 04，M2 的极坐标方程为 2sin 434，M3 的极坐标方程为 2cos 34 .(2)设 P(，)，由题设及(1)知若 04，则 2cos 3，解得 6；若434，则 2sin 3，解得 3或 23；若34，则2cos 3，解得 56.综上，P 的极坐标为3，6 或3，3 或3，23 或3，56.考点三 极坐标与直角坐标的互化例(2018高考全国卷)在直角坐标系 xO
8、y 中，曲线 C1 的方程为 yk|x|2.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 22cos 30.(1)求 C2 的直角坐标方程；(2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程解析(1)由 xcos，ysin 得 C2 的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知 C2 是圆心为 A(1，0)，半径为 2 的圆由题设知，C1 是过点 B(0，2)且关于 y 轴对称的两条射线记 y 轴右边的射线为 l1，y轴左边的射线为 l2.由于点 B 在圆 C2 的外面，故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与 C2 只有一个公
9、共点且 l2 与 C2 有两个公共点，或 l2 与 C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点当 l1 与 C2 只有一个公共点时，点 A 到 l1 所在直线的距离为 2，所以|k2|k21 2，故k43或 k0.经检验，当 k0 时，l1 与 C2 没有公共点；当 k43时，l1 与 C2 只有一个公共点，l2 与 C2 有两个公共点当 l2 与 C2 只有一个公共点时，点 A 到 l2 所在直线的距离为 2，所以|k2|k212，故 k0 或 k43.经检验，当 k0 时，l1 与 C2 没有公共点；当 k43时，l2 与 C2 没有公共点综上，所求 C1 的方程为 y43|x|
10、2.破题技法 极坐标方程与普通方程的互化技巧(1)将极坐标方程两边同乘 或同时平方，将极坐标方程构造成含有 cos，sin，2 的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程(2)巧借两角和差公式，转化 sin()或 cos()的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程(3)将直角坐标方程中的 x 转化为 cos，将 y 换成 sin，即可得到其极坐标方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为xacos t，y1asin t，(t 为参数，a0)在以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：4cos.(1)说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；(2
11、)直线 C3 的极坐标方程为 0，其中 0 满足 tan 02，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a.解析：(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程 x2(y1)2a2.C1 是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆将 xcos，ysin 代入 C1 的普通方程中，得到 C1 的极坐标方程为 22sin 1a20.(2)曲线 C1，C2 的公共点的极坐标满足方程组22sin 1a20，4cos.若 0，由方程组得 16cos2 8sin cos 1a20，由已知 tan 2，可得 16cos2 8sin cos 0，从而 1a20，解得 a1(舍去)或 a1.a1 时，极点也为
12、 C1，C2 的公共点，在 C3 上所以 a1.考点四 极坐标方程的应用例 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 cos 4.(1)M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|OP|16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程；(2)设点 A 的极坐标为2，3，点 B 在曲线 C2 上，求OAB 面积的最大值解析(1)设 P 的极坐标为(，)(0)，M 的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|14cos.由|OM|OP|16 得 C2 的极坐标方程为 4cos(0)因此 C2 的直角坐标方程
13、为(x2)2y24(x0)(2)设点 B 的极坐标为(B，)(B0)由题设知|OA|2，B4cos，于是OAB 的面积S12|OA|BsinAOB4cos|sin3|2|sin23 32|2 3.当 12时，S 取得最大值 2 3.所以OAB 面积的最大值为 2 3.破题技法 1.涉及圆的极坐标方程的解决方法方法一：先把涉及的直线或圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据直角坐标系中的相关知识进行求解；方法二：直接利用极坐标的相关知识进行求解，其关键是将已知条件表示成 和 之间的关系这一过程需要用到解三角形的知识，并需要掌握直线和圆的极坐标方程2判断位置关系和求最值问题的方法(1)已知极坐标方程
14、讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程，化陌生为熟悉再进行解答(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，比直角坐标系中求最值的运算量小(2020山西太原模拟)点 P 是曲线 C1：(x2)2y24 上的动点，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，以极点 O 为中心，将点 P 逆时针旋转 90得到点 Q，设点 Q 的轨迹为曲线 C2.(1)求曲线 C1，C2 的极坐标方程；(2)射线 3(0)与曲线 C1，C2 分别交于 A，B 两点，定点 M(2，0)，求MAB 的面积解析：(1)由曲线 C1 的直角坐标方程(x2)2y24 可得曲线 C1 的极坐标方程为 4cos.设 Q(，)，则 P，2，则有 4cos2 4sin.所以曲线 C2 的极坐标方程为 4sin.(2)M 到射线 3(0)的距离 d2sin3 3，|AB|BA4sin3cos 3 2(31)，则 SMAB12|AB|d122(31)33 3.课时规范练
