1、专题08 一元二次方程 【专题目录】技巧1：一元二次方程的解法归类技巧2：根的判别式的六种常见应用技巧3：根与系数的关系的四种应用类型【题型】一、一元二次方程的概念【题型】二、解一元二次方程：直接开平方法【题型】三、解一元二次方程：配方法【题型】四、解一元二次方程：公式法【题型】五、解一元二次方程：因式分解法【考纲要求】1、理解一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的解法2、会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用3、会列一元二次方程解决实际问题.【考点总结】一、一元二次方程一元二次方程方程一元二次方程概念（1）只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，且系数不
2、为0的整式方程，叫做一元二次方程.（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a0），其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a是二次项的系数，b是一次项的系数，注意a0.解法（降次） 直接开平方法:(x+m)2=n(n0)的根是 配方法:将ax2+bx+c=0(a0)化成的形式，当b2-4ac0时，用直接开平方法求解公式法:ax2+bx+c=0(a0)的求根公式为因式分解法:将方程右边化为0，左边化为两个一次因式的积，令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程就得到原方程的解根的判别式（1）当b2-4ac0时,方程有两个不相等的实数根;（2）当b2-4a
3、c=0时,方程有两个相等的实数根;（3）当b2-4ac0时,方程无实数根.【注意】判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： 一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式 一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数 一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是用配方法解一元二次方程ax2bxc0(a0)的一般步骤1、 一化：化二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；2、 二移：移项，使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；3、三配：配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，方程化为 的形式；方程左边变形为一次二项式的完全平方式，右边合并为一个常数；
4、4、四解：用直接开平方法解变形后的方程，此时需保证方程右边是非负数。 分别解这两个一元二次方程，求出两根。一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）)的解法选择（1）当b=0时，首选直接开平法（2）当c=0时，首选因式分解法或配方法（3）当a=1,b0,c0时，首选配方法或因式分解法（4）当a1,b0,c0时，首选公式法或因式分解法一元二次方程根与系数关系的两类应用（1）求含有两根的代数式的值：设法将所求代数式通过因式分解或配方等恒等变形，变形为含有两根和与两根积的式子，再代入由一元二次方程根与系数关系得到的值，求出结果（2）构造以两数为根的一元二次方程：:由已知两数x1+x2和x1x2的值，然
5、后依照所求方程是x2（x1+x2）x+x1x2=0写出方程【技巧归纳】技巧1：一元二次方程的解法归类【类型】一、限定方法解一元二次方程题型1：形如(xm)2n(n0)的一元二次方程用直接开平方法求解1方程4x2250的解为()Ax Bx Cx Dx2用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为()Ax255 B3x20 Cx240 D(x1)20题型2：当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解3用配方法解方程x234x，配方后的方程变为()A(x2)27 B(x2)21 C(x2)21 D(x2)224解方程：x24x20.5已知x210xy216y890，求的值题型3：能化
6、成形如(xa)(xb)0的一元二次方程用因式分解法求解6一元二次方程x(x2)2x的根是()A1 B0 C1和2 D1和27解下列一元二次方程：(1)x22x0； (2)16x290； (3)4x24x1.题型4：如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解8用公式法解一元二次方程x22x，方程的解应是()Ax Bx Cx Dx9用公式法解下列方程(1)3(x21)7x0； (2)4x23x5x2.【类型】二、选择合适的方法解一元二次方程10方程4x2490的解为()Ax Bx Cx1，x2 Dx1，x211一元二次方程x293x的根是()Ax1x23 Bx1x24 Cx13和x24
7、 Dx13和x24 12方程(x1)(x3)5的解是()Ax11，x23 Bx14，x22 Cx11，x23 Dx14，x2213解下列方程(1)3y23y60； (2)2x23x10.【类型】三、用特殊方法解一元二次方程题型1：构造法14解方程：6x219x100.15若m，n，p满足mn8，mnp2160，求mnp的值题型2：换元法a整体换元16解方程：(x1)(x2)(x3)(x4)48.17x2210.b降次换元18解方程：6x435x362x235x60.c倒数换元19解方程：2.题型3：特殊值法20解方程：(x2 013)(x2 014)2 0152 016.技巧2：根的判别式的六
8、种常见应用【类型】一、利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1已知方程x22xm0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x22mxm(m1)0有无实数根2已知关于x的方程x22mxm210.(1)不解方程，判别方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值【类型】二、利用根的判别式求字母的值或取值范围3已知关于x的一元二次方程mx2(m2)x20，(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根【类型】三、利用根的判别式求代数式的值4已知关于x的方程x2(2m1)x40有两个相等的实数根，求的值【类型】四、利用根的判别式解与函数综合问题5yx1是关于x的
9、一次函数，则一元二次方程kx22x10的根的情况为()A没有实数根 B有一个实数根C有两个不相等的实数根 D有两个相等的实数根【类型】五、利用根的判别式确定三角形的形状6已知a，b，c是三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(ac)x2bx0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状【类型】六、利用根的判别式探求菱形条件7已知ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2mx0的两个根(1)m为何值时，ABCD是菱形？并求出菱形的边长(2)若AB的长为2，求ABCD的周长是多少？技巧3：根与系数的关系的四种应用类型【类型】一、利用根与系数的关系求代数式的值1设方程4x27x30的两根为x1，x2
10、，不解方程求下列各式的值(1)(x13)(x23)； (2)； (3)x1x2.【类型】二、利用根与系数的关系构造一元二次方程2构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x22x30各根的负倒数【类型】三、利用根与系数的关系求字母的值或取值范围3已知关于x的一元二次方程x24xm0.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足5x12x22，求实数m的值【类型】四、巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性4已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx24kxk10的两个实数根，是否存在实数k，使(2x1x2)(x12x2)成立？若存在，求出k的值；若不存
11、在，请说明理由【题型讲解】【题型】一、一元二次方程的概念例1、若方程是一元二次方程，则m的值为（ ）A0B1C1D1【题型】二、解一元二次方程：直接开平方法例2、解下列方程：（1）；（2）【题型】三、解一元二次方程：配方法例3、用配方法解方程（1）；（2）【题型】四、解一元二次方程：公式法例4、解方程【题型】五、解一元二次方程：因式分解法例5、用因式分解法解下列方程：（1）；（2）一元二次方程（达标训练）一、单选题1（2022四川泸州一模）方程x26x0的解是（）Ax6Bx0Cx16，x20Dx16，x202（2022福建省福州第十九中学模拟预测）一元二次方程在用求根公式求解时，a，b，c的值
12、是（）A3，1，2B2，1，3C2，3，1D2，3，13（2022浙江温州一模）用配方法解方程时，配方结果正确的是（）ABCD4（2022广东深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）方程的两个根为（）A3，3B9，9C1，9D9，15（2022广东深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）关于x的一元二次方程a5ax+40，有一个根为1则a的值为（）A1B1C1或1D不能确定二、填空题6（2022江苏南京市花园中学模拟预测）设，是关于x的方程的两个根，则_7（2022广东乐昌市新时代学校二模）比亚迪汽车销售公司3月份销售新上市一种新能源汽车8辆，由于该型汽车既环保，又经济，销量快速上升，5月份该公司销售该型
13、汽车达18辆设该公司销售该型汽车4月份和5月份的平均增长率为x，可列方程为：_三、解答题8（2022四川南充一模）已知关于x的方程：x2（m2）xm0(1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根(2)设非0实数m，n是方程的两根，试求mn的值一元二次方程（提升测评）一、单选题1（2022广东深圳市宝安第一外国语学校三模）关于的一元二次方程两个相等的实数根，则关于的一元二次方程的根的情况是()A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D无法判定2（2022云南昆明八中模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）ABCD3（2022贵州仁怀市教育研究室三模）若和是关于x的
14、方程的两根，且，则b的值是（）A3B3C5D54（2022广东深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）关于x的方程有两个解，则k的取值范围是（）Ak9Bk3C9k6Dk5（2022重庆巴蜀中学一模）对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（）当时，若，则无论x取任何实数，等式都恒成立，则若，则满足的整数解共有8个A1个B2个C3个D4个二、填空题6（2022辽宁本溪二模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_7（2022广东番禺中学三模）已知x22x+15，则代数式=_三、解答题8（2022广东顺德德胜学校三模）我们把一个函数图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的不动点(1)请直接写出函数的不动点的坐标；(2)若函数有两个关于原点对称的不动点，求的值；(3)已知函数，若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，请直接写出的取值范围
