1、3.1.2指数函数1指数函数的概念(1)定义：一般地，函数yax(a0，a1，xR)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.(2)理解指数函数的定义，需要注意的三个问题：因为a0，且a1，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a0，如果a0，比如y(4)x，这时对于x，x，在实数范围内函数值不存在；如果a1，y1x1，是一个常量，对它没有研究的必要针对上述各种情况，所以规定a0，且a1.yax是指数函数的定义式，ax的系数必须是1，自变量x必须在指数的位置上，并且指数一定为x.如yax，y23x，y3x1等都不是指数
2、函数【例11】下列函数中，指数函数的个数是()y3x1；y3x；yx3.A0 B1 C2 D3答案：B【例12】函数y(a2)2ax是指数函数，则()Aa1或a3 Ba1Ca3 Da0，且a1解析：由指数函数定义知所以解得a3.答案：C2指数函数的图象与性质(1)根据解析式作函数图象，一般用描点法，即列出x，y的对应值表，描点、连线利用这种方法，我们在同一坐标系中作出函数y2x，y10x，yx和yx的图象(2)指数函数yax(a0，a1)的图象和性质a10a1图象性质定义域为R，值域为(0，)图象都过点(0,1)当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，0y1；当x0时，y1在(，)上单调递增
3、在(，)上单调递减析规律 学习指数函数的图象与性质需注意的几点当底数a大小不定时，必须分“a1”和“0a1”两种情形讨论当0a1，x时，y0；当a1，x时，y0.当a1时，a的值越大，图象随x增大时，递增速度越快，即“底大图高”；当0a1时，a的值越小，图象随x增大时，递减速度越快，即“底小图低”(其中“x”的意义是：“x趋向于正无穷大”)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大到小如：当ab1c时，函数图象如图指数函数图象的平移规律若已知yax的图象，则把yax的图象向左平移b(b0)个单位长度，则得到yaxb的图象；把yax的图象向右平移b(b0)个单位长度，则得到yaxb的图象；把yax的
4、图象向上平移b(b0)个单位长度，则得到yaxb的图象；把yax的图象向下平移b(b0)个单位长度，则得到yaxb的图象指数函数图象的对称规律函数yax的图象与yax的图象关于y轴对称，yax的图象与yax的图象关于x轴对称，yax的图象与yax的图象关于坐标原点对称【例21】函数在R上是()A增函数 B奇函数C偶函数 D减函数解析：由于011，所以函数y(1)x在R上是减函数，f(1)(1)1，f(1)1，则f(1)f(1)，且f(1)f(1)，所以函数y(1)x不具有奇偶性答案：D【例22】指数函数yax与ybx的图象如图，则()Aa0，b0 Ba0，b0C0a1，b1 D0a1，0b1解
5、析：由图象知，函数yax单调递减，故0a1；函数ybx单调递增，故b1.答案：C【例23】指数函数的图象如图，则分别对应于图象的a的值为()A BC D解析：设图象，对应的函数分别为ymx，ynx，ycx，ydx，当x1时，如图易知：c1d1m1n1.又m，n，c，c3，d2，.答案：B3用待定系数法求指数函数的解析式指数函数的解析式yax中仅含有一个参数a，则只需要一个条件即可确定指数函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)n或图象过点(m，n)等等通常利用待定系数法求解，设出指数函数的解析式f(x)ax，利用已知条件列方程求出常数a的值利用待定系数法求指数函数的解析式时，常常遇到解方程，
6、比如：amn，这时先把n化为以m为指数的指数幂形式nkm，则解得ak.还可以直接写出，再利用指数幂的运算性质化简.【例31】若指数函数的图象经过点(5,125)，则该指数函数的解析式为_答案：yx3【例32】已知指数函数f(x)的图象经过点，试求f(1)和f(3)分析：设出函数f(x)的解析式，利用待定系数法求出解：设f(x)ax(a0，且a1)，函数f(x)的图象经过点，a2，解得a4.又a0，则a4，f(x)4x，f(1)41，f(3)4364.4指数函数的定义域、值域的应用问题(1)利用指数函数的定义域、值域求形如yf(ax)(a0，且a1)型的函数的定义域和值域对于函数yf(ax)(a
7、0，且a1)，由于指数函数yax(a0，且a1)的定义域是R，值域是(0，)，则利用换元法，设axt，转化为求函数f(t)，t(0，)的定义域和值域(2)利用指数函数的定义域、值域求形如yaf(x)(a0，且a1)型的函数的定义域、值域对于函数yaf(x)(a0，且a1)，由于指数函数yax(a0，且a1)的定义域是R，因此满足f(x)有意义的自变量x的取值范围是函数yaf(x)(a0，且a1)的定义域设uf(x)，求出函数uf(x)的值域E，则函数yau(uE)的值域是函数yaf(x)(a0，且a1)的值域例如，函数，要使函数f(x)有意义，自变量x的取值只需满足有意义，即x0，所以函数的定
8、义域是(，0)(0，)设u，由于x(，0)(0，)，则u(，0)(0，)，则函数y5u的值域是(0,1)(1，)【例41】求下列函数的定义域、值域：(1)；(2)；(3)y2x1.分析：根据使函数有意义的条件求定义域，结合指数函数的图象与性质求值域解：(1)由x10，得x1，故函数的定义域为x|x1由，得y1，故函数的值域为y|y0，且y1(2)由5x10，得，故函数的定义域为.由，得y1，故函数的值域为y|y1(3)由表达式的特征知，函数的定义域为R.由2x0，得2x11，故函数的值域为y|y1点技巧 指数函数的性质对函数值域的影响求与指数函数有关的函数值域时，要充分考虑式子特点，利用指数函
9、数本身的条件结合函数的单调性求解【例42】求函数的定义域和值域分析：定义域由函数解析式可直接得出，求其值域时，可利用换元法，转化为求二次函数的值域规范解答顾问点评解：要使函数f(x)有意义，自变量x的取值需满足x和x有意义即可，函数f(x)的定义域是R.(得分点)设xt，又xR，则t(0，)，则yt2t12，t(0，)，(得分点)y21，(得分点)即函数f(x)的值域为(1，)(得分点)本题的求解关键是利用换元法转化为求二次函数的值域的问题.5指数函数的图象及定点问题(1)指数函数的图象变换的问题根据函数图象的变换规律，有以下结论：函数yaxb(a0，且a1)的图象，可由指数函数yax(a0，
10、且a1)的图象向左(b0)或向右(b0)平移|b|个单位长度而得到；函数yaxb的图象，可由指数函数yax(a0，且a1)的图象向上(b0)或向下(b0)平移|b|个单位长度而得到；函数ya|x|的图象，关于y轴对称，当x0时，其图象与指数函数yax(a0，且a1)图象相同；当x0时，其图象与x0时的图象关于y轴对称(2)与指数函数有关的函数图象过定点的问题指数函数yax(a0，且a1)过定点(0,1)，即对任意的a0，且a1，都有a01.是解决与指数函数有关的函数图象恒过定点问题的关键一般地，对于函数ykaf(x)b(k0)，可令f(x)0，解方程得xm，则该函数的图象恒过定点(m，kb)方
11、程f(x)0解的个数就是该函数的图象恒过定点的个数【例51】函数ya|x|(a1)的图象是()分析：根据条件去绝对值号，利用指数函数的图象判断解析：由题意知，xR，因此函数可变形为ya|x|因为a1，所以01，因此根据指数函数的图象特点可知B正确答案：B【例52】若函数f(x)2ax13(a0，且a1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是_解析：令x10，解得x1，所以f(1)5.所以函数f(x)2ax13的图象恒过定点(1,5)答案：(1,5)6指数函数单调性的应用(1)比较两个指数幂的大小比较两个指数幂大小的方法有以下几种：单调法：比较同底数(是具体的数值)幂大小，构造指数函数，利用指数函数的
12、单调性比较大小要注意：明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；明确指数函数的底数与1的大小关系；最后根据指数函数的单调性判断大小中间量法：比较不同底数幂的大小，常借助于中间值1进行比较利用口诀：“同大异小”，判断指数幂和1的大小，即对于指数幂ax，a与1比较大小，x与0比较大小，当a和x都同时“大于(小于)”时，ax大于1，否则ax小于1.分类讨论：比较同底数(不是具体的数值)幂大小，构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小要注意：明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；分类讨论指数函数的底数与1的大小；最后根据指数函数的单调性判断大小(2)利用指数函数单调性解决指数方程、不等式根据
13、指数函数的单调性，当a0，且a1时，有：af(x)ag(x)f(x)g(x)；当a1时，af(x)ag(x)f(x)g(x)；当0a1时，af(x)ag(x)f(x)g(x)点技巧 巧用指数函数的单调性利用指数函数的单调性是解题的关键，根据所给的已知信息，构造合适的指数函数，为了便于解题，通常要尽可能地将含指数幂的式子进行统一底数【例61】比较下列各题中两个值的大小：(1)0.80.1,0.80.2；(2)1.70.3,0.93.1；(3)a1.3，a2.5(a0，且a1)分析：(1)由于底数相同利用单调法比较大小；(2)由于底数和指数均不同，用中间量法比较大小；(3)对底数a分类讨论与1的大
14、小关系解：(1)00.81，指数函数y0.8x在R上为减函数0.80.10.80.2.(2)1.70.31,0.93.11，1.70.30.93.1.(3)当a1时，函数yax是增函数，此时a1.3a2.5；当0a1时，函数yax是减函数，此时a1.3a2.5，即当0a1时，a1.3a2.5；当a1时，a1.3a2.5.辨误区 当底数含参数时注意分类讨论本题(3)易错解得a1.3a2.5，原因是忽视了对底数a要分0a1和a1两种情况进行讨论【例62】已知(a22a5)3x(a22a5)1x，则x的取值范围是_分析：将不等号两边看做以a22a5为底的指数型函数，利用函数的单调性转化为关于x的不等
15、式求解解析：a22a5(a1)241，函数y(a22a5)x在(，)上是增函数，3x1x，解得.答案：【例63】解方程：4x2x60.分析：将4x化为(2x)2，先求2x的值，再求x的值解：原方程可化为(2x)22x60，令t2x，则t0，原方程化为t2t60，即(t3)(t2)0，t2或t3.t0，t2，即2x2，x1.点评：解指数方程通常应用换元法转化成二次方程求解，最后注意根的取舍7与指数函数有关的函数单调性、奇偶性的综合问题(1)判断与指数函数有关的函数的奇偶性与判断一般函数的奇偶性相同，先求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称
16、时，判断f(x)与f(x)或f(x)是否相等；然后进行判断若已知函数的奇偶性，也可利用奇偶性求函数的解析式或参数的值等(2)指数函数的单调性与底数的大小有关系，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系与指数函数有关的函数的单调性往往也与底数有关系，其解决手段就是利用指数函数单调性的定义判断或证明函数的单调性，其步骤是：(在第一章已经学习)在所给的区间上任取两个自变量x1和x2，通常令x1x2，xx2x10；作差yf(x2)f(x1)、变形、看符号常见的变形手段是：通分、分解因式、配方、有理化等，常见的变形结果有：常数、一个完全平方加上一个常数、因式的积或商等；归纳结论(3)形如
17、g(x)af(x)的指数型函数，对于其单调性的判断，一般用复合法，但应注意中间变量的取值范围以及定义域如y4x22x的单调性问题，则由yt22t及t2x的单调性确定当a1时，函数g(x)af(x)与函数f(x)的单调性相同；当0a1时，函数g(x)af(x)与函数f(x)的单调性相异即函数yaf(x)(a0，a1)的单调性，可以由函数uf(x)与yau(a0，a1)按照“同增异减”的原则来确定【例71】已知f(x)为定义在(1,1)上的奇函数，当x(0,1)时，.(1)求f(x)在(1,1)上的解析式；(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性解：(1)当x(1,0)时，x(0,1)，又f(x)
18、是奇函数，f(x)f(x).又f(0)f(0)，f(0)0.f(x)(2)设0x1x21，则f(x1)f(x2).又0x1x21，x1x20,4x110,4x210.2x1x21,2x22x1.2x22x10.f(x1)f(x2)0.f(x)在(0,1)上是减函数【例72】求下列函数的值域和单调区间：(1)；(2)y4x2x13，x(，1分析：先将复合函数分解为两个简单函数，然后求函数的定义域，并利用“同增异减”来确定单调区间解：(1)设ux22x，则.，ux22x的定义域都是R，的定义域为R.ux22x(x1)211，函数的值域为.u(x1)21在(，1上单调递增，在1，)上单调递减，且在其
19、定义域上是减函数，的单调递减区间为(，1，单调递增区间为1，)(2)y22x22x3，令t2x，x(，1，则yt22t3，t(0,2yt22t3(t1)22，t(0,2，当t1时，ymin2；当t2时，ymax222233.函数的值域为2,3y(t1)22在(0,1上单调递减，在1,2上单调递增，t2x在其定义域上单调递增，且t(0,1时，x(，0；t1,2时，x0,1，函数y4x2x13，x(，1的单调递减区间是(，0，单调递增区间是0,1辨误区 解题时勿忽略中间变量的取值范围在解答本题的过程中，易出现由t2x，x(，1得到t2，从而t1时，ymin2，而无最大值，进而得出值域为2，)导致这种错误的原因在于忽略了中间变量t2x0这一隐含条件
