1、专题05 分段函数研究一、题型选讲题型一 、分段函数的求值问题由于分段函数的解析式与对应的定义域有关，因此求值时要代入对应的解析式。含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）例1、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）设函数，则（ ）A2B3C5D6【答案】C【解析】函数，.故选：C.例2、(2019南京三模）若函数f(x)，则f(log23) 【答案】【解析】因为12，所以f(log23)f(log232).例3、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）对于给定正数k，定义，设，
2、对任意和任意恒有，则（ ）Ak的最大值为2Bk的最小值为2Ck的最大值为1Dk的最小值为1【答案】B【解析】因为对任意和任意恒有，根据已知条件可得：对任意恒成立，即，当时有，即故选：B题型二、与分段函数有关的方程或不等式 含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解。另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式例4、【2018年高考浙江】已知R，函数f(x)=，当=2时，不等式f(x)0的解集是_若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_【答案】(1,4)；【解析】由题意得或，所以或，即，故不等式f(x)0
3、，即a1时，f(a1)2a11，解得alog23. 本题以分段函数为背景，考查指数及对数的基本运算及分类讨论的数学思想例6、(2019苏北四市、苏中三市三调） 已知函数 则不等式的解集为 【答案】 【解析】：若，则，由得： ，故. 若，则，由得： ，故.综上，不等式的解集为 .题型三、分段函数的单调性分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。例7、已知函数，若在单调递增，则实数的取值范围是_【答案】 【解析】思路：
4、若在单调增，则在上任取，均有，在任取中就包含均在同一段取值的情况，所以可得要想在上单调增，起码每一段的解析式也应当是单调递增的，由此可得： ，但仅仅满足这个条件是不够的。还有一种取值可能为不在同一段取值，若也满足，均有，通过作图可发现需要左边函数的最大值不大于右边函数的最小值。代入，有左段右端，即综上所述可得： 例8、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）函数为定义在上的奇函数，则_，_.【答案】 【解析】根据题意，为定义在上的奇函数，则有，解可得：，则，则；故答案为：；.题型四 分段函数的零点问题分段函数的零点，有时需要对新函数如何构建是关键，通常的原则是：一是两个新函数图像是常见初等
5、函数图像，二是一个函数图像是定的，另一个函数图像是动的，三是参数放在直线型中，即定曲线动直线，这样便于解决问题，基于这三点例8、【2019年高考浙江】已知，函数若函数恰有3个零点，则Aa1，b0 Ba0 Ca1，b1，b0 【答案】C【解析】当x0时，yf（x）axbxaxb（1a）xb0，得x=b1a，则yf（x）axb最多有一个零点；当x0时，yf（x）axb=13x312（a+1）x2+axaxb=13x312（a+1）x2b，当a+10，即a1时，y0，yf（x）axb在0，+）上单调递增，则yf（x）axb最多有一个零点，不合题意；当a+10，即a1时，令y0得x(a+1，+），此时
6、函数单调递增，令y0得x0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数yf（x）axb恰有3个零点函数yf（x）axb在（，0）上有一个零点，在0，+）上有2个零点，如图：b1a0且，解得b0，1a0，b16（a+1）3，则a1，b0.故选C例9、(2017苏锡常镇调研）若函数f(x)则函数y|f(x)|的零点个数为_【答案】. 4【解析】设g(x)，则由g(x)0，可得x，所以g(x)在(1，)上单调递增，在(，)上单调递减，当x时，g(x)0，故g(x)在(1，)上的最大值为g().在同一平面直角坐标系中画出y|f(x)|与y的图像可得，交点有4个，即原函数零点有4个
7、例10、【2018年高考全国卷理数】已知函数若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A1，0） B0，+） C1，+） D1，+）【答案】C【解析】画出函数的图象，在y轴右侧的图象去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点（0,1）时，直线与函数图象有两个交点，（公众号：高中数学最新试题）并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即.故选C二、达标训练1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）若,则_【答案】【解析】因为，所以，应填答案.2、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）已知，若，则_，_；【答案】 【
8、解析】，故答案为：；2、（2020届浙江省绍兴市高三4月一模）已知函数，若，则实数_；若存在最小值，则实数的取值范围为_.【答案】 【解析】，.易知时，；又时，递增，故，要使函数存在最小值，只需，解得：.故答案为：，.3、（2020全国高三专题练习（文）函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 （ ）ABCD【答案】A【解析】令,画出与的图象,平移直线,当直线经过时只有一个交点,此时,向右平移,不再符合条件,故故选：A4、（2020山东省淄博实验中学高三上期末）设（1）当时，f（x）的最小值是_；（2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是_【答案】 0， 【解析】（
9、1）当时，当x0时，f（x）（x）2（）2，当x0时，f（x）x22，当且仅当x1时取等号，则函数的最小值为，（2）由（1）知，当x0时，函数f（x）2，此时的最小值为2，若a0，则当xa时，函数f（x）的最小值为f（a）0，此时f（0）不是最小值，不满足条件若a0，则当x0时，函数f（x）（xa）2为减函数，则当x0时，函数f（x）的最小值为f（0）a2，要使f（0）是f（x）的最小值，则f（0）a22，即0a，即实数a的取值范围是0，5、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）已知函数若，则实数的取值范围为_【答案】【解析】，令，即或，解得或，或，或 或 或 ，解得或，故答案为：.6、（20
10、20届山东实验中学高三上期中）已知函数，若方程有四个不同的解，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】先作图象，由图象可得因此为，从而，选A.7、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数，以下结论正确的是（ ）AB 在区间上是增函数C若方程恰有3个实根，则D若函数在上有6个零点，则的取值范围是【答案】BCD【解析】函数的图象如图所示：对A，所以，故A错误；对B，由图象可知 在区间上是增函数，故B正确；对C，由图象可知，直线与函数图象恰有3个交点，故C正确；对D，由图象可得，当函数在上有6个零点，则，所以当时，；当时，所以的取值范围是，故D正确.故选：BCD.8、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】函数的图象如下图所示，作出直线l：，平移直线l至与之间时，方程有三个不同的实根，而由得，当时，即（舍去）时，得直线，当直线l：，过点时，得直线，此时，所以要使方程有三个不同的实根，则实数a的取值范围是：，故答案为：.
