1、专题03 一网打尽指对幂等函数值比较大小问题【目录】 23348考点一：直接利用单调性8考点二：引入媒介值10考点三：含变量问题11考点四：构造函数14考点五：数形结合18考点六：特殊值法、估算法21考点七：放缩法、同构法22考点八：不定方程26考点九：泰勒展开29指、对、幂形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以选择题为主每年高考题都会出现，难度逐年上升考点要求考题统计考情分析指对幂比较大小2022年新高考I卷第7题，5分2022年天津卷第5题，5分2022年甲卷第12题，5分2021年II卷第7题，5分2021年天津卷第5题，5分【命题预测】预测202
2、4年高考，多以小题形式出现，应该会以压轴小题形式考查具体估计为：（1）以选择题或填空题形式出现，考查学生的综合推理能力（2）热点是灵活构造函数比较大小 （1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小（2）指、对、幂大小比较的常用方法：底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定（3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放
3、缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法（7）常见函数的麦克劳林展开式：1（2022新高考）设，则ABCD【答案】【解析】构造函数，则，当时，时，单调递减；时，单调递增，在处取最小值（1），且，；，；设，则，令，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，当时，当时，单调递增，故选：2（2022天津）已知，则ABCD【答案】【解析】因为是定义域上的单调增函数，所以，即；因为是定义域上的单调减函数，所以，且，所以；因为是定义域上的单调增函数，所以，即；所以故选：3（2022甲卷）已知，则ABCD【答案】【解析】，构造函数，在单调递增，（8），又因为，故，故选：4（2021全国）已知，则以下四个数中
4、最大的是ABCD【答案】【解析】令，则，故最大的是，故选：5（2021新高考）已知，则下列判断正确的是ABCD【答案】【解析】，故选：6（2021天津）设，则三者大小关系为ABCD【答案】【解析】，故选：7（2020新课标）设，则ABCD，故选：8（2020新课标）若，则ABCD【答案】【解析】因为；因为，所以，令，由指对数函数的单调性可得在内单调递增；且（a）；故选：9（2020新课标）已知，设，则ABCD【答案】【解析】解法一：由，而，即；，；，综上，解法二：，故选：10（2020天津）设，则，的大小关系为ABCD【答案】【解析】，则，故选：考点一：直接利用单调性利用指对幂函数的单调性判断
5、例1（2023河北唐山高一唐山一中校考阶段练习）设，则a，b，c的大小顺序是（）ABCD【答案】D【解析】因为，又因为在上单调递增，所以，即，因为，所以，又因为在上单调递增，所以，即，综上：.故选：D.例2（2023北京顺义高三校考阶段练习）已知，比较a，b，c的大小为（）ABCD【答案】C【解析】因为函数在上单调递增，所以，又，所以；又因为函数在上单调递增，所以，所以.综上，.故选：C例3（2023湖南长沙湖南师大附中校考模拟预测）设，则a，b，c的大小顺序为（）ABCD【答案】A【解析】指数函数，为减函数，幂函数为增函数，对数函数为减函数，即，.故选：A.考点二：引入媒介值寻找中间变量0，
6、1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定例4（2023天津河东一模）已知，则，的大小顺序为（）ABCD【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.例5（2023湖南郴州统考一模）有三个数：，大小顺序正确的是（）ABCD【答案】A【解析】，所以.故选：A例6（2023江苏镇江高三统考开学考试）设，则a，b，c的大小顺序为（）ABCD【答案】D【解析】，又， ，即.故选：D.例7（2023内蒙古鄂尔多斯高三统考期中）下列各式大小比较中，其中正确的是（）ABCD【答案】D【解析】，即，选项A错误；，则，得，故选项B错误；，选项C错误；，选项D正确.故选：D考点三：含变量问题对变量取
7、特殊值代入或者构造函数例8（2023辽宁大连二十四中校联考模拟预测）下列不等式中，正确的有（）ABCD【答案】A【解析】对于A，令，则，即证，令，则，所以在上单调递增，故，所以，即，故A正确；对于B，当时显然不成立，故B错误；对于C，当是第三象限角时，则，所以，可得，故C错误；对于D，当时，为单调递增函数，若，则，这与矛盾，故D错误.故选：A.例9（2023天津滨海新天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）已知正实数x，y，z满足，则不正确的是（）ABCD【答案】B【解析】设，则，.选项A，则，故A正确；选项B，下面比较的大小关系，因为，所以，即，又，所以，即，故B不正确；选项C，因为，又，所
8、以，即，故C正确；选项D，因为，所以，又，所以，故D正确；故选：B.例10（2023天津和平高三耀华中学校考阶段练习）已知，则（）ABCD【答案】A【解析】要比较，中的大小，等价于比较，中的大小，由定义域可知，故，在定义域上单调递减，故，则，由定义域可知：，又，则，故，.故选：A.考点四：构造函数例11（2023浙江杭州高二浙江省杭州第二中学校联考期中）已知，则的大小为（）ABCD【答案】D【解析】因为，设，则，所以当时，单调递增；当时，单调递减；所以，又因为，所以.故选：D.例12（2023河南许昌高三统考阶段练习）设，则，的大小顺序为（）ABCD【答案】A【解析】因为，构造函数，则，在上递
9、增，在上递减.则有最大，即，.若有两个解，则，所以所以即,令，则，故在上单增,所以，即在上，.若，则有，即.故，所以.当时，有，故所以.综上所述：.故选：A例13（2023广西河池高三贵港市高级中学校联考阶段练习）设，则（）ABCD【答案】C【解析】因为，则，设，设，则，当时，所以在上单调递减，所以，即在上单调递增，因为，所以，即，又，即，所以.故选：C.例14（2023湖北武汉统考三模）已知，则a，b，c的大小关系为（）ABCD【答案】A【解析】设，当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，又，则，所以，对于，令，则，此时，所以.故选：A.例15（2023安徽滁州安徽省定远中
10、学校考二模）设，则（）AabcBcbaCcabDacb【答案】D【解析】由，得，构造函数，则，当时，x1，时，单调递减；时，单调递增，在x1处取最小值，时，即，取，得，即；设，则，令，因为当时，令，单调递减，又时，则，即，所以，因为当时，所以当时，函数单调递增，又，所以，即，所以当时，函数单调递增，所以，即，即，.故选：D例16（2023湖南模拟预测）设，则，的大小顺序为（）ABCD【答案】A【解析】因为，故构造函数，则，令，解得，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，又因为，所以，因为，又，所以，即，故，故选：A考点五：数形结合转化为两函数图象交点的横坐标例17（2023云南曲靖高三校考阶
11、段练习）已知正数，满足，则下列不等式成立的是（）ABCD【答案】B【解析】因为，可得，可得，可得，且考虑和的图象相交，在同一平面直角坐标系中画出、与的图象如下：根据图象可知.故选：B.例18（2023广东汕头统考三模）已知，则a，b，c大小为（）ABCD【答案】D【解析】可以看成与图象的交点的横坐标为，可以看成与图象的交点的横坐标为，可以看成与图象的交点的横坐标为，画出函数的图象如下图所示，由图象可知，.故选：D.例19（2023贵州贵阳高三阶段练习）均为正实数，且，则的大小顺序为ABCD【答案】D【解析】作出函数，的图象如下图所示：则、视为函数与函数、函数与函数，函数与函数的交点的横坐标，由
12、图象可知.故选：D.考点六：特殊值法、估算法例20（2023安徽高三校联考阶段练习）若，b=1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为（）AabcBcbaCacbDbac【答案】A【解析】令，则，在上单调递增，即，又，故，故选：A例21（2023贵州贵阳高三统考开学考试）已知，则（）ABCD【答案】B【解析】构造函数，所以在上单调递增，所以，；故只需比较与；也即比较与；也即比较与，而，所以，所以.综上所述，.故选：B例22（2023湖南校联考模拟预测）若，（）试比较的大小关系（）ABCD【答案】D【解析】由得，故，又，故，由常用数据得，下面说明，令，当时，单增，当时，单减，则，则，则，令
13、，则，则，综上，.故选：D.考点七：放缩法、同构法例23（2023四川巴中高三统考开学考试）已知正数满足（为自然对数的底数），则下列关系式中不正确的是（）ABCD【答案】C【解析】由题意得，令，则恒成立，所以在上单调递增，故，所以，B正确，A正确，D正确，C选项，又在上单调递增，故，所以，故，设，则，当时，当时，故在上单调递增，在上单调递减，又，故，即，当且仅当时，等号成立，故，则，所以，又，故，C错误.故选：C例24（2023浙江绍兴高三统考期末）已知，则下列说法正确的是（）A当时，B当时，C当时，D当时，大小不确定【答案】B【解析】由可知，移项可得，即，当时，此时，即，故A错，B对，当时，
14、此时，即，故A错，B对，当时，此时，即，故C，D错，故选：B.例25（2023四川绵阳高一统考期末）已知，比较a，b，c的大小为（）AabcBacbCbcaDbac【答案】D【解析】，因函数在上单调递增，则，.，因，则.故，综上有.故选：D例26（2023浙江模拟预测）已知正数，满足，则（）ABCD【答案】D【解析】由解得，构造函数，显然，故是减函数，结合，故时，故，再令，当时，故在单调递增，结合，故，则，所以，故，由，都是正数，故故选：D例27（2023全国模拟预测）已知，则a，b，c的大小关系为（）ABCD【答案】D【解析】分别对，两边取对数，得，由基本不等式，得:，所以，即，所以又，所以
15、.故选：D例28（2023安徽池州高三池州市第一中学校考阶段练习）间的大小关系为（）ABCD【答案】B【解析】令，则，所以在上单调递增，故，即，所以，则，即，故；因为，所以其展开通项公式为，故，所以，令，则，所以在上单调递增，则，即，所以，故，即；令，则，因为，所以，则，故，所以在上单调递增，则，即，易知，所以，则，即；综上可得.故选：B考点八：不定方程例29（2023湖南长沙长沙市明德中学校考三模）已知实数满足： ，则（）ABCD【答案】A【解析】因为，即，所以，设，设是单调递增函数，所以，所以，即，又是单调递减函数，且，所以，设设是单调递增函数，所以，所以，即又是单调递减函数，且，所以，同
16、理，由得，又是单调递减函数，且，所以，由，所以且是单调递减函数，所以.综上可得故选：A例30（2023上海宝山高一上海交大附中校考期中）已知对任意正数a、b、c，当时，都有成立，则实数m的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】由，得，于是，令，函数在上递减，在上递增，显然，因此，令函数，令，在上单调递减，在上单调递增，而，即，于是，因为对任意正数a、b、c，当时，都有成立，则，所以实数m的取值范围是.故选：C例31（2023全国长郡中学校联考二模）设实数，满足，则，的大小关系为（）ABCD无法比较【答案】C【解析】假设，则，由得，因函数在上单调递减，又，则，所以；由得，因函数在上单调递减，又，则，所以；即有与假设矛盾，所以，故选：C考点九：泰勒展开例32（2023广东广州高三华南师大附中校考阶段练习），则a，b，c的大小关系是（）ABCD【答案】C【解析】由题意得， 因为，所以，由泰勒展开得，所以，故，综上所述a，b，c的大小关系是.故选：C例33已知，则（）【答案】A【解析】设，则，计算得，故选A例34设，则的大小关系为_（从小到大顺序排）【答案】【解析】，由函数切线放缩得，因此故答案为：
