1、2020-2021学年河北省沧州一中高二（下）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设复数满足，则ABCD22（5分）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若表示取得次品的个数，则等于ABCD13（5分）如表记录了某产品的广告支出费用（万元）与销售额（万元）的几组数据：2356154045根据上表数据求出关于的线性回归方程为，则表中的值为A30B26C23D204（5分）2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩（试卷满分为150分）统计结果显示数学考试成绩在
2、80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为A80B100C120D2005（5分）安排4名大学生去3所学校支教，每人只能去一个学校，每个学校至少分配一名大学生，则不同的分派方法共有A36种B24种C18种D12种6（5分）已知的周长为12，则顶点的轨迹方程为ABCD7（5分）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是ABCD8（5分）定义在上的函数的导函数为，且（e），若对任意恒成立，则关于的不等式的解集为ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
3、要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9（5分）若三个数1，9成等比数列，则圆锥曲线的离心率可以是ABCD10（5分）已知展开式中各项的系数之和为，则该展开式中二项式系数最大的项可以是A第4项B第5项C第6项D第7项11（5分）下列说法正确的是A“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的必要不充分条件B若随机变量取可能的值1，2，3，是等可能的，且，则C相关指数越大，模型的拟合效果越好D若随机变量，且，则12（5分）定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”可以证明，任意三次函数都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断，以下命题
4、正确的是A存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B函数的对称中心是C存在三次函数，方程有实数解，且点，为函数的对称中心D若函数，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）3个班分别从5个景点中选择一处游览，共有种不同的选法（填数字）14（5分）的展开式中的系数为（填数字）15（5分）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为16（5分）设抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上，且，若，则的值为四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）已知函
5、数（1）求函数在点，（1）处的切线方程；（2）当，时，求函数的最大值18（12分）如图，四边形是正方形，平面，且（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值19（12分）某校高二年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由1名男生和2名女生组成比赛中每人投篮1次，每个人之间投篮都是相互独立的已知女生投篮命中的概率均为，男生投篮命中的概率均为（1）求小组共投中2次的概率；（2）若三人都投中小组获得30分，投中2次小组获得20分，投中1次小组获得10分，三人都不中，小组减去60分随机变量表示小组总分，求随机变量的分布列及数学期望20（12分）某高校共有学生15000人，其中男生
6、10500人，女生4500人为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879附：
7、21（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，设过点的直线被椭圆截得的线段为，当轴时，（1）求椭圆的标准方程；（2）在轴上是否存在一点，使得当变化时，总有与所在的直线关于轴对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由22（12分）（理设函数（1）求的单调区间；（2）若对所有的，均有成立，求实数的取值范围2020-2021学年河北省沧州一中高二（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设复数满足，则ABCD2【考点】复数的模【专题】转化思想；数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算
8、法则、模的计算公式即可得出【解答】解：，则故选：【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2（5分）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若表示取得次品的个数，则等于ABCD1【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算【分析】利用古典概型、排列组合能求出结果【解答】解：有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，表示取得次品的个数，则故选：【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题3（5分）如表记录了某产品的广告支出费用（万元）与销售额（万元）的几组数
9、据：2356154045根据上表数据求出关于的线性回归方程为，则表中的值为A30B26C23D20【考点】线性回归方程【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算【分析】计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论【解答】解：由已知可得：，代入，得，解得：，故选：【点评】本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点属于基础题4（5分）2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩（试卷满分为150分）统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总
10、人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为A80B100C120D200【考点】：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【专题】11：计算题；34：方程思想；：演绎法；：概率与统计【分析】利用正态分布曲线的对称性，确定成绩不低于120分的学生约为总人数的，即可求得成此次考试成绩不低于120分的学生数【解答】解：成绩，其正态曲线关于直线对称，又成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的，由对称性知：成绩不低于120分的学生约为总人数的，此次考试成绩不低于120分的学生约有：人故选：【点评】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、
11、化归与转化思想属于基础题5（5分）安排4名大学生去3所学校支教，每人只能去一个学校，每个学校至少分配一名大学生，则不同的分派方法共有A36种B24种C18种D12种【考点】排列、组合及简单计数问题【专题】转化思想；综合法；排列组合；数学运算【分析】先从4名大学生中选取2人，再与其他两个人分别分配到3个学校，每个学校至少分配一名大学生，即可得出结论【解答】解：先从4名大学生中选取2人，再与其他两个人分别分配到3个学校，每个学校至少分配一名大学生，则不同的分派方法共有种，故选：【点评】本题考查了排列组合数的计算公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6（5分）已知的周长为12，则顶点的轨
12、迹方程为ABCD【考点】：椭圆的性质【专题】11：计算题；49：综合法；35：转化思想；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据三角形的周长和定点，得到点到两个定点的距离之和等于定值，得到点的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点【解答】解：的周长为12，顶点，点到两个定点的距离之和等于定值，点的轨迹是椭圆，椭圆的方程：故选：【点评】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点7（5分）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是ABCD【考点】双曲
13、线的性质【专题】方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算；定义法【分析】设双曲线的方程为，运用点差法，以及中点坐标公式和直线的斜率公式，可得，的方程，结合，的关系，解方程可得，进而得到所求双曲线的方程【解答】解：设双曲线的方程为，由题意可得，设，可得，两式相减可得，由题意可得的中点坐标为，直线的斜率为，则，由解得，所以双曲线的方程为故选：【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题8（5分）定义在上的函数的导函数为，且（e），若对任意恒成立，则关于的不等式的解集为ABCD【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】函数思想；构造法；导数的
14、综合应用；逻辑推理；数学运算【分析】构造函数，依题意，可得在区间上单调递增，又（e）（e），即（e），从而可得答案【解答】解：令，对任意恒成立，在区间上单调递增，又（e），（e）（e），即（e），由得：，即不等式的解集为，故选：【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学运算能力，属于中档题二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9（5分）若三个数1，9成等比数列，则圆锥曲线的离心率可以是ABCD【考点】等比数列的通项公式；椭圆的性质；等比数列的性质；双曲线的性质【专题】计算题；转化思
15、想；综合法；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算【分析】利用等比数列求解，然后求解曲线的离心率即可【解答】解：三个数1，9成等比数列，可得，当时，曲线的离心率为：，当时，曲线的离心率为：故选：【点评】本题考查等比数列的应用，双曲线的离心率以及椭圆的离心率的求法，是基础题10（5分）已知展开式中各项的系数之和为，则该展开式中二项式系数最大的项可以是A第4项B第5项C第6项D第7项【考点】二项式定理【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数据分析【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得该展开式中二项式系数最大的项【解答】解：已知展开式中各项的系数之和为，则该展开式中二项式系数最大
16、的项可以第5项或第六项，故选：【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题11（5分）下列说法正确的是A“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的必要不充分条件B若随机变量取可能的值1，2，3，是等可能的，且，则C相关指数越大，模型的拟合效果越好D若随机变量，且，则【考点】命题的真假判断与应用；相关系数；充分条件、必要条件、充要条件【专题】转化思想；综合法；概率与统计；简易逻辑；逻辑推理；数学运算【分析】直接利用互斥事件和对立事件的关系，数学期望，均值和方差关系式的应用，回归直线方程的应用判断、的结论【解答】解：对于：“与是互斥事件”但是“与互为对立事件
17、”不一定成立，但是“与互为对立事件”，则：“与必是互斥事件”，故“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的必要不充分条件故正确；对于：若随机变量取可能的值1，2，3，是等可能的，且，即，则，故错误；对于：相关指数越大，模型的拟合效果越好，故正确；对于：若随机变量，且，解得，则，故错误故选：【点评】本题考查的知识要点：互斥事件和对立事件的关系，数学期望，均值和方差关系式的应用，回归直线方程的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题12（5分）定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”可以证明，任意三次函数都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这
18、一结论判断，以下命题正确的是A存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B函数的对称中心是C存在三次函数，方程有实数解，且点，为函数的对称中心D若函数，则【考点】命题的真假判断与应用【专题】对应思想；综合法；简易逻辑；数学运算【分析】根据新定义对应各个选项逐个判断即可【解答】解：选项：因为，则方程只有一个实数解，即不存在有两个及两个以上对称中心的三次函数，故错误，选项：因为，方程只有一个实数解，则函数的对称中心为，故正确，选项：设三次函数为，则，方程的解只有，所以函数的对称中心为，故正确，选项：因为，方程只有一个实数解为，所以函数的对称中心为，则，所以，故正确，故选：【点评】本题考查了命题的真假判
19、断，考查了学生对新定义的理解能力以及运算能力，属于中档题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）3个班分别从5个景点中选择一处游览，共有125种不同的选法（填数字）【考点】排列、组合及简单计数问题；计数原理的应用【专题】分类讨论；综合法；排列组合；数学运算【分析】每个班可有从5个景点中选择一处游览有5种选法，利用乘法原理即可得出【解答】解：每个班可有从5个景点中选择一处游览有5种选法，利用乘法原理可得共有种不同的选法，故答案为：125【点评】本题考查了乘法原理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14（5分）的展开式中的系数为（填数字）【考点】二项式定理【专题】转化思想
20、；综合法；二项式定理；数据分析【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于7，求出的值，即可求得展开式中的系数【解答】解：的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的系数为，故答案为：【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题15（5分）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为【考点】互斥事件的概率加法公式【专题】计算题；对应思想；转化法；概率与统计；数学运算【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式计算即可【解答】解：设“甲球落入盒
21、子”为事件，“乙球落入盒子”为事件，由题意可知事件与事件相互独立，且（A），（B），则甲、乙两球都落入盒子的概率为（A）（B），事件“甲、乙两球至少有一个落入盒子”的对立事件为“甲、乙两球都没有落入盒子”所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为（A）（B），故答案为：，【点评】本题考查了互斥事件的概率公式，考查了运算求解能力，属于基础题16（5分）设抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上，且，若，则的值为3【考点】抛物线的性质【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设，由抛物线的定义解得的坐标，进而得到直线的方程，可得的
22、坐标，由两点的距离公式，可得，进而得到所求值【解答】解：抛物线的焦点为，准线为，设，由，可得，解得，即，直线的方程为，令，可得，即，可得，所以故答案为：3【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及向量共线定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）已知函数（1）求函数在点，（1）处的切线方程；（2）当，时，求函数的最大值【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算【分析】（1）对求导，求出（1），（1），利用点斜式即可求得切线
23、方程；（2）根据的导函数可得当，时，变化情况，从而可求得的最大值【解答】解：（1），（1），（1），切线方程为，即（2），令，可得，则，随的变化如下表：1230单调递减单调递增，当时，取得最大值【点评】本题主要考查导数的几何意义，利用导数求闭区间内的最值，考查运算求解能力，属于基础题18（12分）如图，四边形是正方形，平面，且（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值【考点】直线与平面平行；直线与平面所成的角【专题】计算题；方程思想；转化思想；向量法；空间向量及应用；直观想象；数学运算【分析】（1）通过证明平面平面来证明平面；（2）建立空间直角坐标系，写出点坐标，求出平面法向量，再
24、求线面角的正弦值即可【解答】解：（1）证明：因为四边形是正方形，所以又平面，平面，所以平面因为，同理，可证平面，又，所以平面平面，又因为平面，所以平面（2）分别以，为，轴建立如下图所示的空间直角坐标系因为，所以，则，0，0，3，3，则设平面的法向量为，则由，得，令，得平面的一个法向量为设直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查空间向量在求线面角中的应用，考查数学运算和直观想象的核心素养，属于中档题19（12分）某校高二年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由1名男生和2名女生组成比赛中每人投篮1次，每个人之间投篮都是相互独立的已知女
25、生投篮命中的概率均为，男生投篮命中的概率均为（1）求小组共投中2次的概率；（2）若三人都投中小组获得30分，投中2次小组获得20分，投中1次小组获得10分，三人都不中，小组减去60分随机变量表示小组总分，求随机变量的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算【分析】（1）利用独立重复实验的概率求解即可（2）的可能取值为，10，20，30，求出概率，得到分布列，然后求解期望【解答】解：（1）一个小组共投中2次的概率（3分）（2）的可能取值为，10，20，30，的分布列为102030所以（12分）【点评】本题考
26、查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题20（12分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有的把握认为
27、“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879附：【考点】：独立性检验【专题】：概率与统计【分析】（1）根据频率分布直方图进行求解即可（2）由频率分布直方图先求出对应的频率，即可估计对应的概率（3）利用独立性检验进行求解即可【解答】解：（1），所以应收集90位女生的样本数据（2）由频率分布直方图得，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75（3）由（2）知，300位学生中有人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是
28、关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300结合列联表可算得所以，有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”【点评】本题主要考查频率分布直方图以及独立性检验的应用，比较基础21（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，设过点的直线被椭圆截得的线段为，当轴时，（1）求椭圆的标准方程；（2）在轴上是否存在一点，使得当变化时，总有与所在的直线关于轴对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由【考点】：直线与椭圆的综
29、合【专题】35：转化思想；：设而不求法；：圆锥曲线中的最值与范围问题；65：数学运算【分析】（1）直接由题意得离心率及过焦点垂直于轴的弦长及，之间的关系，求出椭圆方程；（2）由题意得两直线的斜率互为相反数，求出存在定点，满足题中条件【解答】解：（1）由题意得：，解得：，所以椭圆的标准方程：；（2）假设存在，设直线的方程：设，联立与椭圆的方程整理得：，由题意得：，而，即，所以，即存在定点，满足题中条件【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题22（12分）（理设函数（1）求的单调区间；（2）若对所有的，均有成立，求实数的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值【专题】综
30、合题【分析】（1）先求导，得到，分别令，得到递增和递减区间（2）令，注意到，则“不等式在时恒成立”等价于“在时恒成立”通过求导研究函数的单调性和极值，从而画出函数图象，结合着，得到的范围【解答】解：（1）由得，的增区间为，减区间为（2）令“不等式在时恒成立” “在时恒成立”当时，为减函数当，时，为增函数“在时恒成立” “”，即，即，即故的取值范围是，【点评】本题的第一小问是常规题，即利用导数研究函数的单调性，极值和最值第二小问的转化，令，注意到，则“不等式在时恒成立”等价于“在时恒成立”比较巧妙，避免了繁杂的分类讨论，使得问题更快地解决声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/7/28 11:19:42；用户：18173447192；邮箱：18173447192；学号：22161184
