1、实系数一元二次方程一、单选题1设，是非零复数，且满足，则与的关系是（ ）ABCD不确定【答案】C【分析】将方程两边同时除以，化为的一元二次方程，利用求根公式求出，再求出其模，即可得到答案.【详解】因为，且，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，考查了复数的模长公式和复数模的性质，属于基础题.2设，方程的根有（ ）.A1个B2个C3个D4个【答案】C【分析】将表示为复数的形式代入方程，利用复数相等即可求解.【详解】设，代入方程得 解得或，所以方程的根有3个.故答案选：C【点睛】本题主要考查利用换元法求方程的根及复数相等的概念，属于基础题.3
2、已知关于的实系数方程两个虚根为，且，则（ ）ABC或D不存在【答案】A【分析】关于的实系数方程两个虚根为，所以，可得，利用根与系数的关系可得，设，则，根据，可得可求得答案.【详解】关于的实系数方程两个虚根为，所以设所以，即，即由，即，解得或.又，则，所以所以故选：A【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、判别式、根与系数的关系、复数的模的计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题二、填空题4若实系数方程有虚根，则实数的取值范围是_.【答案】【分析】由已知可得，求解即可.【详解】实系数方程有虚根，.故答案为：.【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的判别式，考查计算求解能力，属于基
3、础题.5若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是_.【答案】【分析】设，利用列方程组，解方程组求得题目所求两个数.【详解】设，依题意有，即，所以.将代入，得；将代入，解得；将代入，得，结合解得或.所以对应的数为、.故答案为：【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题.三、解答题6已知一元二次方程的两根为x1与x2，求下列各式的值：（1）x12+x22；（2）|x1-x2|.【答案】（1）（2）【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系计算即可.【详解】因为一元二次方程的两根为x1与x2，所以，（1）x12+x22，（2）|x1-x2|.【点睛】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，考
4、查了运算能能力，属于中档题.7已知复数是实系数一元二次方程的一个根，向量，求实数和，使得【答案】，【分析】根据虚根成对定理以及韦达定理可求出，再根据向量共线可求得结果.【详解】是实系数一元二次方程的一个根，也是方程的根则，由，得.故答案为：，.【点睛】本题考查了虚根承兑定理、韦达定理，考查了平面向量共线定理，属于基础题.8已知复数是实系数一元二次方程的两根，且复数在复平面内对应的点在第一象限，若，其中是虚数单位.（1）求复数；（2）若复数满足，求的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值6，最小值4；【分析】（1）根据实系数一元二次方程根的性质进行求解即可；（2）根据的几何意义，结合圆的性
5、质进行求解即可.【详解】（1）因为，所以实系数一元二次方程有两个互为共轭的复数根，因此复数互为共轭复数，因为复数在复平面内对应的点在第一象限，所以设，则，所以，所以；（2）因为复数满足，设，所以，所以复数在复平面上对应的点在单位圆上，表示点到圆上一点的距离，显然的最大值为，最小值为.所以的最大值6，最小值4.9方程的两根在复平面内对应的点之间的距离是，求实数的值【答案】或或【分析】设方程的两根为，则两根在复平面内对应的点之间的距离就是，由复数模的性质可得，利用根与系数的关系式代入，可得到关于的方程，解方程可求的值.【详解】设方程的两根为，则，由韦达定理可得当；当或.【点睛】本题考查了复数的几何
6、意义以及一元二次方程根与系数的关系，把复数在复平面上对应点的距离转化为复数差的模的形式是解题的关键，属于中档题.10方程的两个虚根为，且，求实数的范围【答案】【分析】设，则根据韦达定理可得，再根据模长公式化简不等式可得，由可得答案.【详解】设，则因为方程有虚根，所以，解得，根据韦达定理得，即，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，.【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了韦达定理以及复数的模长公式，属于基础题.11已知方程的两根为，且满足，求实数的值.指出下面的解法是否有错误，若有请分析错误原因，并给出正确的解答；若没有，请说明理由.，得.由方程的根与系数的关系，得.解方
7、程，得.【答案】有错误，理由见解析，或.【分析】利用举反例的方法，说明错误原因.按照和进行分类讨论，由此求得的所有可能取值.【详解】上面解法有错误，原因是当时，不一定等于.如，则.正确解法：（1）当，即时，有，此时解答同上面解法；（2）当，即时，方程有共轭虚根，两根为.依题意.解方程，得.综上所述，或.【点睛】本小题主要考查在复数范围内求一元二次方程的根，属于中档题.12方程的两个虚根的模之和为2，求实数的值.【答案】【分析】设，是方程的两个根，计算得到，计算，代入数据计算得到答案.【详解】设，是方程的两个根，因为方程有两个虚根，即，化简得，解不等式得，且，而，.，检验取.【点睛】本题考查了方
8、程的虚根，意在考查学生的计算能力和应用能力.13设，是方程的两根，求（用含的解析式表示）.【答案】【分析】根据判别式讨论方程根的情况，若，再对两实根的符号讨论，结合根与系数关系，即可得出结论；若，方程两根为共轭虚数，利用模的关系，结合根与系数关系，即可求出结论.【详解】（1）当方程有实根时，得或，若，得或.当或时，同号，；当时，异号， .（2）当方程有虚根时，得.综上：【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的判别式，以及根与系数关系的应用，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于中档题.14若，是实系数一元二次方程的两个虚根，且.求：（1）实数的取值范围；（2）的最大值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据实系数方程的两个虚数根互为共轭复数得其模相等，利用模的性质可得的范围；（2）求出，结合二次函数性质可得结论【详解】（1），是实系数一元二次方程的两个虚根，所以；（2）在上单调递减，所以当时取到最大值【点睛】本题考查复数的模的运算，考查模的性质，在复数乘除法运算中利用模的性质求模可以更加简便，
