1、专题1：构造等边三角形【典例引领】例：在菱形ABCD中，ABC=60，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF。（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明。 【强化训练】1如图，ABC中，AB=BC，BDAC于点D，FAC=12ABC，且FAC在AC下方点P，Q分别是射线BD，射线AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ，过点P作PECQ于点E，连接DE（1）若ABC=6
2、0，BP=AQ如图1，当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系；如图2，当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断中的结论是否成立，并说明理由；（2）若ABC=260，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使（1）中的结论仍然成立（用含的三角函数表示） 2如图，在RtABC中，ACB=90，A=30，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60，得到线段PQ，连接BQ（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论
3、是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若BPO=15，BP=4，请求出BQ的长 3在菱形ABCD中，ABC=60,点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边APE，点E的位置随点P的位置变化而变化.（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是 ，CE与AD的位置关系是 ；（2）当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理). (3) 如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=23 ,BE=219 ,求四边形ADPE的面积. 4已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，直线y=3x+723与x轴、y轴分别交于B、C两点，四边形ABCD为菱形（1）如图1，求点A的坐标；（2）如图2，连接AC，点P为ACD内一点，连接AP、BP，BP与AC交于点G，且APB=60，点E在线段AP上，点F在线段BP上，且BF=AE，连接AF、EF，若AFE=30，求AF2+EF2的值；（3）如图3，在（2）的条件下，当PE=AE时，求点P的坐标
