1、专项五 解析几何考点3 解析几何中的定点、定值问题大题 拆解技巧【母题】(2020年全国卷)已知A,B分别为椭圆E:x2a2+y2=1(a1)的左、右顶点,G为E的上顶点,AGGB=8.P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点.【拆解1】已知A,B分别为椭圆E:x2a2+y2=1(a1)的左、右顶点,G为E的上顶点,AGGB=8,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.求E的方程.【拆解2】已知条件不变,证明:直线CD过定点.小做 变式训练已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左
2、、右焦点分别为F1,F2,点A,B分别为C的右顶点和上顶点,若ABF1的面积是ABF2的面积的3倍,且F1AF1B=3.(1)求C的标准方程;(2)若过点(23,0)且斜率不为0的直线与C交于M,N两点,点P在直线x=6上,且NP与x轴平行,求证:直线MP恒过定点.【拆解1】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A,B分别为C的右顶点和上顶点,若ABF1的面积是ABF2的面积的3倍,且F1AF1B=3,求C的标准方程.【拆解2】已知椭圆C的标准方程为x24+y23=1,若过点(23,0)且斜率不为0的直线与C交于M,N两点,点P在直线x=6上,且NP与x轴
3、平行,求证:直线MP恒过定点.技巧归纳1.圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.2.圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点:待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.(2)两大解法:从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;引起变量法:其解题流程为变量选择适当的动点坐标或动线中系数为变量函数把要证明为定值的量表示成上述变量的函数定值把得到的函数化简,消去变量得到定值突破 实战训练1.已知椭圆E:x2a2+y2
4、b2=1(ab0),其短轴长为2,离心率为22.(1)求椭圆E的方程;(2)设椭圆E的右焦点为F,过点G(2,0)作斜率不为0的直线交椭圆E于M,N两点,设直线FM和FN的斜率分别为k1,k2,试判断k1+k2是否为定值,若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.2.设动点M在直线y=0和y=-2上的射影分别为点N和R,已知MNMR=OM2,其中O为坐标原点.(1)求动点M的轨迹E的方程;(2)过直线x-y-2=0上的一点P作轨迹E的两条切线PA和PB(A,B为切点),求证:直线AB经过定点.3.已知抛物线G:y2=2px(p0)的焦点为F,斜率为k的直线l过点F,且与G交于A,B两点,当
5、k=1时,|AB|=16.(1)求p的值;(2)直线l1:y=k1(x-2)与G相交于C,D两点,M,N分别为AB,CD的中点,若直线MN恒过定点(2,2),求k+k1的值.4.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴长为4,离心率e=32,(1)求椭圆C的方程;(2)设A,B分别为椭圆C的左、右顶点,已知点P为直线l:x=4上的动点,直线PA,PB与椭圆E分别交于M,N两点,证明直线MN经过定点,并求出该定点的坐标.5.在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:x2a2+y2b2=1(a0,b0)经过点A(-62,2),且F(0,-1)为其一个焦点.(1)求椭圆E的方程;(2)设椭圆E与y
6、轴的两个交点为A1,A2,不在y轴上的动点P在直线y=b2上运动,直线PA1,PA2与椭圆E分别交于点M,N,证明:直线MN恒过一个定点.6.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,椭圆C2:x23a2+y23b2=1(ab0)经过点32,32.(1)求椭圆C1的标准方程;(2)设点M是椭圆C1上的任意一点,射线MO与椭圆C2交于点N,过点M的直线l与椭圆C1有且只有一个公共点,直线l与椭圆C2交于A,B两个相异点,证明:NAB面积为定值.7.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过点F且垂直于x轴的直线与C交于A,B两点,AOB(点O为坐标原点)的面积为2.(1)求抛物线C的方程;(2)设不经过原点O的直线l与抛物线交于P,Q两点,设直线OP,OQ的倾斜角分别为,证明:当+=4时,直线l恒过定点.8.已知椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A,B,右焦点为F,过F的直线l与C交于P,Q两点.(1)设APF和BQF的面积分别为S1,S2,若S1=3S2,求直线l的方程;(2)当直线l绕点F旋转时,求证:四边形APBQ的对边AP与BQ所在直线的斜率的比值恒为常数.
