1、第二章5.1A组素养自测一、选择题1已知ABC中，a，b，若ab0，则ABC是(A)A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D任意三角形解析由ab0易知a，b为钝角2对于向量a、b、c和实数，下列命题中真命题是(B)A若ab0，则a0或b0B若a0，则0或a0C若a2b2，则ab或abD若abac，则bc解析A中，若ab0，则a0或b0或ab，故A错；C中，若a2b2，则|a|b|，C错；D中，若abac，则可能有ab，ac，但bc，故只有选项B正确，故选B3若向量a与b的夹角为60，|b|4，(a2b)(a3b)72，则|a|(C)A2B4C6D12解析(a2b)(a3b)72，a2ab6b27
2、2.|a|2|a|b|cos 606|b|272.|a|22|a|240.又|a|0，|a|6.4已知非零向量a，b满足|b|4|a|，且a(2ab)，则a与b的夹角为(C)ABCD解析由题意，得a(2ab)2a2ab0，即ab2a2，所以cos a，b，所以a，b，故选C5(多选)下列命题中正确的是(ACD)A对于任意向量a、b，有|ab|a|b|B(ab)2a2b2C对于任意向量ab，有|ab|a|b|D若a、b共线，则ab|a|b|解析(ab)2(|a|b|cosa，b)2a2b2cos2a，ba2b2，故B错误，A，C，D均正确6P是ABC所在平面上一点，若，则P是ABC的(D)A外心
3、B内心C重心D垂心解析由得()0，即0，PBCA同理PABC，PCAB，P为ABC的垂心二、填空题7已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2，若ab0，则实数k的值为 .解析由ab0得(e12e2)(ke1e2)0.整理，得k2(12k)cos0，解得k.8(2020全国卷理)设a，b为单位向量，且|ab|1，则|ab| .解析因为a，b为单位向量，所以|a|b|1，所以|ab|1，解得2ab1，所以|ab|.9已知向量a，b，其中|a|，|b|2，且(ab)a，则|2ab| 2 .解析设向量b和a的夹角是，因为|a|，|b|2，且(ab)a，所以(ab)aa2ab2a
4、b22cos 0，所以cos ，所以|2ab|24a2b24ab84424，故|2ab|2.三、解答题10已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|.解析(1)由(2a3b)(2ab)61，得4|a|24ab3|b|261将|a|4，|b|3代入上式求得ab6，所以cos .又0，所以.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，所以|ab|.B组素养提升一、选择题1定义：|ab|a|b|sin ，其中为向量a与b的夹角，若|a|2，|b|5，ab6，则|ab|等于(B)A8B8C8或8D6解析由|a|2，|b|5，ab6
5、，得cos ，sin ，|ab|a|b|sin 258.2(2020全国卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是(A)A(2,6)B(6,2)C(2,4)D(4,6)解析如图，的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是(1,3)，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是(2,6)，故选A3已知ABC中，若 2，则ABC是(C)A等边三角形B锐角三角形C直角三角形D钝角三角形解析解法1：由 2，得()()，即，0，()0，则0，即，所以ABC是直角三角形，故选C解法2：由条件得2()2，0，.4(多选)设a，b，
6、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则有(BD)A(ab)c(ca)b0B|a|b|ab|C(bc)a(ca)b不与c垂直D(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2解析由于b，c不共线，因此(ab)c不一定等于(ca)b，只有在ab且ac时，等式才成立，故A错误；由三角形的三边关系知B正确；由于(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0，即(bc)a(ca)b与c垂直，故C错；根据向量数量积的运算可知D正确二、填空题5若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为 .解析|a|3|b|a2b|，|a|29|b|2(a2b)2|a|24|b|24ab，ab
7、|b|2，cos a，b.6如图所示，已知圆O为ABC的外接圆，AB6，BC7，CA8，则 .解析|cos(180BAO)，|cos(180BAO)|cos BAO|，|2，同理，|2，|2，(627282).三、解答题7已知|m|3，|n|5，(3m2n)(2mn)2.(1)求|mn|；(2)求向量m在向量mn方向上的投影向量的长度解析(1)(3m2n)(2mn)2，6m2mn2n22，|m|3，|n|5，mn6.|mn|.(2)m(mn)m2mn963，向量m在向量mn上的投影向量的长度为.8在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，以点A为圆心，r为半径作圆，如图所示，其中PQ为圆A的直径，试判断P，Q在什么位置时，有最大值解析，()()()2r2()r2|cos BACr2bccos BACr2.当与同向时，的最大值为|ra，即当与共线且同向时，有最大值bccos BACarr2.
