1、专项五 解析几何考点1 解析几何中的轨迹方程的求法大题 拆解技巧【母题】(2021年新高考全国卷)在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-17,0),F2(17,0),点M满足|MF1|-|MF2|=2,记M的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)设点T在直线x=12上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|TB|=|TP|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.【拆解1】在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-17,0),F2(17,0),|MF1|-|MF2|=2,点M的轨迹为C,求C的方程.【拆解2】已知双曲线的轨迹方程为x2-y216=1(x1).设点T在直线x=
2、12上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,设直线AB的斜率为k1,设直线PQ的斜率为k2,分别求|TA|TB|,|TP|TQ|的值.【拆解3】已知|TA|TB|=(t2+12)(1+k12)k12-16,|TP|TQ|=(t2+12)(1+k22)k22-16,且|TA|TB|=|TP|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.小做 变式训练已知线段QR的长等于3,两端点Q和R分别在x轴和y轴上滑动,点S在线段QR上,且RS=2SQ,点S的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)曲线C与x轴相交于A,B两点,P为曲线C上一动点,PA,PB与直线x=3交于M,N两点,PMN与
3、PAB的外接圆的周长分别为L1,L2,求L1L2的最小值.【拆解1】已知线段QR的长等于3,两端点Q和R分别在x轴和y轴上滑动,点S在线段QR上,且RS=2SQ,点S的轨迹为曲线C.求曲线C的方程.【拆解2】已知曲线C的方程为x24+y2=1,曲线C与x轴相交于A,B两点,P为曲线C上一动点,PA,PB与直线x=3交于M,N两点,设直线PA的斜率为k,求|MN|的长度.【拆解3】已知条件不变,且|MN|=5k+14k,设PMN与PAB的外接圆的周长分别为L1,L2,求L1L2的最小值.通法 技巧归纳求轨迹方程的常用方法1.直接法:根据题目条件,直译为关于动点的几何关系,再利用解析几何的有关公式
4、(两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等)进行整理、化简,即把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法:若动点轨迹满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量,求出动点的轨迹方程.3.相关点法:有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的,如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程.突破 实战训练1.已知点C是平面直角坐标系中异于原点O的一个动点,过点C且与y轴垂直的直线与直线x=-4交于点M,且向量OC与向量OM垂直.(1
5、)求点C的轨迹方程E;(2)已知点P(1,2),F(1,0),过点F的直线l交轨迹E于A,B(点A位于第一象限)两点,若SPBF=4SPAF,求直线l的方程.2.已知点M是圆C:(x-2)2+y2=r2(r2)与x轴负半轴的交点,过点M作圆C的弦MN,并使弦MN的中点恰好落在y轴上.(1)求点N的轨迹E的方程;(2)过点P(0,4)的动直线l与轨迹E交于A,B两点,在线段AB上取点D,满足PA=PB,AD=DB,证明:点D总在定直线上.3.已知三点O(0,0),A(1,-2),B(1,2),M(x,y)为曲线C上任意一点,满足|MA+MB|=OM(OA+OB)+2.(1)求曲线C的方程;(2)
6、已知点P(1,2),R,S为曲线C上的不同两点,且PRPS,PDRS,D为垂足,证明:存在定点Q,使|DQ|为定值.4.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),且点(2,1)在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于两个不同的点A,B,点O为坐标原点,则当AOB的面积S最大时,求线段AB的中点M的轨迹方程.5.设圆x2+y2-4x-60=0的圆心为F2,直线l过点F1(-2,0)且与x轴不重合,交圆F2于C,D两点,过点F1作CF2的平行线交DF2于点E.(1)求|EF1|+|EF2|的值;(2)设点E
7、的轨迹为曲线E1,直线l与曲线E1相交于A,B两点,与直线x=-8相交于点M, N(-2,y0)是曲线E1上一点,证明:k1,k3,k2成等差数列.(其中k1,k2,k3分别指直线AN,BN,MN的斜率)6.双曲线C:x24-y23=1的左,右顶点分别为A1,A2,直线l垂直双曲线C的实轴所在的直线,且交双曲线C于不同的两点M,N,直线A1N与直线A2M的交点为P,当直线l移动时,点P的轨迹记为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)过点H(1,0)作曲线E的两条互相垂直的弦BD,FG,证明:过两弦BD,FG中点的直线恒过定点.7.在直角坐标系xOy中,动圆P与圆Q:(x-2)2+y2=1外切,且
8、圆P与直线x=-1相切,记动圆圆心P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的轨迹方程;(2)设过定点S(-2,0)的动直线l与曲线C交于A,B两点,试问:在曲线C上是否存在点M(与A,B两点相异),当直线MA,MB的斜率存在时,直线MA,MB的斜率之和为定值?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.8.已知直线l:y=x+m交抛物线C:y2=4x于A,B两点.(1)设直线l与x轴的交点为T,若AT=2TB,求实数m的值;(2)若点M,N在抛物线C上,且关于直线l对称,求证:A,B,M,N四点共圆;(3)记F为抛物线C的焦点,过抛物线C上的点P,Q作准线的垂线,垂足分别为点U,V,若UVF的面积是PQF的面积的两倍,求线段PQ中点的轨迹方程.
