1、第8讲曲线与方程,学生用书P187)1曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线2曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)0，曲线C2的方程为F2(x，y)0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点1辨明两个易误点(1)轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)(2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹
2、的“完备性与纯粹性”的影响2求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系建立适当的坐标系；(2)设点设轨迹上的任一点P(x，y)；(3)列式列出动点P所满足的关系式；(4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简；(5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程1已知曲线C的方程为x2xyy50，则下列各点中，在曲线C上的点是()A(1，2)B(1，2)C(2，3) D(3，6)答案：A2已知M(2，0)，N(2，0)，|PM|PN|4，则动点P的轨迹是()A双曲线 B双曲线左支C一条射线 D双曲线右支答案：C3已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M(1，
3、2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A2xy10 B2xy50C2xy10 D2xy50解析：选D.由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(2x，4y)，代入2xy30得2xy50.4(选修21 P37练习T2改编)已知方程ax2by22的曲线经过点A和B(1，1)，则曲线方程为_答案：x2y215平面上有三个不同点A(2，y)，B，C(x，y)，若，则动点C的轨迹方程为_解析：，由，得0，即2x0，所以动点C的轨迹方程为y28x(x0)答案：y28x(x0)考点一直接法求轨迹方程(高频考点)学生用书P187直接法求点的轨迹方程是求轨迹方程的一种重
4、要方法，也是高考考查的重要内容直接法求点的轨迹方程，在高考中有以下两个命题角度：(1)明确给出等式，求轨迹方程；(2)给出已知条件，寻找题设中的等量关系，求轨迹方程(2014高考课标全国卷)已知点P(2，2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积扫一扫进入91导学网()曲线与方程解(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x，2y)由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22
5、.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为，故l的方程为yx.又|OM|OP|2，O到l的距离为，|PM|，所以POM的面积为.直接法求曲线方程的一般步骤(1)建立合理的直角坐标系；(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程；(3)化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方程直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性
6、1.(1)(2016绍兴调研)已知M，N(2，0)，曲线C上的任意一点P满足|，则曲线C的方程为_(2)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.求动点P的轨迹方程解：(1)，设点P(x，y)，则，(2x，y)代入|，化简得1.所以曲线C的方程为1.故填1.(2)因为点B与点A(1，1)关于原点O对称所以点B的坐标为(1，1)设点P的坐标为(x，y)，由题设知直线AP与BP的斜率存在且均不为零，则，化简得x23y24(x1)故动点P的轨迹方程为x23y24(x1)考点二定义法求轨迹方程学生用书P188已知A(5，0)，B(5，0)，
7、动点P满足|，|，8成等差数列，则点P的轨迹方程为_解析由已知得|8，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a4，b3，c5，所以点P的轨迹方程为1(x4)答案1(x4)若将本例中的条件“|，|，8”改为“|，|，8”，求点P的轨迹方程解：由已知得|8，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，且a4，b3，c5，所以点P的轨迹方程为1(x4)定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程；(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的
8、变量x或y进行限制 2.已知圆M： (x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程解：由已知得圆M的圆心为M(1，0)，半径r11；圆N的圆心为N(1，0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)考点三利用相关点法(代入法)求轨迹方程学生用书P189(2016杭州一模)已知点Q在椭圆C：1上，点P满足()(其中O为坐标原点，F1为
9、椭圆C的左焦点)，则点P的轨迹为()A圆B抛物线C双曲线 D椭圆解析因为点P满足()，所以Q是线段PF1的中点设P(x1，y1)，由于F1为椭圆C：1的左焦点，则F1(，0)，故Q，由点Q在椭圆C：1上，则点P的轨迹方程为1，故点P的轨迹为椭圆答案D.相关点法求轨迹方程的一般步骤(1)设点：设动点坐标为(x，y)，已知轨迹的点的坐标为(x1，y1)(2)求关系式：求出两点坐标之间的关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程3.设F(1，0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且2，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程解：设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)
10、，因为，(x0，y0)，(1，y0)，所以(x0，y0)(1，y0)0，所以x0y0.由2得(xx0，y)2(x0，y0)，所以即所以x0，即y24x.故所求的点N的轨迹方程是y24x.1方程(xy)2(xy1)20表示的曲线是()A一条直线和一条双曲线B两条双曲线C两个点D以上答案都不对解析：选C.(xy)2(xy1)20故或2设圆C与圆x2(y3)21外切，与直线y0相切，则C的圆心轨迹为()A抛物线B双曲线C椭圆 D圆解析：选A.设圆C的半径为r，则圆心C到直线y0的距离为r.由两圆外切可得，圆心C到点(0，3)的距离为r1，也就是说，圆心C到点(0，3)的距离比到直线y0的距离大1，故
11、点C到点(0，3)的距离和它到直线y1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线3设点A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则P点的轨迹方程为()Ay22x B(x1)2y24Cy22x D(x1)2y22解析：选D.如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0)连接MA，则MAPA，且|MA|1，又因为|PA|1，所以|PM|，即|PM|22，所以(x1)2y22.4(2016金华十校联考)已知点A(1，0)，直线l：y2x4，点R是直线l上的一点，若，则点P的轨迹方程为()Ay2x By2xCy2x8 Dy2x4解析：选B.设P(x，y)，R(x1，y1)，由知，
12、点A是线段RP的中点，所以即因为点R(x1，y1)在直线y2x4上，所以y12x14，所以y2(2x)4，即y2x.5设mR，在平面直角坐标系中，已知向量a(mx，y1)，向量b(x，y1)，ab，则动点M(x，y)的轨迹为()A两条直线B圆或椭圆C双曲线D两条直线或圆或椭圆或双曲线解析：选D.因为ab，a(mx，y1)，b(x，y1)，所以abmx2y210即mx2y21.当m0时，动点M的轨迹为两条直线，y1，当m1时，动点M的轨迹为圆x2y21，当m0且m1时，动点M的轨迹为椭圆y21，当m2，故点Q的轨迹是以C、F为焦点的双曲线，a1，c2，得b23，所求轨迹方程为x21.答案：x21
13、9(2016杭州高级中学模拟)已知P是椭圆1(ab0)上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，则动点Q的轨迹方程是_解析：，如图，22，设Q(x，y)，则(x，y)，即P点坐标为，又P在椭圆上，则有1，即1.答案：110曲线C是平面内与两个定点F1(1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹给出下列三个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是_解析：设曲线C上任一点P(x，y)，由|PF1|PF2|a2，可得 a2(a1)，将原点(0，0)代入等式不成立，故不正确因为点P(x，
14、y)在曲线C上，则点P关于原点的对称点为P(x，y)，将P代入曲线C的方程等式成立，故正确设F1PF2，则SF1PF2|PF1|PF2|sin a2sin a2，故正确答案：11已知点A(1，0)，B(2，4)，ABC的面积为10，求动点C的轨迹方程解：因为|AB|5，所以AB边上高h4.故C的轨迹是与直线AB距离等于4的两条平行线因为kAB，AB的方程为4x3y40，可设轨迹方程为4x3yc0.由4，得c24或c16，故动点C的轨迹方程为4x3y160或4x3y240.12(2015高考广东卷节选)已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标
15、；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程解：(1)把圆C1的方程化为标准方程得(x3)2y24，所以圆C1的圆心坐标为C1(3，0)(2)设M(x，y)，因为 A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，所以由圆的性质知：MC1MO，所以0.又因为(3x，y)，(x，y)，所以由向量的数量积公式得x23xy20.易知直线l的斜率存在，所以设直线l的方程为ymx，当直线l与圆C1相切时，d2，解得m.把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x230x250，解得x.当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3，0)又因为直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，所以x3.所以点
16、M的轨迹C的方程为x23xy20，其中0，x20，则因为OAB的面积为定值2，所以SOABOAOB(x1)(x2)x1x22.22得x2y2x1x2，而x1x22，所以x2y22.由于x10，x20，所以x0，即所求点M的轨迹方程为x2y22(x0)答案：x2y22(x0)3(2016唐山模拟)已知P为圆A：(x1)2y28上的动点，点B(1，0)线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为.(1)求曲线的方程；(2)当点P在第一象限，且cosBAP时，求点M的坐标解：(1)圆A的圆心为A(1，0)，半径等于2.由已知|MB|MP|，于是|MA|MB|MA|MP|22|AB|，故曲
17、线是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，即a，c1，b1，所以曲线的方程为y21.(2)由cosBAP，|AP|2，得P.于是直线AP的方程为y(x1)由整理得5x22x70，解得x11，x2.由于点M在线段AP上，所以点M坐标为.4(2016郑州质检)已知动点P到定点F(1，0)和到直线x2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A、B两点，直线l：ymxn与曲线E交于C、D两点，与线段AB相交于一点(与A、B不重合)(1)求曲线E的方程；(2)当直线l与圆x2y21相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由解：(1)设点P(x，y)，由题意可得，整理可得y21.所以曲线E的方程是y21.(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由已知可得|AB|.当m0时，不合题意当m0时，由直线l与圆x2y21相切，可得1，即m21n2.联立消去y得x22mnxn210，4m2n24(n21)2m20，x1，x2，S四边形ACBD|AB|x2x1|，当且仅当2|m|，即m时等号成立，此时n，经检验可知，直线yx和直线yx符合题意
