1、第 1 页，共 4 页学科网（北京）股份有限公司2023 年普通高等学校招生全国统一考试预测试题数学试卷本试卷共 8 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。一、选择题本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。1已知集合43,1MxxNx x，则MNR（）A3xx B4x x C13xx D R2在复平面内，复数1 i1 i 对应的点与复数 i 对应的点的距离是（）A1B2C2D2 23高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用 x 表示不超过 x 的最大整数，则 yx称为“高斯函数”，例如：2.53
2、 ，2.72已知数列 na满足11a ，23a，2123nnnaaa，若21lognnba，nS 为数列11nnb b 的前 n 项和，则2023S（）A 20222023B 20242023C 20232024D 202520244如图 1 所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点图 2 是图 1 的轴截面，A，B 两点关于抛物线的对称轴对称，F 是抛物线的焦点，AFB 是馈源的方向角，记为，焦点 F 到顶点的距离 f 与口径
3、 d 的比值 fd 称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等如果某抛物面天线馈源的方向角 满足，tan4 5 ，则其焦径比为（）A 104B108C54D585在计算机的算法语言中有一种函数 x 叫做取整函数(也称高斯函 数)，x 表示不超过 x 的最大整数.例如:1.51,22,3.54.取整函数在科学和工程上有广泛应用.下面的程序框图是与取整函数有关的求和问题，若输入的 k 的值为 64，则输出S的值是（）A21B76C264D6426如图，在正方体1111ABCDA B C D中，M，N 分别为 AC，1A B 的中点，则下列说法中不正确的是（）A/MN平面11ADD AB
4、 MNABC直线 MN 与平面 ABCD 所成的角为 60D异面直线 MN 与1DD 所成的角为 457将数列 na中的所有项排成如下数阵：1a234aaa56789aaaaa已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数125,a a a，成等差数列，且2104,10aa从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以12 为公比的等比数列，则下列结论错误的为（）A11a B22 1nnaaC2022a位于第 85 列D2023861332a8某中学为庆祝建校 80 周年，学校将举办校庆文艺演出，文艺演出含有节目 A，B 等 15 个节目，甲、乙两位同学都将第 2 页，共 4 页参演节目 A
5、，B 中的一个，假设甲参加节目 A，B 的概率分别为 1 2,3 3，乙参加节目 A，B 的概率分别为 3 1,4 4，且甲乙两人参加节目相互独立，若事件 M 表示甲乙两人参加同一个节目，事件 N 表示两人都参加节目 A，则 P N M（）A 23B 35C 56D 579已知椭圆22122:10 xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为1e，椭圆1C 的上顶点为 M，且120MF MF，曲线2C 和椭圆1C 有相同焦点，且双曲线2C 的离心率为2e，P 为曲线1C 与2C 的一个公共点，若123F PF，则（）A212ee B1232e eC221252eeD22211ee 10
6、高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R，用 x 表示不超过 x 的最大整数，则 yx称为“高斯函数”，例如：2.53,2.72.已知函数 e1e1xxf x，则函数 f x 的值域是（）A1,1B1,0C1,1D1,011已知函数()f x 的定域为 R，图象恒过点(0,2)，对任意12,x x R，当12xx时，都有 12121f xf xxx，则不等式ln e22ln e2xxf 的解集为（）A(,ln 2)B(ln 2,ln3)C(ln3,2ln 2)D(2ln 2,)12已知正三棱锥OABC的底面边长为 2，表面积为
7、37，A，B，C 三点均在以 O 为球心得球面上，Q 为球面上一点，下列结论正确得是（）A球 O 的半径为 43B三棱锥OABC的内切球半径为2136CQA QB 的取值范围为148 70,9D若QA 平面 ABC，则异面直线 AC 与 QB 所成角的余弦值为 3 1326二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13在区间 2 2，上随机取一个实数 k，则使得直线2yk x与圆221xy 有公共点的概率为_14下列四个命题:直线l 的斜率1,1k ，则直线l 的倾斜角的范围是,4 4a 直线:1l ykx 与过1,5A，4,2B两点的线段相交，则4k 或34k -直线1yk
8、x 与椭圆2215xym 恒有公共点，则m的取值范围是1m ;方程224250 xymxym表示圆的充要条件是14m 或1m;正确的是_.15函数 sin()(0,)2f xAwxw的部分图象如图所示，将函数 f x 的图象向右平移 724 个单位后得到函数 g x的图象，若函数 g x 在区间,()33 上的值域为1,2，则 的最小值是_16已知函数 1eexxf xax有两个极值点1x 与2x，若124f xf x ，则实数 a_.三、解答题(本题共 6 个小题，满分 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，
9、考生根据要求作答)（一）必考题：共 60 分。17在 ABC中，角,A B C 所对的边长分别为,1,2a b c baca(1)若2sin3sinCA，求 ABC的面积；(2)是否存在正整数 a，使得 ABC为钝角三角形？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由第 3 页，共 4 页学科网（北京）股份有限公司18如图，在边长为 4 的正三角形 ABC 中，E 为边 AB 的中点，过 E 作 EDAC于 D.把ADEV沿 DE 翻折至1A DE的位置，连接1AC 1A B.(1)F 为边1AC 的一点，若12CFFA，求证：BF/平面1ADE；(2)当四面体1CEBA的体积取得最大值时，求平
10、面1ADE 与平面1A BC 的夹角的余弦值.19某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山为估计一林区某种树木的材积量，随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m）和材积量（单位：3m），得到如下数据：样本号 i12345678910总和根部横截面积ix0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量iy0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9由散点图知根部横截面积与材积量线性相关，并计算得10102110.038,0.2474iiiiixx y(1)估计该林区这种树木平均
11、一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的回归直线方程；(3)现测量了该林区 2500 棵这种树木的根部横截面积，并得到这些树木的根部横截面积总和为250021153miix利用（2）中所求的回归直线方程，估计这些树木的总材积量附：回归直线方程的斜率1221niiiniix ynxybxnx，截距aybx第 4 页，共 4 页20已知 A，B 是椭圆22:143xyC 上关于坐标原点 O 对称的两点，点4,0D，连结 DA 并延长交 C 于点 M，连结 DB交 C 于点 N(1)若 A 为线段 DM 的中点，求点 A 的坐标；(2)设 DMN，DAB的
12、面积分别为12,S S，若1237SS，求线段 OA 的长21已知函数 1lnf xxa xx，其中Ra.(1)若 f x 的图象在1x 处的切线过点2,1，求 a 的值；(2)证明：1a ，e0af，其中 e 的值约为 2.718，它是自然对数的底数；(3)当2a 时，求证：f x 有 3 个零点，且 3 个零点之积为定值.（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标 xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2 3sin0(1)求曲线C的普通方程；(2)在平面直角坐标 xOy 中，若过点 P(3,0)且倾斜角为 6 的直线l 与曲线C交于,A B 两点，求证：,PAABPB 成等差数列.23选修 45：不等式选讲（1）已知 a，b，c，d 均为正数.求证：ab16bccddaabcd（2）已知0 xy.求证：1x y第 5 页，共 1 页学科网（北京）股份有限公司
