1、第 1页/共 20页学科网（北京）股份有限公司2023 年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟卷数学（二）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1.已知集合2Ax xx，2log1Bx yx，则 AB（）A.1,B.0,C.（0，1）D.0,1【答案】B【解析】【分析】分别化简集合,A B，根据并集的定义求解.【详解】2Ax xx不等式2xx的解集是集合 A又因为21001,01xxx xxAxx 又2log1x yx，所以满足函数2log1yx中 x 的范围就是集合 B所以1011xxBx x 所以 01100,ABx
2、xx xx x故选：B2.已知复数2i 1 iza为纯虚数，则实数a（）A.12B.23C.2D.2【答案】D【解析】【分析】根据复数乘法计算方法化简复数，结合纯虚数的概念求值即可.【详解】2i22i1 ii2i2i2aaaaza，因为复数 z 为纯虚数，所以2020aa，即2a .故选：D3.在正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点若 ACm，AMn，则 BD（）第 2页/共 20页学科网（北京）股份有限公司A.43mnB.43mnC.34mnD.34mn【答案】C【解析】【分 析】作 图，根 据 图 像 和 向 量 的 关 系，得 到2()22BCACAMmn和ABACBC222mmn
3、nm，进而利用 BDBCCDBCAB，可得答案.【详解】如图，ACm，AMn，且在正方形 ABCD 中，ABDC12ACAMMCBC，2()22BCACAMmn，ACABBC，ABACBC222mmnnm，BDBCCDBCAB22234mnnmmn故选：C4.已知40.5a，5log 0.4b，0.5log0.4c，则 a，b，c 的大小关系是（）A.bacB.acbC.cabD.abc【答案】C【解析】【分析】利用指数函数，对数函数单调性，找出中间值0,1，使其和,a b c 比较即可.【详解】根据指数函数单调性和值域，0.5xy 在 R 上递减，结合指数函数的值域可知，400,0.50,1
4、0.5a；根据对数函数的单调性，5logyx在(0,)上递增，则55log 0.4log 10b，0.5logyx在(0,)上递减，故0.50.5log0.4log0.51c，即10cab，C 选项正确.故选：C5.端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗四川流行四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体广东流行粽子里放蛋黄，现需要在四角状粽子内部放入一个蛋黄，蛋黄的形状第 3页/共 20页学科网（北京）股份有限公司近似地看成球，当这个蛋黄的表面积是9 时，则该正四面体的高的最小值为（）A.4B.6C.8D.10【答案】B【解析】【分析】根据题意分析可知，当该正四面体的内切球的半径为 32时，该正四
5、面体的高最小，再根据该正四面体积列式可求出结果.【详解】由球的表面积为9，可知球的半径为 32，依题意可知，当该正四面体的内切球的半径为 32时，该正四面体的高最小，设该正四面体的棱长为 a，则高为22236()323aaa，根据该正四面体积的可得2163334aa21334324 a，解得3 6a.所以该正四面体的高的最小值为663 6633a.故选：B6.现有一组数据 0，l，2，3，4，5，6，7，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数大于 4 的概率为（）A.514B.314C.27D.17【答案】D【解析】【分析】先得到删去的两个数之和为 4 时，此时剩下的数据的平均数为 4
6、，从而得到要想这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于 4，则删去的两个数之和要小于 4，利用列举法得到其情况，结合组合知识求出这组数据随机删去两个数总共的情况，求出概率.【详解】0，l，2，3，4，5，6，7 删去的两个数之和为 4 时，此时剩下的数据的平均数为 284482，所以要想这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于 4，则删去的两个数之和要小于4，有 0,1,0,2,0,3,1,2 四种情况符合要求，将这组数据随机删去两个数，共有28C28种情况第 4页/共 20页学科网（北京）股份有限公司所以将这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于 4 的概率为 41287.故选：
7、D7.在棱长为 3 的正方体1111ABCDABC D中，O 为 AC 与 BD 的交点，P 为11A D 上一点，且112A PPD，则过 A，P，O 三点的平面截正方体所得截面的周长为（）A.4 13B.6 2C.2 132 2D.2 134 2【答案】D【解析】【分析】根据正方体的性质结合条件作出过 A，P，O 三点的平面截正方体所得截面，再求周长即得.【详解】因为112A PPD，即11113D PAD，取11113D HD Cuuuuruuuur，连接11,PH HC AC，则11/HPAC，又11/ACAC，所以/HPAC，所以,A O C H P 共面，即过 A，P，O 三点的正
8、方体的截面为 ACHP，由题可知223213APCH，2PH，113 2AC，所以过 A，P，O 三点的平面截正方体所得截面的周长为 4 22 13.第 5页/共 20页学科网（北京）股份有限公司故选：D.8.不等式15eln1xaxxx对任意(1,)x 恒成立，则实数 a 的取值范围是（）A.(,1 eB.2,2e C.(,4 D.(,3【答案】C【解析】【分析】分离参数，将15eln1xaxxx变为41e,1lnxxxaxx，然后构造函数，即将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用导数判断函数的单调性，求最值即可.【详解】由不等式15eln1xaxxx对任意(1,)x 恒成立，此时l
9、n0 x，可得41e,1lnxxxaxx 恒成立，令41e,1lnxxxyxx，从而问题变为求函数41e,1lnxxxyxx 的最小值或范围问题；令1()exg xx，则1()e1xg x，当1x 时，1()e10 xg x，当1x 时，1()e10 xg x，故1()e(1)0 xg xxg，即1exx，所以4411ln4ln1eeee4lnxxxxxxxx，()，当且仅当4ln1xx时取等号，令()4ln1h xxx，则44()1xh xxx，当4x 时，()0h x，当 4x时，()0h x，故min()(4)34ln 40h xh，且当 x 时，()4ln1h xxx 也会取到正值，即
10、4ln1xx 在1x 时有根，即()等号成立，所以41e4ln4lnxxxxxxx ，则41e4lnxxxx ，故4a ，故选：C【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，解法一般是分离参数，构造函数，将恒成立问题转化为求函数最值或范围问题，解答的关键是在于将不等式或函数式进行合理的变式，这里需要根据式子的具体特点进行有针对性的变形，需要一定的技巧.二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，第 6页/共 20页学科网（北京）股份有限公司有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2分9.在平面直角坐标系中，圆 C 的方程为2221
11、0 xyy，若直线1yx 上存在一点M，使过点 M 所作的圆的两条切线相互垂直，则点 M 的纵坐标为（）A.1B.3C.1D.3【答案】AC【解析】【分析】首先可根据圆的方程得出圆心与半径，然后根据题意得出点 M、圆心以及两个切点构成正方形，最后根据2MC 以及两点间距离公式即可得出结果.【详解】22210 xyy 化为标准方程为：2212xy，圆心0,1C，半径为2，因为过点 M 所作的圆的两条切线相互垂直，所以点 M、圆心以及两个切点构成正方形，2MC，因为 M 在直线1yx 上，所以可设,1M a a，则22224MCaa，解得：2a 或0a，所以2,1M或0,1M，故点 M 的纵坐标为
12、 1 或 1.故选：AC.10.已知函数 sin0,0,2f xAxA的部分图象如图所示，若将 f x 的图象向右平移0m m 个单位长度后得到函数 sin2g xAx的图象，则 m 的值可以是（）A.4B.3C.43D.94【答案】AD【解析】第 7页/共 20页学科网（北京）股份有限公司【分析】根据函数图象可确定 A 和最小正周期T，由此可得，结合26f 可求得，从 而 得 到 ,f xg x的 解 析 式，根 据 f xmg x可 构 造 方 程 求 得4mkkZ，由此可得m 可能的取值.【详解】由图象可知：2A，最小正周期54126T，22T，2sin263f，2 32kk Z，解得：
13、2 6kk Z，又2，6，2sin 26fxx，2sin 23g xx，2sin 226fxmxmg x，22 63mkk Z，解得：4mkkZ，当0k 时，4m；当2k 时，94m.故选：AD.11.大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程已知大衍数列 na满足10a，11,nnnannaan n 为奇数为偶数，则（）A.34a B.221nnaan C.221,2,2nnnann 为奇数为偶数D.数列 1nna的前 2n 项和的最小值为 2【答案】ACD【解析】【分析】当2nk时，2122kkaak,当2
14、1nk时，2212kkaak,联立可得第 8页/共 20页学科网（北京）股份有限公司21214kkaak，利用累加法可得22122kakk，从而可求得221,2,2nnnann 为奇数为偶数，在逐项判断即可.【详解】令 kN 且1k，当2nk时，2122kkaak；当21nk 时，2212121 12kkkaakak ，由联立得21214kkaak.所以315321214,8,4kkaaaaaak，累加可得22112114844222kkk kaaakkk.令 21kn(3n 且为奇数)，得212nna.当1n 时10a 满足上式，所以当 n 为奇数时，212nna.当 n 为奇数时，2111
15、2nnnaan，所以22nna，其中 n 为偶数.所以221,2,2nnnann 为奇数为偶数，故 C 正确.所以233142a，故 A 正确.当 n 为偶数时，22222222nnnnaan，故 B 错误.因为222212211222nnnnaan，所以 1nna的前 2n 项和21234212nnnSaaaaaa 第 9页/共 20页学科网（北京）股份有限公司12 12 22212n nnn n ，令1ncn n，因为数列 nc是递增数列，所以 nc的最小项为11 22c ，故数列 1nna的前 2n 项和的最小值为 2，故 D 正确.故选:ACD.【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加
16、：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和12.已知抛物线220ypx p的准线为:2l x ，焦点为 F，点,PPP xy是抛物线上的动点，直线 1l 的方程为 220 xy，过点 P 分别作 PAl，垂足为 A，1PBl，垂足为 B，则（）A.点 F 到直线 1l 的距离为 6 55B.2222pppxxyC.221ppxy的最小值为 1D.PAPB的最小值为 6 55【答案】ABD【解析】【分析】对于 A，用点到直线的距离公式即可判断；对于 B，利用抛物线的定义即可判
17、断；对 于 C，利 用 基 本 不 等 式 即 可 判 断；对 于 D，利 用 抛 物 线 的 定 义 可 得 到PAPBPFPBBF，接着求出 BF 的最小值即可【详解】由抛物线220ypx p的准线为:2l x 可得抛物线方程为28yx，焦点为2,0F，对于 A，点 F 到直线 1l 的距离为222 2026 5521d，故 A 正确；对于 B，因为,PPP xy在抛物线上，所以利用抛物线的定义可得2PPFx，即2222pppxxy，故 B 正确；对于 C，因为,PPP xy在抛物线上，所以28,0pppyxx，所以第 10页/共 20页学科网（北京）股份有限公司2112211441118
18、18888ppppppppxxxxyxxx11174218888ppxx，当且仅当38px 时，取等号，故 C 错误；对于 D，由抛物线的定义可得 PAPF，故 PAPBPFPBBF，当且仅当,P B F 三点共线时，取等号，此时1BFl，由选项 A 可得点 F 到直线 1l 的距离为6 55d，故 PAPB的最小值为 6 55，故 D 正确，故选：ABD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.已知sin3cos0，则 tan2 _【答案】34#0.75【解析】【分析】利用已知等式可求得 tan，由二倍角正切公式可求得结果.【详解】由sin3cos0得：sin3cos，
19、sintan3cos ，22tan63tan 21tan194.故答案为：34.14.函数 ln 211f xxx 的图象在点 0,0f处的切线方程是_【答案】310 xy【解析】【分析】求导函数，可得切线斜率，求出切点坐标，运用点斜式方程，即可求出函数()f x 的图象在点 0,0f处的切线方程.【详解】ln 211f xxx，2()121fxx，则(0)2 13f ，又ln 2 0 1(0)0 11f Q，切点为0,1，第 11页/共 20页学科网（北京）股份有限公司函数 ln 211f xxx 的图象在点0,1处的切线方程是130,yx 即310 xy.故答案为：310 xy.15.2
20、名老师带着8 名学生去参加数学建模比赛，先要选 4 人站成一排拍照，且 2 名老师同时参加拍照时两人不能相邻则 2 名老师至少有1人参加拍照的排列方法有_种（用数字作答）【答案】3024【解析】【分析】分两种情况讨论：若只有1名老师参与拍照；若 2 名老师都拍照.利用计数原理、插空法结合分类加法计数原理可求得结果.【详解】分以下两种情况讨论：若只有1名老师参与拍照，则只选3 名学生拍照，此时共有134284C C A2688种排列方法；若 2 名老师都拍照，则只选2 名学生拍照，先将学生排序，然后将2 名老师插入2 名学生所形成的空位中，此时，共有222823C A A336种排列方法.综上所
21、述，共有 26883363024种排列方法.故答案为：3024.16.已知 A，B 是双曲线22:124xyC 上的两个动点，动点 P 满足0APAB，O 为坐标原点，直线 OA 与直线 OB 斜率之积为 2，若平面内存在两定点1F、2F，使得12PFPF为定值，则该定值为_【答案】2 10【解析】【分析】设1122(,),P x yA x yB xy,根据0APAB得到122xxx，122yyy，根 据 点 A,B 在 双 曲 线22124xy上 则22212212416,248yxyx，代 入 计 算 得22220 xy，根据双曲线定义即可得到12PFPF为定值.【详解】设1122(,),
22、P x yA x yB xy,则由0APAB,得 112121,0,0 xx yyxx yy，则122xxx，122yyy，第 12页/共 20页学科网（北京）股份有限公司点 A,B 在双曲线22124xy上,222211221,12424xyxy，则22212212416,248yxyx 2222121222 22xyxxyy 222212121212121282844204 2xxx xyyy yx xy y，设,OAOBkk分别为直线OA,OB 的斜率,根据题意,可知2OAOBkk,即12122yyxx，121220y yx x22220 xy，即2211020 xyP在双曲线22110
23、20 xy 上,设该双曲线的左、右焦点分别为12,F F，由双曲线定义可知|12|PFPF为定值，该定值为 2 10.故答案为：2 10.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在 ABC中，角,A B C 的对边分别是,a b c，0acacb ba（1）求 C；（2）若3c，ABC的面积是32，求 ABC的周长【答案】（1）3.（2）3+3.【解析】【分析】（1）将0acacb ba化为222abcab，由余弦定理即可求得角 C.（2）根据三角形面积求得2ab，再利用余弦定理求得3ab，即可求得答案.【小问 1 详解】由题意在 ABC中，0ac
24、acb ba，第 13页/共 20页学科网（北京）股份有限公司即222abcab，故2221cos22abcCab，由于(0,)C，所以3C.【小问 2 详解】由题意 ABC的面积是32，3C，即133sin,2242ABCSabCabab，由3c，2222coscababC得2223()6,3abababab，故 ABC的周长为3+3abc.18.已知数列 na满足，*1232311112222nnaaaan nN（1）求数列 na的通项公式；（2）若21nnbna，记nS 为数列 nb的前 n 项和，求nS，并证明：当2n 时，6nS【答案】（1）2nna（2）123 26nnSn【解析】
25、【分析】(1)利用递推式相减得出2nna，并验证首项符合通项，最后得出答案；(2)错位相减法求前 n 项和【小问 1 详解】1232311112222nnaaaan，则12312311111122222nnaaaann，-得11(2)2nn an，则2(2)nnan，当 n=1 时，由得1112 a，1122a，2nna.【小问 2 详解】易得21 2nnbn，1231 23512222nnSn ，第 14页/共 20页学科网（北京）股份有限公司21341 23 25 2221 2nnSn ，-得 341121 22222nnnSn 2122821 2nnn 123 26nn，故123 26n
26、nSn，当2n 时，123 20nn6nS19.如图，四棱锥 PABCD中，平面 APD 平面 ABCD，APD为正三角形，底面ABCD 为等腰梯形，AB/CD，224ABCDBC（1）求证：BD 平面 APD；（2）若点 F 为线段 PB 上靠近点 P 的三等分点，求二面角 FADP的大小【答案】（1）证明见解析；（2）4【解析】【分析】（1）先用几何关系证明3A，然后根据余弦定理求出 BD，结合勾股定理可得BDAD，最后利用面面垂直的性质定理证明；（2）过 P 作 PGAD，垂足为G，结合面面垂直的性质先说明可以在G 处为原点建系，然后利用空间向量求二面角的大小.【小问 1 详解】第 15
27、页/共 20页学科网（北京）股份有限公司取 AB 中点 E，连接CE，根据梯形性质和2ABCD可知，CD/AE，且CDAE，于是四边形 ADCE 为平行四边形，故2CEADBECB，则 CEB为等边三角形，故3ACEB，在ABD中，由余弦定理，2222cos1648123BDABADABAD，故2 3BD，注意到22212416BDADAB，由勾股定理，2ADB，即 BDAD，由平面 APD 平面 ABCD，平面 APD 平面 ABCDAD，BD 平面 ABCD，根据面面垂直的性质定理可得，BD 平面 APD.【小问 2 详解】过 P 作 PGAD，垂足为G，连接 EG，由平面 APD 平面
28、ABCD，平面 APD 平面ABCDAD，PG 平面 PAD，根据面面垂直的性质定理，PG 平面 ABCD，APD为正三角形，PGAD，故 AGGD（三线合一），由 AEEB和中位线性质，GE/BD，由（1）知，BD 平面 APD，故GE 平面 APD，于是,GA GE GP 两两垂直，故以G为原点，,GA GE GP 所在直线分别为,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）知，BD 平面 APD，又 BD/y 轴，故可取(0,1,0)m 为平面 APD 的法向量，又(0,0,3)P，(1,2 3,0)B，根据题意，2BFFP，设(,)F x y z，则1,2 3,2,3xyzx
29、yz，解得1 2 3 2 3,333F，又(1,0,0)A，(1,0,0)D，(2,0,0)DA，42 32 3,333FA，设平面 FAD 的法向量(,)na b c，由00n DAn FA，即042 32 30333aabc，于是(0,1,1)n 为平面 FAD 的法向量，故第 16页/共 20页学科网（北京）股份有限公司12cos,22m nm nm n ，二面角大小的范围是0,，结合图形可知是锐二面角，故二面角 FADP的大小为 420.为落实体育总局和教育部发布的关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见，某校组织学生参加 100 米短跑训练在某次短跑测试中，抽取 100 名女生作为
30、样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）（2）由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩 X 服从正态分布2,N ，其中 近似为女生短跑平均成绩 x，2 近似为样本方差2s，经计算得，26.92s，若从该校女生中随机抽取 10 人，记其中短跑成绩在12.14,22.66 以外的人数为 Y，求 1P Y 附参考数据：6.922.63，随机变量 X 服从正态分布2,N ，则0.6827PX，220.9545PX，330.9974PX，100.68270.02
31、20，100.95450.6277，100.99740.9743【答案】（1）17.4（2）0.3723【解析】【分析】(1)结合频率分布直方图中求平均数公式,即可求解.(2)根据已知条件,可知，217.4,6.92，即可求出212.14,222.66，结合正态分布的对称性以及二项分布的概率公式,即可求解.【小问 1 详解】第 17页/共 20页学科网（北京）股份有限公司估计样本中女生短跑成绩的平均数为:12 0.02 14 0.06 16 0.14 18 0.1820 0.0522 0.0324 0.02217.4；【小问 2 详解】该校女生短跑成绩 X服从正态分布17.4,6.92N,由题
32、可知217.4,6.92，6.922.63，则212.14,222.66，故该校女生短跑成绩在12.14,22.66 以外的概率为：1(12.1422.66)1 0.95450.0455PX，由题意可得,(10,0.0455)YB,10(1)1(0)1 0.95451 0.62770.3723P YP Y .21.已知椭圆2222:10 xyCabab的左焦点为 F，右顶点为 A，离心率为22，B 为椭圆 C 上一动点，FAB面积的最大值为212（1）求椭圆 C 的方程；（2）经过 F 且不垂直于坐标轴的直线 l 与 C 交于 M，N 两点，x 轴上点 P 满足 PMPN，若 MNFP，求 的
33、值【答案】（1）2212xy；（2）2 2.【解析】【分析】（1）由题意可得22cea，121()22ac b，再结合222abc可求出,a b，从而可求出椭圆的方程；（2）由题意设直线 MN 为1xty（0t），1122(,),(,)M x yN xy，设0(,0)P x，将直线方程代入椭圆方程中化简利用根与系数的关系，然后由 PMPN可得0212xt，再根据 MNFP可求得结果.【小问 1 详解】因为椭圆的离心率为22，第 18页/共 20页学科网（北京）股份有限公司所以22cea，因为 FAB面积的最大值为212，所以 121()22ac b，因为222abc，所以解得2,1abc，所以
34、椭圆 C 的方程为2212xy；【小问 2 详解】(1,0)F，设直线 MN 为1xty（0t），1122(,),(,)M x yN xy，不妨设12yy，设0(,0)P x，由22112xtyxy，得22(2)210tyty，则12122221,22tyyy ytt，所以2212121222()4222yyyyy ytt，因为 PMPN，所以2222101202()()xxyxxy，所以222212102012220 xxx xx xyy，所以12120121212()()2()()()0 xxxxx xxyyyy，所以12120121212(11)()2()()()0tytytytyx t
35、ytyyyyy，因为120yy，所以12012(2)2()0t tytyx tyy，所以20222222022tttx ttt，所以20222222022txtt，解得0212xt，因为 MNFP，第 19页/共 20页学科网（北京）股份有限公司所以222MNFP，0，所以222212120()()(1)xxyyx，222212120()()(1)tytyyyx2222120(1)()(1)tyyx，所以22222222288(1)(1)(2)(2)ttttt，化简得28，解得2 2 ，因为0，所以2 2.22.已知函数 1lnR1xfxxmmx（1）当1m 时，判断函数 f x 的单调性；（
36、2）当1x 时，0f x 恒成立，求实数 m 的取值范围【答案】（1）f x 在0,上是单调递增的（2）2m【解析】【分析】（1）对()f x 求导，从而确实()fx为正及()f x 的单调性；（2）令 1(m)ln1Rxxxm xg，然后分2m 和 m2 两种情况讨论()g x 的单调性及最值，即可得答案.【小问 1 详解】当1m 时，1ln1xfxxx，定义域为0,2222212111121xxxfxxxx xx x，所以()0fx，所以 f x 在0,上是单调递增的.【小问 2 详解】当1x 时，1lnR1xfxxmmx，0f x 等价于()1 ln1gmxxxm xR，则 0g x，1
37、g()ln1xxmx，令 1ln1mhxxx，则22111()xh xxxx，第 20页/共 20页学科网（北京）股份有限公司当1x 时，()0h x，则()g x在1,上是单调递增的，则()(1)2g xgm当2m 时，()0g x，()g x 在1,上是单调递增的，所以()(1)0g xg，满足题意当 m2 时，(1)20gm，(e)e1e10mmmgmm ，所以0(1,e)mx，使00()g x，因为()g x在1,上是单调递增的所以当0(1,)xx时，()0g x，所以()g x 在0(1,)x上是单调递减的，又(1)0g，即得当0(1,)xx时，()(1)0g xg，不满足题意综上可知：实数 m 的取值范围2m.
