1、第2讲平抛运动一、平抛运动基本规律1.性质平抛运动是加速度为重力加速度的匀变速曲线运动,轨迹是抛物线。2.基本规律(1)速度关系 (2)位移关系二、两个重要推论推论:做平抛(或类平抛)运动的物体在任一位置处,设其速度方向与水平方向的夹角为,位移与水平方向的夹角为,则tan =2 tan 。推论:做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。1.(多选)对平抛运动,下列说法正确的是() A.平抛运动是加速度变化的曲线运动B.做平抛运动的物体,在任何相等的时间内位移的增量都是相等的C.平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动D.落地时
2、间和落地时的速度只与抛出点的高度有关答案BC平抛运动的物体只受重力作用,其加速度为重力加速度,故A项错误;做平抛运动的物体,在任何相等的时间内,水平方向位移不变,其竖直方向位移增量y=gt2,故B正确。平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,且落地时间t=2hg,落地速度为v=vx2+vy2=v02+2gh,所以C项对、D项错。2.质点从同一高度水平抛出,不计空气阻力,下列说法正确的是()A.质量越大,水平位移越大B.初速度越大,落地时竖直方向速度越大C.初速度越大,空中运动时间越长D.初速度越大,落地速度越大答案D质点做平抛运动时,h=12gt2,x=v0t,则t=2
3、hg,x=v02hg,故A、C错误。由vy=gt=2gh,故B错误。由v=v02+vy2,则v0越大,落地速度越大,故D正确。3.一物体以初速度v0水平抛出,不计空气阻力,经过时间t其竖直方向速度大小与v0大小相等,重力加速度为g,那么t为()A.v0g B.2v0gC.v02gD.2v0g答案A根据平抛运动的特点,得v0=vy=gt,t=v0g。4.初速度为v0的平抛物体,某时刻物体的水平分位移与竖直分位移大小相等,重力加速度为g,下列说法错误的是()A.该时刻物体的水平分速度与竖直分速度相等B.该时刻物体的速度等于5v0C.物体运动的时间为 2v0gD.该时刻物体位移大小等于 22v02g
4、答案Ax=v0t,y=12gt2,由x=y得t=2v0g,vy=gt=2v0,v=v02+vy2=5v0,s=x2+y2=2x=22v02g。考点一平抛运动的基本规律1.飞行时间和水平射程(1)飞行时间:t=2hg,取决于物体下落的高度h,与初速度v0无关。(2)水平射程:x=v0t=v02hg,由平抛初速度v0和下落高度h共同决定。(3)落地速度:v=vx2+vy2=v02+2gh,以表示落地速度与x轴正方向间的夹角,有tan =vyvx=2ghv0,即落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关。2.速度的变化规律(1)任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0。(2)任意相等时间间隔t内的速度变
5、化量方向竖直向下,大小v=vy=gt。3.位移变化规律(1)任意相等时间间隔内,水平位移相同,即x=v0t。(2)连续相等的时间间隔t内,竖直方向上的位移差不变,即y=g(t)2。1-1(多选)如图所示,高为h=1.25 m的平台上,覆盖一层薄冰,现有一质量为60 kg的滑冰爱好者,以一定的初速度v向平台边缘滑去,着地时的速度方向与水平地面间的夹角为45(重力加速度取g=10 m/s2)。由此可知正确的是()A.滑冰者离开平台边缘时的速度大小是6.0 m/sB.滑冰者着地点到平台边缘的水平距离是2.5 mC.滑冰者在空中运动的时间为1.0 sD.滑冰者着地时的速度大小为52 m/s答案BD由h
6、=12gt2得滑冰者做平抛运动的时间t=2hg=0.5 s,落地时的竖直方向分速度vy=gt=5.0 m/s,因着地速度与水平方向的夹角为45,由v cos 45=v0,v sin 45=vy,可得滑冰者离开平台边缘的水平速度大小v0=5.0 m/s,着地时的速度大小为v=52 m/s,平抛过程的水平距离为x=v0t=2.5 m,故B、D正确。1-2(2019东城期末)飞镖比赛是一项极具观赏性的体育比赛项目。IDF(国际飞镖联合会)飞镖世界杯赛上,某一选手在距地面高h、离靶面的水平距离L处,将质量为m的飞镖以速度v0水平投出,结果飞镖落在靶心正上方。从理论分析,只改变h、L、m、v0四个量中的
7、一个,可使飞镖投中靶心的是(不计空气阻力)()A.适当减小飞镖投出时的水平速度v0B.适当提高飞镖投出时的离地高度hC.适当减小飞镖的质量mD.适当减小飞镖离靶面的水平距离L答案A竖直方向y=12gt2、水平方向L=v0t,得y=gL22v02,欲击中靶心,可以减小h,也可以使竖直位移增大,故使L增大或v0减小,选项A正确。1-3(2018西城二模节选)合成与分解是物理学中常用的一种研究问题的方法,如研究复杂的运动就可以将其分解成两个简单的运动来研究。请应用所学物理知识与方法,思考并解决以下问题。如图所示,将一小球(可视为质点)以v0=20 m/s的初速度从坐标轴原点O水平抛出,两束平行光分别
8、沿着与坐标轴平行的方向照射小球,在两个坐标轴上留下了小球的两个“影子”,影子的位移和速度描述了小球在x、y两个方向的运动。不计空气阻力的影响,重力加速度取g=10 m/s2。a.分析说明两个“影子”分别做什么运动;b.经过时间t=2 s小球到达如图所示的位置,求此时小球的速度v。答案见解析解析a.在x方向,因为小球不受力的作用,所以影子做匀速直线运动;在y方向,因为小球仅受重力的作用,且初速度为0,所以影子做初速度为零的匀加速直线运动。b.此时x方向影子的速度vx=v0=20 m/sy方向影子的速度vy=gt=20 m/s小球的速度v=vx2+vy2代入数据解得v=202 m/stan =vy
9、vx=20m/s20m/s=1,得=45速度方向与x轴正方向成45角考点二斜面上的平抛图景方法内容总结分解速度水平方向:vx=v0竖直方向:vy=gt合速度v=vx2+vy2分解速度,构建速度三角形分解位移水平方向:x=v0t竖直方向:y=12gt2合位移x合=x2+y2分解位移,构建位移三角形2-1一水平抛出的小球落到一倾角为的斜面上时,其速度方向与斜面垂直,运动轨迹如图中虚线所示。不计空气阻力,小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为() A.tan B.2 tan C.1tan D.12tan答案D设小球的初速度为v0,飞行时间为t。将小球的速度沿水平方向和竖直方向分解,可得
10、v0gt=tan ,则yx=12gt2v0t=12tan,应选D。2-2如图,跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出,经3.0 s落到斜坡上的A点。已知O点是斜坡的起点,斜坡与水平面的夹角=37,运动员的质量m=50 kg。不计空气阻力。(sin 37=0.60,cos 37=0.80;g取10 m/s2)求:(1)A点与O点的距离L;(2)运动员离开O点时的速度大小。答案(1)75 m(2)20 m/s解析(1)运动员在竖直方向做自由落体运动,有L sin 37=12gt2A点与O点的距离L=gt22sin37=75 m(2)设运动员离开O点的速度为v0,运动员在水平方向做匀速直线运
11、动,即L cos 37=v0t解得v0=Lcos37t=20 m/s考点三类平抛运动有时物体的运动与平抛运动很相似,也是在某方向做匀速直线运动,另一垂直方向做初速度为零的匀加速直线运动,这种运动,像平抛又不是平抛,通常称作类平抛运动,处理方法与平抛运动一样,只是加速度a不同而已。例如某质点具有竖直向下的初速度同时受到恒定的水平向右的合外力,如图所示,则质点做沿x轴的匀速直线运动和沿y轴的初速度为零的匀加速直线运动。运动规律与平抛运动相同。3-1如图所示,质量为m的飞机以水平初速度v0飞离跑道后逐渐上升,若飞机的水平速度v0不变,同时受到重力和竖直向上的恒定的升力,今测得飞机水平方向的位移为L时
12、,上升的高度为h,重力加速度为g,求:(1)飞机受到的升力大小;(2)飞机上升至h高度时的速度大小。答案(1)mg+2mhv02L2(2)v0LL2+4h2解析(1)飞机在水平方向做匀速直线运动故有L=v0t又因为飞机在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动,故有h=12at2由以上两式得a=2hv02L2又由牛顿第二定律,对飞机有F-mg=ma所以飞机受到的升力大小为F=mg+2mhv02L2。(2)设飞机上升高度h时竖直分速度为vy,则有vy2=2ah=4h2v02L2所以v=v02+vy2=v0LL2+4h23-2如图所示,光滑斜面长为a,宽为b,倾角为。一小球从斜面左上方P点水平射入,而
13、从斜面右下方顶点Q离开斜面,重力加速度为g,求入射初速度。答案agsin2b解析设入射时的初速度大小为v0,小球的重力沿斜面的分力提供加速度a1,则a1=g sin 。小球在斜面上做类平抛运动,即水平方向以v0做匀速直线运动,沿斜面向下做初速度为零的匀加速直线运动。则:a=v0tb=12a1t2=12g sin t2解得v0=agsin2bA组基础巩固 1.(多选)(2018人大附中月考)在地面上方某一点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出,不计空气阻力,则小球在随后的运动中()A.速度和加速度的方向都在不断变化B.速度与加速度方向之间的夹角一直减小C.在相等的时间间隔内,速率的改变量相等D.
14、在相等的时间间隔内,速度的改变量相等答案BD小球只受重力作用,做平抛运动,水平方向上做匀速直线运动,竖直方向上做匀加速直线运动,所以小球的速度方向一直在改变,但加速度方向不变,为g的方向,故A错;加速度的方向不变,始终竖直向下,则速度方向与竖直方向的夹角的正切值tan =v0gt,随着时间的增长,越来越小,故B正确;竖直方向上的速度大小vy=gt,所以v合=v02+(gt)2,则在相等的时间间隔内,速率的改变量不相等,故C错误;由v=gt知在相等的时间间隔内,速度的改变量相等,故D正确。2.(2018西城期末)在水平地面附近某一高度处,将一个小球以初速度v0水平抛出,小球经时间t落地,落地时的
15、速度大小为v,落地点与抛出点的水平距离为x,不计空气阻力。若将小球从相同位置以2v0的速度水平抛出,则小球()A.落地的时间将变为2tB.落地时的速度大小将变为2vC.落地的时间仍为tD.落地点与抛出点的水平距离仍为x答案C平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,因下落高度不变,则下落时间不变,C正确,A错误;落地点与抛出点的水平距离x=vxt,水平速度由v0变为2v0,t没变,所以x变为原来的2倍,D错误;由平抛运动规律知,初速度为v0时,落地速度大小v1=v02+(gt)2,当初速度变为2v0时,落地速度大小v2=(2v0)2+(gt)2,v22v1,B错误。3.(
16、2019朝阳二模)某物理学习小组在做“研究平抛运动”的实验时,得到小球做平抛运动的轨迹,以小球被抛出的位置为原点,初速度的方向为x轴的方向,竖直向下的方向为y轴的方向,建立平面直角坐标系,如图所示。该小组对实验进一步分析,分别画出了x、y、yx和动能Ek随时间t变化关系的示意图,其中不正确的是()答案C平抛运动水平方向x=v0t,A正确。竖直方向y=12gt2,B正确。yx=g2v0t,是一次函数,C错误。由动能定理mgh=Ek-E0,即Ek=12mg2t2+E0,D正确。4.(多选)(2018首师大附中月考)如图,小球在倾角为的斜面上方O点处以速度v0水平抛出,落在斜面上的A点时速度的方向与
17、斜面垂直,重力加速度为g。根据上述条件可以求出()A.小球从O点到A点的时间B.O点距离地面的高度C.小球在A点速度的大小D.O点到A点的水平距离答案ACD小球落在斜面上的A点时速度方向与斜面垂直,如图所示,将速度沿水平方向和竖直方向分解,可得tan =vxvy=v0gt,故t=v0gtan,结合h=12gt2可求得小球下降高度。由题给条件计算不出O点离地面的高度。由图可知小球落在A点的速度大小v=v0sin。小球从O点到A点的水平距离x=v0t=v02gtan。故选A、C、D。5.(2019朝阳二模节选)一水平放置的细水管,距地面的高度为h,有水从管口处以不变的速度源源不断地沿水平方向射出,
18、水流稳定后落地的位置到管口的水平距离为2h。已知管口处水柱的横截面积为S,水的密度为,重力加速度为g。水流在空中不散开,不计空气阻力。求:a.水从管口水平射出速度v0的大小;b.水流稳定后,空中水的总质量m。答案见解析解析a.水从管口射出后,做平抛运动。设空中运动时间为t,则在水平方向上有2h=v0t在竖直方向上有h=12gt2解得v0=ghb.空中水的总质量m=(Sv0t)=2Sh6.如图所示,一个少年脚踩滑板沿倾斜街梯扶手从A点由静止滑下,经过一段时间后从C点沿水平方向飞出,落在倾斜街梯扶手上的D点。已知C点是一段倾斜街梯扶手的起点,倾斜的街梯扶手与水平面的夹角=37,C、D间的距离s=3
19、.0 m,少年的质量m=60 kg。滑板及少年均可视为质点,不计空气阻力。取sin 37 =0.60,cos 37 =0.80,重力加速度g=10 m/s2,求:(1)少年从C点水平飞出到落在倾斜街梯扶手上D点所用的时间t;(2)少年从C点水平飞出时的速度大小vC;(3)少年落到D点时的动能Ek。答案(1)0.6 s(2)4.0 m/s(3)1 560 J解析(1)少年从C点水平飞出做平抛运动在竖直方向 y=12gt2y=s sin 37解得t=0.6 s(2)在水平方向x=vCtx=s cos 37解得vC=4.0 m/s(3)少年落到D点时竖直方向的速度大小vy=gt=6.0 m/s少年落
20、到D点时速度大小为vD=vC2+vy2少年落到D点时的动能Ek=12mvD2解得Ek=1 560 JB组综合提能 1.取水平地面为重力零势能面。一物块从某一高度水平抛出,在抛出点其动能与重力势能恰好相等。不计空气阻力。该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为()A.6 B.4 C.3 D.512答案B设物块在抛出点的速度大小为v0,落地时速度大小为v,抛出时重力势能为Ep,由题意知Ep=12mv02;由机械能守恒定律,得12mv2=Ep+12mv02,解得v=2v0,设物块落地时速度方向与水平方向的夹角为,则 cos =v0v=22,解得 =4,B正确。2.如图,半圆形光滑轨道固定在水平地面上
21、,半圆的直径与地面垂直。一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道,并从轨道上端水平飞出,小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关,此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度为g)()A.v216g B.v28g C.v24g D.v22g答案B小物块由最低点到最高点的过程由机械能守恒定律有12mv2=mg2R+12mv12小物块从最高点水平飞出做平抛运动有2R=12gt2x=v1t(x为落地点到轨道下端的距离)联立得x2=4v2gR-16R2当R=-b2a,即R=v28g时,x具有最大值,选项B正确。3.如图所示为足球球门,球门宽为L。一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起,将足球顶入球门的左
22、下方死角(图中P点)。球员顶球点的高度为h。足球做平抛运动(足球可看成质点,忽略空气阻力,重力加速度为g),则()A.足球位移的大小x=L24+s2B.足球初速度的大小v0=g2hL24+s2C.足球末速度的大小v=g2hL24+s2+4ghD.足球初速度的方向与球门线夹角的正切值 tan =L2s答案B如图,足球平抛运动的水平位移x=s2+L24,不是足球的位移,所以A错;由x=v0t,h=12gt2,得v0=xt=s2+L24/2hg=g2hL24+s2,B正确;足球的末速度大小v=v02+vy2=g2hL24+s2+2gh,所以C错误;由图可知足球初速度方向与球门线的夹角的正切值tan
23、=sL2=2sL,故D错误。4.北京赢得了2022年第二十四届冬季奥林匹克运动会的举办权,引得越来越多的体育爱好者参加滑雪运动。如图所示,某滑雪场的雪道由倾斜部分AB段和水平部分BC段组成,其中倾斜雪道AB的长L=25 m,顶端高H=15 m,滑雪板与雪道间的动摩擦因数=0.25。滑雪爱好者每次练习时均在倾斜雪道的顶端A处以水平速度飞出,落到雪道时他靠改变姿势进行缓冲,恰好可以使自己在落到雪道前后沿雪道方向的速度相同。不计空气阻力影响,取重力加速度g=10 m/s2。(1)第一次滑雪爱好者水平飞出后经t1=1.5 s落到雪道上的D处(图中未标出),求水平初速度大小v1及A、D之间的水平距离x1
24、;(2)第二次该爱好者调整水平初速度,落到雪道上的E处(图中未标出),已知A、E之间的水平距离为x2,且x1x2=13,求该爱好者落到雪道上的E处之后的滑行距离s;(3)该爱好者在随后的几次练习中都落在雪道的AB段,他根据经验得出如下结论:在A处水平速度越大,落到雪道前瞬时速度越大,速度方向与雪道的夹角也越大。他的观点是否正确,请你判断并说明理由。答案(1)10 m/s15 m(2)45 m(3)见解析解析滑雪爱好者自A处以水平速度飞出后,可能落在雪道的倾斜部分AB段,也可能落在雪道的水平部分BC段。(1)设滑雪爱好者落在雪道的水平部分BC段所用时间为t0,根据平抛运动的规律有H=12gt02
25、解得t0=3 s由此可知,滑雪爱好者水平飞出后经t1=1.5 s落在雪道的倾斜部分AB段根据平抛运动的规律有HL2-H2=12gt12v1t1解得v1=10 m/sA、D之间的水平距离x1=v1t1解得x1=15 m(2)设此次爱好者水平初速度大小为v2,由x1x2=13,可知x2=153 m,由此可判断此次滑雪爱好者水平飞出后落在雪道的水平部分BC段由平抛运动的规律有x2=v2t0解得v2=15 m/s落在雪道上之后爱好者在水平雪道上匀减速滑行由动能定理有-mgs=0-12mv22解得该爱好者落到雪道上的E处之后的滑行距离s=45 m(3)他的观点不正确。正确观点是:在A处水平速度越大,落到雪道前瞬时速度越大,而速度方向与雪道的夹角不变设爱好者水平初速度大小为v0由平抛运动的规律知,落到AB段均满足tan =12gt2v0t=gt2v0解得t=2v0 tang,由此可知:v0越大,运动时间t越长落到雪道前瞬时速度大小v=v02+(gt)2=v01+4tan2,v0越大,落到雪道前瞬时速度越大设速度方向与水平方向间夹角为,tan =gtv0=2 tan ,速度方向与水平方向间夹角与v0无关,即速度方向与雪道的夹角与v0无关。
