1、1.3.2函数的极值与导数 教学目标：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤。教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤； 教学难点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。【教师引入】观察图1.3-8，我们发现，时，高台跳水运动员距水面高度最大那么，函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大附近函数的图像，如图3.3-9可以看出；在，当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，；这就说明，在附近
2、，函数值先增（，）后减（，）这样，当在的附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有对于一般的函数，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号(二)、探究新知，揭示概念探究问题：图1.3-8（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图1.3-8（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？（1） 通过观察图像，我们可以发现：运动员从起点到最
3、高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数相应地，（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数相应地，（三）、分析归纳，抽象概括我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值;点b叫做函数y=f(x)的极小值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极小值.极大值点与极小值点统称极值点，极大值与极小值统称极值. 注意以下几点：（）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（）
4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点（四）、知识应用，深化理解例1（课本例4）求的极值 解： 因为，所以。下面分两种情况讨论：（1）当0,即，或时；（2）当0,即时.当x变化时， ，的变化情况如下表：-2(-2,2)2+00+极大值极小值因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为。函数的图像如图所示。总结：（1）. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧
5、满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值(2). 求可导函数f(x)的极值的步骤: 确定函数的定义区间，求导数f(x) 求方程f(x)=0的根用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 课堂练习1求下列函数的极值.(1)y=x27x+6 (2)y=x327x
6、(1)解：y=(x27x+6)=2x7令y=0，解得x=.当x变化时，y，y的变化情况如下表.0+极小值当x=时，y有极小值，且y极小值=.(2)解：y=(x327x)=3x227=3(x+3)(x3)令y=0，解得x1=3，x2=3.当x变化时，y，y的变化情况如下表.-3(-3,3)3+00+极大值54极小值-54当x=3时，y有极大值，且y极大值=54.当x=3时，y有极小值，且y极小值=54（五）、归纳小结、布置作业函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数f(x)的极值的三个步骤.还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点 布置作业：.课本P31，习题1.3A组3,4,5；
