1、函数、基本初等函数的图象与性质1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数常以选择题的形式出现在最后一题，且常与新定义问题相结合，难度较大1 函数的概念及其表示两个函数只有当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数2 函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质利用定义证明
2、函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质若函数满足f(ax)f(x)(a不等于0)，则其一个周期T|a|.3 指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)的图象和性质，分0a1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质(2)幂函数
3、yx的图象和性质，分幂指数0，0且a1，b0且b1，M0，N0)提醒：logaMlogaNloga(MN)，logaMlogaNloga(MN)5 与周期函数有关的结论(1)若f(xa)f(xb)(ab)，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T|ab|.(2)若f(xa)f(x)，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T2a.(3)若f(xa)或f(xa)，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T2a.提醒：若f(xa)f(xb)(ab)，则函数f(x)关于直线x对称.考点一函数及其表示例1(1)若函数yf(x)的定义域是0,2，则函数g(x)的定义域是()A0,1 B0,1)C0,1)(1,4
4、D(0,1)答案D解析由函数yf(x)的定义域是0,2得，函数g(x)有意义的条件为02x2且x0，x1，故x(0,1)(2)已知函数f(x)，则f(f()等于()A4 B.C4 D答案B解析因为0，所以f()log32，故f(2)22. (1)求函数定义域的类型和相应方法若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可，函数f(g(x)的定义域应由不等式ag(x)b解出实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义(2)求函数值时应注意形如f(g(x)的函数求值时，应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值(解不等式)问题
5、，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解(1)若函数f(x)则f(log23)等于()A3 B4 C16 D24(2)已知函数f(x)2log3x(1x9)，则函数yf(x)2f(x2)的最大值为()A33 B22 C13 D6答案(1)D(2)C解析(1)f(log23)f(log233)f(log224)2log22424.(2)依题意得，y(2log3x)22log3x2logx6log3x6(log3x3)23，因为1x9，且1x29，所以1x3，所以0log3x1，作出图象知，当log3x1时，函数y取得最大值13.考点二函数的性质例2(1)(2012福建)设函数D(x)则下列结论错误
6、的是()AD(x)的值域为0,1 BD(x)是偶函数CD(x)不是周期函数 DD(x)不是单调函数答案C解析利用函数的单调性、奇偶性、周期性定义判断可得由已知条件可知，D(x)的值域是0,1，选项A正确；当x是有理数时，x也是有理数，且D(x)1，D(x)1，故D(x)D(x)，当x是无理数时，x也是无理数，且D(x)0，D(x)0，即D(x)D(x)，故D(x)是偶函数，选项B正确；当x是有理数时，对于任一非零有理数a，xa是有理数，且D(xa)D(x)1，当x是无理数时，对于任一非零有理数b，xb是无理数，所以D(xb)D(x)0，故D(x)是周期函数，但不存在最小正周期，选项C不正确；由
7、实数的连续性易知，不存在区间I，使D(x)在区间I上是增函数或减函数，故D(x)不是单调函数，选项D正确 (2)设奇函数yf(x) (xR)，满足对任意tR都有f(t)f(1t)，且x时，f(x)x2，则f(3)f的值等于_答案解析根据对任意tR都有f(t)f(1t)可得f(t)f(1t)，即f(t1)f(t)，进而得到f(t2)f(t1)f(t)f(t)，得函数yf(x)的一个周期为2，故f(3)f(1)f(01)f(0)0，ff.所以f(3)f的值是0. 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数
8、的性质，根据函数的性质解决问题(1)(2013天津)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上单调递增若实数a满足f(log2a)f(loga)2f(1)，则a的取值范围是()A1,2 B.C. D(0,2(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)exa，若f(x)在R上是单调函数，则实数a的最小值是_答案(1)C(2)1解析(1)由题意知a0，又logalog2a1log2a.f(x)是R上的偶函数，f(log2a)f(log2a)f(loga)f(log2a)f(loga)2f(1)，2f(log2a)2f(1)，即f(log2a)f(1)又因f(x)在0，)
9、上递增|log2a|1，1log2a1，a，选C.(2)依题意得f(0)0.当x0时，f(x)e0aa1.若函数f(x)在R上是单调函数，则有a10，a1，因此实数a的最小值是1.考点三函数的图象例3(1)(2013北京)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)等于()Aex1 Bex1Cex1 Dex1(2)形如y(a0，b0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把它称为“囧函数”若当a1，b1时的“囧函数”与函数ylg|x|图象的交点个数为n，则n_.答案(1)D(2)4解析(1)与yex图象关于y轴对称的函数为yex.依题意，f(x)
10、图象向右平移一个单位，得yex的图象f(x)的图象由yex的图象向左平移一个单位得到f(x)e(x1)ex1.(2)由题意知，当a1，b1时，y在同一坐标系中画出“囧函数”与函数ylg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点 (1)作图：常用描点法和图象变换法图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换尤其注意yf(x)与yf(x)、yf(x)、yf(x)、yf(|x|)、y|f(x)|及yaf(x)b的相互关系(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不
11、等式的求解常与图象数形结合研究(1)函数yxln(x)与yxln x的图象关于()A直线yx对称 Bx轴对称Cy轴对称 D原点对称(2)函数y的大致图象是()(3)(2013课标全国)已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是()A(，0 B(，1C2,1 D2,0答案(1)D(2)C(3)D解析(1)若点(m，n)在函数yxln x的图象上，则nmln m，所以nmln(m)，可知点(m，n)在函数yxln(x)的图象上，而点(m，n)与点(m，n)关于原点对称，所以函数yxln x与yxln(x)的图象关于原点对称(2)方法一由于，所以函数y是奇函数，其图象关于原点对称当x0时，
12、对函数求导可知，函数图象先增后减，结合选项知选C.方法二0x1时，y1时，根据ylog2x与yx的变化快慢知x时，y0且y0.故选C.(3)函数y|f(x)|的图象如图当a0时，|f(x)|ax显然成立当a0时，只需在x0时，ln(x1)ax成立比较对数函数与一次函数yax的增长速度显然不存在a0使ln(x1)ax在x0上恒成立当a0时，只需在xf(a)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(1,0)(1，) D(，1)(0,1)(2)已知a5log23.4，b5log43.6，clog30.3，则有()Aabc BbacCacb Dcab答案(1)C(2)C解
13、析(1)方法一由题意作出yf(x)的图象如图显然当a1或1af(a)故选C.方法二对a分类讨论：当a0时，log2aloga，即log2a0，a1.当alog2(a)，即log2(a)0，1alog331,0log43.6()log30.35log43.6，即acb. (1)指数函数、对数函数、幂函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力(2)比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为
14、对数式，通过转化进行比较(1)已知f(x)ax，g(x)logax(a0且a1)，若f(3)g(3)0，则f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是()(2)(2012天津)已知a21.2，b0.8，c2log52，则a，b，c的大小关系为()Acba BcabCbac Dbc0且a1，所以f(3)a30.因为f(3)g(3)0，所以g(3)0即loga30，所以0a1，则指数函数f(x)ax单调递减，对数函数单调递减，所以答案选C.(2)利用中间值判断大小b0.820.821.2a，c2log52log522log55120.8b，故cb0.则有()Af(0.32)f(20.3)f(log
15、25)Bf(log25)f(20.3)f(0.32)Cf(log25)f(0.32)f(20.3)Df(0.32)f(log25)f(20.3)答案A解析由已知可知f(x)在(，0)上递增，又f(x)为奇函数，故f(x)在(0，)上递增，0.3220.3log25.f(0.32)f(20.3)0时，f(x)lg x，则f的值等于()A. B Clg 2 Dlg 2答案D解析当x0，则f(x)lg(x)又函数f(x)为奇函数，f(x)f(x)，所以当xba BbcaCacb Dabc答案D解析设alog361log321，blog5101log521，clog7141log721，显然abc.5
16、 若函数f(x)x2|xa|b在区间(，0上为减函数，则实数a的取值范围是()Aa0 Ba0 Ca1 Da1答案A解析当a0或者a1时，显然，在区间(，0上为减函数，从而选A.6 设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1m)f(m)，则实数m的取值范围是()A1，)B(，1(，)C(1，)D(，1)(，)答案A解析f(x)是偶函数，f(x)f(x)f(|x|)，不等式f(1m)f(m)f(|1m|)f(|m|)，又当x0,2时，f(x)是减函数，解得1m0，可排除选项B；当x2时，y1，当x4时，y，但从选项D的函数图象可以看出函数在(0，)上是单调递增函数，两者矛盾，
17、可排除选项D.故选C.8 已知直线ymx与函数f(x)的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是()A(，4) B(，)C(，5) D(，2)答案B解析作出函数f(x)的图象，如图所示直线ymx的图象是绕坐标原点旋转的动直线当斜率m0时，直线ymx与函数f(x)的图象只有一个公共点；当m0时，直线ymx始终与函数y2x (x0)的图象有一个公共点，故要使直线ymx与函数f(x)的图象有三个公共点，必须使直线ymx与函数yx21 (x0)的图象有两个公共点，即方程mxx21在x0时有两个不相等的实数根，即方程x22mx20的判别式4m2420，解得m.故所求实数m的取值范围是(，)二、填
18、空题9 设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a的值为_答案1解析因为f(x)是偶函数，所以恒有f(x)f(x)，即x(exaex)x(exaex)，化简得x(exex)(a1)0.因为上式对任意实数x都成立，所以a1.10(2012安徽)若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a_.答案6解析利用函数图象确定单调区间f(x)|2xa|作出函数图象，由图象知：函数的单调递增区间为，3，a6.11已知函数f(x)asin xbx35，且f(1)3，则f(1)_.答案7解析因为f(1)3，所以f(1)asin 1b53，即asin 1b2.所以f(1)asin 1b5(2
19、)57.12已知奇函数f(x)给出下列结论：f(f(1)1；函数yf(x)有三个零点；f(x)的递增区间是1，)；直线x1是函数yf(x)图象的一条对称轴；函数yf(x1)2图象的对称中心是点(1,2)其中，正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号)答案解析因为f(x)是奇函数，所以x0时，f(x)x22x，即f(x)x22x.可求得a1，b2.即f(x)f(f(1)f(1)f(1)1，正确；易知f(x)的三个零点是2,0,2，正确；当x(，1时，f(x)也单调递增，错误；由奇函数图象的特点知，题中的函数f(x)无对称轴，错误；奇函数f(x)图象关于原点对称，故函数yf(x1)2图象的对称中
20、心应是点(1,2)，错误故填.13给出下列四个函数：y2x；ylog2x；yx2；y.当0x1x2恒成立的函数的序号是_答案解析由题意知满足条件的图象形状为：故符合图象形状的函数为ylog2x，y.14已知定义在R上的偶函数满足：f(x4)f(x)f(2)，且当x0,2时，yf(x)单调递减，给出以下四个命题：f(2)0；x4为函数yf(x)图象的一条对称轴；函数yf(x)在8,10上单调递增；若方程f(x)m在6，2上的两根为x1，x2，则x1x28.则所有正确命题的序号为_答案解析令x2，得f(2)f(2)f(2)，又函数f(x)是偶函数，故f(2)0；根据可得f(x4)f(x)，可得函数f(x)的周期是4，由于偶函数的图象关于y轴对称，故x4也是函数yf(x)图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f(x)在8,10上单调递减，不正确；由于函数f(x)的图象关于直线x4对称，故如果方程f(x)m在区间6，2上的两根为x1，x2，则4，即x1x28.故正确命题的序号为.
