1、第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 学 习 目 标核 心 素 养 1.掌握等比数列前n项和的性质的应用(重点)2.掌握等差数列与等比数列的综合应用(重点)3.能用分组转化方法求数列的和(重点、易错点)1.通过学习等比数列前n项和公式的函数特征，体现逻辑推理素养2.借助等比数列前n项和性质的应用及分组求和，培养学生的数学运算素养自 主 预 习 探 新 知 1等比数列前 n 项和的变式当公比 q1 时，等比数列的前 n 项和公式是 Sna1（1qn）1q，它可以变形为 Sn a11qqn a11q，设 A a11q，上式可写成 Sn 由此可见，非常数列
2、的等比数列的前 n 项和 Sn 是由关于 n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数当公比 q1 时，因为 a10，所以 Snna1 是 n 的正比例函数(常数项为 0 的一次函数).AqnA思考：在数列an中，an1can(c 为非零常数)且前 n 项和 Sn3n1k，则实数 k 的取值是什么？提示 由题an是等比数列，3n 的系数与常数项互为相反数，而 3n 的系数为13，k13.2等比数列前 n 项和的性质性质一：若 Sn 表示数列an的前 n 项和，且 SnAqnA(Aq0，q1)，则数列an是 数列性质二：若数列an是公比为 q 的等比数列，则在等比数列中
3、，若项数为 2n(nN*)，则S偶S奇 Sn，S2nSn，S3nS2n 成 数列等比q等比思考：在等比数列an中，若 a1a220，a3a440，如何求S6 的值？提示 S220，S4S240，S6S480，S6S480S24080140.15 法一：a1|a2|a3|a4|1|1(2)|1(2)2|1(2)3|15.法二：因为 a1|a2|a3|a4|a1|a2|a3|a4|，数列|an|是首项为 1，公比为 2 的等比数列，故所求代数式的值为12412 15.1设数列an是首项为 1，公比为2 的等比数列，则 a1|a2|a3|a4|2 q3S6S3S327338，所以 q2.2已知数列a
4、n为等比数列，且前 n 项和 S33，S627，则公比 q (2)n1 当 n1 时，S123a113，所以 a11.当 n2 时，anSnSn123an1323an11323(anan1)，所以 an2an1，即 anan12，所以an是以1为首项的等比数列，其公比为2，所以an1(2)n1，即 an(2)n1.3若数列an的前 n 项和 Sn23an13，则an的通项公式是 an 80 令 Xa1a3a9960，Ya2a4a100，则 S100XY，由等比数列前 n 项和性质知：YXq13，所以 Y20，即 S100XY80.4若等比数列an的公比为13，且 a1a3a9960，则an的前
5、 100 项和为 合 作 探 究 释 疑 难【例 1】已知数列an的前 n 项和 Snan1(a 是不为零且不等于 1 的常数)，则数列an()A一定是等差数列B一定是等比数列C是等差数列或等比数列D既非等差数列，也非等比数列等比数列前 n 项和公式的函数特征应用B 当 n2 时，anSnSn1(a1)an1；当 n1 时，a1a1，满足上式an(a1)an1，nN*.an1an a，数列an是等比数列1已知 Sn 通过 anS1，n1，SnSn1，n2求通项 an，应特别注意 n2时，anSnSn1.2若数列an的前 n 项和 SnA(qn1)，其中 A0，q0 且 q1，则an是等比数列1
6、3 显然 q1，此时应有 SnA(qn1)，又 Sn133nt，t13.跟进训练1若an是等比数列，且前 n 项和为 Sn3n 1t，则 t 探究问题1在等差数列中，我们知道 Sm，S2mSm，S3mS2m，仍组成等差数列在等比数列an中，若连续 m 项的和不等于 0，那么 Sm，S2mSm，S3mS2m，仍组成等比数列吗？为什么？等比数列前 n 项和性质的应用提示 Sm，S2mSm，S3mS2m，仍组成等比数列在等比数列an中有 amnamqn，Sma1a2am，S2mSmam1am2a2ma1qma2qmamqm(a1a2am)qmSmqm.同理 S3mS2mSmq2m，在 Sm0 时，S
7、m，S2mSm，S3mS2m，仍组成等比数列2若数列an为项数为偶数的等比数列，且 S 奇a1a3a5，S 偶a2a4a6，那么S偶S奇等于何值？提示 由等比数列的通项公式可知S偶S奇S奇qS奇 q.【例 2】(1)等比数列an的前 n 项和为 Sn，S27，S691，则S4 为()A28 B32 C21 D28 或21(2)等比数列an中，公比 q3，S8032，则 a2a4a6a80 思路探究：(1)由 S2，S4S2，S6S4 成等比数列求解(2)利用S偶S奇 q，及 S2nS 奇S 偶求解(1)A(2)24(1)an为等比数列，S2，S4S2，S6S4 也为等比数列，即 7，S47，9
8、1S4 成等比数列，(S47)27(91S4)，解得 S428 或 S421.S4a1a2a3a4a1a2a1q2a2q2(a1a2)(1q2)S2(1q2)S2，S428.(2)设 S1a2a4a6a80，S2a1a3a5a79.则S1S2q3，即 S13S2.又 S1S2S8032，43S132，解得 S124.即 a2a4a6a8024.1(变条件)将例题(1)中的条件“S27，S691”改为“正数等比数列中 Sn2，S3n14”求 S4n 的值解 设 S2nx，S4ny，则 2，x2，14x，y14 成等比数列，所以（x2）22（14x），（14x）2（x2）（y14），所以x6，y3
9、0 或x4，y40(舍去)，所以 S4n30.2(变条件，变结论)将例题(2)中的条件“q3，S8032”变为“项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的12，又它的首项为12，且中间两项的和为 3128”求此等比数列的项数S偶S奇q.则 q12，又 an 和 an1 为中间两项，则 anan1 3128，即 a1qn1a1qn 3128，又 a112，q12，1212n11212n 31281212n1112 3128n6.项数为 2n12.则此等比数列的项数为 12.1在涉及奇数项和 S 奇与偶数项和 S 偶时，常考虑其差或比进行简化运算若项数为 2n，则S偶S奇q(S 奇0)；若
10、项数为 2n1，则S奇a1S偶q(S 偶0).2等比数列前 n 项和为 Sn(且 Sn0)，则 Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为 qn(q1).【例 3】已知数列an构成一个新数列：a1，(a2a1)，(anan1)，此数列是首项为 1，公比为13的等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an的前 n 项和 Sn.分组求和法思路探究：通过观察，不难发现，新数列的前 n 项和恰为 an，这样即可将问题转化为首项为 1，公比为13的等比数列的前 n 项和，数列an的通项公式求出后，计算其前 n 项和 Sn就容易多了解(1)ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)1
11、1313213n132113n.(2)Sna1a2a3an32113 321132 32113n32n34113n 34(2n1)1413n1.分组转化求和法的应用条件和解题步骤(1)应用条件一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成(2)解题步骤跟进训练2求数列 214，418，6 116，2n 12n1，的前 n 项和 Sn.解 Sn2144186 1162n 12n1(2462n)1418 12n1n（2n2）214112n112n(n1)12 12n1.课 堂 小 结 提 素 养 1在利用等比数列前 n 项和公式时，一定要对公比 q1 或 q1作出判
12、断；若an是等比数列，且 an0，则lg an构成等差数列2等比数列前 n 项和中用到的数学思想(1)分类讨论思想：利用等比数列前 n 项和公式时要分公比 q1 和 q1 两种情况讨论；研究等比数列的单调性时应进行讨论：当 a10，q1 或 a10，0q1 时为递增数列；当 a11 或 a10，0q1 时为递减数列；当 q0 且 q1)常和指数函数相联系；等比数列前 n 项和 Sn a1q1(qn1)(q1).设 A a1q1，则 SnA(qn1)与指数函数相联系(3)整体思想：应用等比数列前 n 项和公式时，常把 qn，a11q当成整体求解1判断正误(1)等比数列an共 2n 项，其中奇数项
13、的和为 240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比 q2.()(2)已知等比数列an的前 n 项和 Sna3n11，则 a1.()(3)若数列an为等比数列，则 a1a2，a3a4，a5a6 也成等比数列()(4)若 Sn 为等比数列的前 n 项和，则 S3，S6，S9 成等比数列()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)S偶S奇q12024012；(2)由等比数列前 n 项和的特点知13a1 得 a3；(4)由 S3，S6S3，S9S6 成等比数列知(4)错误A 在等比数列an中，S5，S10S5，S15S10，成等比数列，因为 S10S512，所以 S52S10，S1534S5，得 S
14、15S534，故选 A.2设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S10S512，则 S15S5()A34 B23C12 D1363 法一：因为 Sn2an1，所以当 n1 时，a12a11，解得 a11；当 n2 时，a1a22a21，解得 a22；当 n3 时，a1a2a32a31，解得 a34；当 n4 时，a1a2a3a42a41，解得 a48；3记 Sn 为数列an的前 n 项和若 Sn2an1，则 S6 当 n5 时，a1a2a3a4a52a51，解得 a516；当 n6 时，a1a2a3a4a5a62a61，解得 a632.所以 S61248163263.法二：因为 Sn2an
15、1，所以当 n1 时，a12a11，解得 a11，当 n2 时，anSnSn12an1(2an11)，所以 an2an1，所以数列an是以1 为首项，2 为公比的等比数列，所以 an2n1，所以 S61（126）1263.4设等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S42，S86，求 a17a18a19a20 的值解 由等比数列前 n 项和的性质，可知 S4，S8S4，S12S8，S4nS4n4，成等比数列由题意可知上面数列的首项为 S42，公比为S8S4S42，故 S4nS4n42n(n2)，所以 a17a18a19a20S20S162532.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
