1、数学思想专练(二)一、选择题1不等式x2logax0，在x时恒成立，则a的取值范围是()A0a1 D0a解析：选B不等式x2logax0转化为x2logax，由图形知0a1且2loga ，所以a，所以a1.2(2013西城模拟)已知f(x)则函数g(x)f(x)ex的零点个数为()A1 B2C3 D4解析：选B函数g(x)f(x)ex的零点即为函数f(x)与yex的图像交点的个数，如图所示，作出函数f(x)与yex的图像，由图像可知两个函数图像有两个交点，函数g(x)f(x)ex有两个零点3已知函数f(x)则函数yf(f(x)1的零点个数是()A4 B3C2 D1解析：选A令x10，得x1，令
2、log2x0，得x1；令F(x)f(f(x)1，则F(x)作出函数yF(x)的图像如图所示，有4个零点4已知平面向量a、b，|a|1，|b|，且|2ab|，则向量a与向量ab的夹角为()A.B. C.D解析：选B|2ab|24|a|24ab|b|27，|a|1，|b|，44ab37，即ab0，ab.如图所示，a与ab的夹角为COA，tanCOA，COA，即a与ab的夹角为.5以椭圆的右焦点F2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心，交椭圆于M，N两点，若直线MF1(F1为椭圆的左焦点)是圆F2的切线，则椭圆的离心率为()A2 B.1C. D.解：选B如图，易知|MF2|c，|MF1|MF2|2a，
3、|MF1|2ac.在F1MF2中，MF1MF2，又|F1F2|2c，(2ac)2c2(2c)2，即2a22acc20.方程两边同除以a2得e22e20，解得e1.6已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是()A(1,10) B(5,6)C(10,12) D(20,24)解析：选C画出函数f(x)的图像，再画出直线yd(0d1)，如图所示，直观上知0a1,1b10，10c12，再由|lg a|lg b|，得lg alg b，从而得ab1，则10abc0，b0)，当ab取最小值时，方程x 的实数解的个数是_解析：2，当，即a2，b4时等号成立，则方程1
4、x，在同一坐标系作出y1(x1)和y2的草图，交点个数为1，即方程的解的个数为1.答案：19已知函数f(x)(a是常数且a0)对于下列命题：函数f(x)的最小值是1；函数f(x)在R上是单调函数；若f(x)0在上恒成立，则a的取值范围是a1；对任意的x10，x20且x1x2，恒有f0，故f(x)在(0，)上单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(0)1，故命题正确；显然，函数f(x)在R上不是单调函数，错误；因为f(x)在(0，)上单调递增，故函数f(x)在上的最小值为f2a1a1，所以若f(x)0在上恒成立，则a10，即a1，故正确；由图像可知在(，0)上对任意x10，x20且x1x2，恒有
5、f0，函数f(x)x|xa|1(xR)(1)当a1时，求所有使f(x)x成立的x的值；(2)当a(0,3)时，求函数yf(x)在闭区间1,2上的最小值解：(1)因为x|x1|1x，所以x1或x1.(2)f(x)(其示意图如图所示)当0a1时，x1a，这时，f(x)x2ax1，对称轴是x1，所以函数yf(x)在区间1,2上递增，f(x)minf(1)2a; 当1a2时，当xa时函数f(x)minf(a)1；当2a3时，x2a，这时，f(x)x2ax1，对称轴是x，f(1)a，f(2)2a3.因为(2a3)aa30，所以函数f(x)minf(2)2a3.11设函数F(x)其中f(x)ax33ax，g(x)x2ln x，方程F(x)a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围解：x(0,1)时，g(x)x0，所以当x1时，g(x)取极小值g(1).(1)当a0时，方程F(x)a2不可能有4个解；(2)当a0，当x(，1)时，f(x)0时，当x(，1)时，f(x)0，当x(1,0时，f(x)0，所以当x1时，f(x)取得极大值f (1)2a，又f(0)0，所以F(x)的图像如图(2)所示，从图像看出方程F(x)a2若有4个解，则a22a，所以实数a的取值范围是.
