1、高考资源网（ ），您身边的高考专家重点列表：重点名称重要指数重点1正余弦定理在解三角形中的应用重点2解三角形应用举例重点详解：重点1：正余弦定理在解三角形中的应用【要点解读】1.正弦、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2Ra2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C 变形(1) a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin Asin Bsin C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，as
2、in Ccsin Acos A；cos B；cos C2.SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.3.在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解4.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图).(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等.(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如
3、图).(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.【考向1】正弦定理在解三角形中的应用【例题】【2016年江苏省高考】在中，AC=6，（1）求AB的长；（2）求的值. 【答案】（1）（2）【考向2】余弦定理在解三角形中的应用【例题】【2016年高考北京理数】（本小题13分）在ABC中，.（1）求 的大小；（2）求 的最大值.【答案】（1）；（2）.【考向3】正余弦定理在解三角形中的综合应用【例题】【2016高考新课标1卷】 （本小题满分为12分）的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 （I）求C；（II）若的面积为,求的周长【答案】（I）（II）【解析】（I）由已知及正弦定理得,即故可
4、得,所以（II）由已知,又,所以由已知及余弦定理得,故,从而所以的周长为【考向4】判断三角形形状【例题】在中，已知,判断该三角形的形状。【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。方法二：同上可得由正、余弦定理，即得：即或即为等腰三角形或直角三角形【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角）【名师点睛】1.解三角形常
5、见的四种类型（1） 已知两角与一边：由及正弦定理，可求出，再求。利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意.（2） 已知两边与其夹角，由，求出，再由余弦定理，求出角。对于余弦定理，一般根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是解答这类题的关键，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用熟练运用。同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.（3）已知三边，由余弦定理可求出。（4）已知两边及其中一边的对角，由正弦定理，求出另一边的角，由，求出，再由求出，而通过909090一解一解一解无解无解一解两解无解无解一解无解2.解三角形的题目常常与三角函数的
6、知识相结合，在过程中要注意公式的变形应用.重点2：解三角形应用举例【要点解读】1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.2.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图).(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等.(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图).(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.3.解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实
7、际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系.(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型.(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.【考向1】正、余弦定理在几何中的应用【例题】如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB=5，AC=9，BCA=300，ADB=450，求BD的长。【解析】在ABC中，AB=5，AC=9，BCA=300，由正弦定理，得【点评】（1）正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用；（2）条件中如果出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，
8、一般要考虑正弦定理；（3）在三角形中求角，往往选择先求该角的余弦值，然后利用余弦函数在（0，）上的单调性求角；（4）正、余弦定理能实现边角转化，在解题时一定要重视。【考向2】与高度有关的问题【例题】某人在塔的正东沿着南偏本600的方向前进40米后望见在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为300，求塔高。【点评】1、在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；2、准确理解题意，分清已知与所求，画出示意图；3、运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用。【考向3】与角度有关的问题【例题】某港口O要将一件重要物品用小艇送
9、到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.【答案】（1）30 （2）航行方案：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时(2)设小艇与轮船在B处相遇.则v2t2400900t222030tcos(9030)
10、，故v2900.0v30，900900，即0，解得t.又t时，v30，故v30时，t取得最小值，且最小值等于.此时，在OAB中，有OAOBAB20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时.【点评】1、测量角度，首先应明确方位角、方向角的含义；2、在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点。【考向4】与距离有关的问题【例题】如图，公路MN和PQ在P处交汇，且QPN=300，在A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受
11、到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受影响？请说明理由。如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/小时，那么学校受影响的时间为多少？【解析】作ABMN，B为垂足，在RtABP中，ABP=900，APB=300，AP=160，AB=。点A到直线MN的距离小于100米，所以这所中学会受到噪声的影响。【考向5】与三角形面积有关的问题【例题】在ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=。（1）若ABC的面积等于，求a,b;(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ABC的面积。【解析】（1）由余弦定理及已知条件得联立方程组得：（2）【点评】
12、（1）对于面积公式S=absinC=acsinB=bcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式；（2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，实施边角转化；（3）正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用。【名师点睛】1.解三角形应用题的解题技巧：首先，理清题干条件和应用背景，画出示意图；其次，把所求问题归结到一个或几个三角形中，利用正弦定理、余弦定理等有关知识求解；最后，回归实际问题并检验结果.2. 在解实际问题时，应正确理解如下角的含义.1）方向角从指定方向线到目标方向线的水平角.2）方位角从正北方向线顺时针到目标方向线的水平角.3）坡度坡
13、面与水平面所成的二面角的正切值.4）仰角与俯角与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线下方时称为俯角.3. 由实际出发，构建数学模型是解应用题的基本思路.如果涉及三角形问题，我们可以把它抽象为解三角形问题进行解答，之后再还原成实际问题.【趁热打铁】一、填空题1.在ABC，已知A45，AB，BC2，则C的度数为 .2.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b5c，C2B，则cos C等于 .3. 【2016高考新课标1文数】ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,则b= .4.在ABC中，内角A，B
14、，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab，且ab，则B等于 .5.在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知b2c(b2c)，若a，cos A，则ABC的面积等于 .6. 2016高考新课标文数在中，边上的高等于,则 .7.在ABC中，若b5，B，tan A2，则a .二、解答题8. 【2016高考四川文科】在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.（I）证明：；（II）若，求.9. 【2016高考天津文数】在中，内角所对应的边分别为a,b,c，已知.()求B；()若，求sinC的值.10. 【2016高考浙江文数】（本题满分14分）在
15、ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知b+c=2acos B（）证明：A=2B；（）若cos B=，求cos C的值.第一章1.答案30解析在ABC中，sin C，又ABBC，CA，故C30.2. 答案解析由正弦定理，将8b5c及C2B代入得，化简得，则cos B，所以cos Ccos 2B2cos2B12()21.3. 答案 D解析：由余弦定理得,解得（舍去）.4. 答案5. 答案解析b2c(b2c)，b2bc2c20，即(bc)(b2c)0，b2c.又a，cos A，解得c2，b4.SABCbcsin A42 .6.答案 D解析 设边上的高线为，则，所以由正弦定理，知，即，解得.7. 答案2解析由tan A2得sin A2cos A.又sin2Acos2A1得sin A.b5，B，根据正弦定理，有，a2.8.答案 （）证明详见解析；（）4.（）由已知，b2+c2a2=bc，根据余弦定理，有cos A=所以sin A=由（），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B，所以sin B=cos B+sin B，故9. 答案 （）（）解析（）解：在中，由，可得，又由得，所以，得；（）解：由得，则，所以10. 答案 （I）证明见解析；（II）.（II）由，得，故，.欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。
