1、第8讲双曲线(二)直线与双曲线的位置关系设直线l：ykxm(m0)，双曲线C：1(a0，b0)，把代入得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20.(1)当b2a2k20，即k时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点.(2)当b2a2k20，即k时，(2a2mk)24(b2a2k2)(a2m2a2b2)0直线与双曲线有两个公共点；0直线与双曲线有一个公共点；0)没有公共点，则a的取值范围是()Aa1 B0a1 Da1答案D解析双曲线x2y2a2的渐近线方程为yx，若直线yax(a0)与双曲线x2y2a2没有公共点，则a1.3双曲线1与直线yxm(mR)的公共点的个数为(
2、)A0 B1C0或1 D0或1或2答案C解析双曲线的渐近线方程为yx，当m0时，直线yx与双曲线没有公共点；当m0时，直线yxm与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线只有一个公共点综上，双曲线1与直线yxm(mR)的公共点的个数为0或1.4已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F(c,0)，直线yk(xc)与双曲线的右支有两个交点，则()A|k| B|k| D|k|0，b0)的渐近线方程为yx，直线yk(xc)经过焦点F(c,0)，当k0时，k，当k0时，k，故选A.5过双曲线x21的左焦点F1作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则|AB|_.答案3解析易得双曲线的左焦点F1(2,0)，直线AB
3、的方程为y(x2)，与双曲线方程联立，得8x24x130.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|AB| 3.6直线l与双曲线x24y24相交于A，B两点，若点P(4,1)为线段AB的中点，则直线l的方程是_.答案xy30解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x28，y1y22，x4y4，x4y4，两式相减可得，(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，8(x1x2)8(y1y2)0，kAB1，直线l的方程为y11(x4)，即xy30.考向一直线与双曲线的位置关系例1已知双曲线x2y24，直线l：yk(x1)，在下列条件下，求实数k的取值范围(1)直
4、线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点解消去y，得(1k2)x22k2xk240.(*)当1k20，即k1时，直线l与双曲线渐近线平行，方程化为2x5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，且只有一个公共点当1k20，即k1时，(2k2)24(1k2)(k24)4(43k2)当即k，且k1时，方程(*)有两个不相等的实数解，即直线l与双曲线有两个公共点当即k时，方程(*)有两个相等的实数解，即直线l与双曲线有且仅有一个公共点当即k时，方程(*)无实数解，即直线l与双曲线无公共点综上所述，(1)当k1或1k1或1k时，直线l
5、与双曲线有两个公共点；(2)当k1或k时，直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)当k时，直线l与双曲线没有公共点 直线与双曲线位置关系的判断方法(1)方程思想的应用判断已知直线与双曲线的位置关系，将直线与双曲线方程联立，消去y(或x)，则二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行(或重合)，直线与双曲线只有一个公共点(或无公共点)；二次项系数不等于0时，若0，则直线与双曲线有两个公共点，若0，则直线与双曲线有一个公共点，若0，则直线与双曲线没有公共点(2)数形结合思想的应用直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系直线斜率一定时，通过平行移动直线，
6、比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系1.若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是()A. BC. D答案D解析由得(1k2)x24kx100.由题意，得解得k1.故选D.2直线yx3与曲线1()A没有交点 B只有一个交点C有两个交点 D有三个交点答案D解析当x0时，方程1可化为1，将yx3代入得，5x224x0，解得x0或x，即此时直线yx3与曲线1有两个交点；当x0时，方程1可化为1，将yx3代入得，13x224x0，解得x0(舍去)或x，即此时直线yx3与曲线1有一个交点综上所述，直线yx3与曲线1有三个交点故选D.考向二弦长问题例2(2021新高
7、考卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|MF2|2.记M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设点T在直线x上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|TB|TP|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和解(1)因为|MF1|MF2|20，b0)，半焦距为c，则2a2，c，得a1，b2c2a216，所以点M的轨迹C的方程为x21(x1)(2)设T，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0，设直线AB的方程为ytk1(k10)，直线PQ的方程为ytk2(k20)，由得(16k)x22k1x2160.设A(xA，yA)，B(xB，
8、yB)，易知16k0，则xAxB，xAxB，所以|TA|xA|，|TB|xB|，则|TA|TB|(1k)(1k)(1k).同理得|TP|TQ|.因为|TA|TB|TP|TQ|，所以，所以k16kk16kk16kk16k，即kk，又k1k2，所以k1k2，即k1k20. 求弦长的两种方法(1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长(2)弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：ykxb(k0)与双曲线C：1(a0，b0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|x1x2|y1y2|.3.已知双曲线1(a0，b0)
9、的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A，B两点，F1为左焦点(1)求双曲线的方程；(2)若F1AB的面积等于6，求直线l的方程解(1)依题意，得b，2.又c2a2b2，所以a1，c2，所以双曲线的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知F2(2,0)易验证当直线l斜率不存在时不满足题意，故可设直线l：yk(x2)，由消元，得(k23)x24k2x4k230，根据题意知k，x1x2，x1x2，因为F1(2,0)到直线l的距离d，所以F1AB的面积Sd|AB|2|k|2|k|12|k|6.整理，得k48k290，则k1.所以直线l的方程为
10、yx2或yx2.考向三中点弦问题例3(2022临沂模拟)已知A(2,0)，B(2，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是3.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)过点N(2,3)能否作一条直线m与轨迹C交于两点P，Q，且点N是线段PQ的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，说明理由解(1)设M(x，y)，x2，kAM，kBM，kAMkBM3，即3.整理得，3x2y212(x2)，即点M的轨迹C的方程为1(x2)(2)若能作出直线m，则直线m的斜率存在，设为k，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则两式相减得0，整理可得3，N是线段PQ的中点，32，即k2，故直线m的方程为y32(x2
11、)，即2xy10，将直线方程代入双曲线方程可得x24x130，(4)24130，b0)的其中一个焦点为(，0)，一条渐近线方程为2xy0.(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知倾斜角为的直线l与双曲线C交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为4，求直线l的方程解(1)由焦点可知c，又一条渐近线方程为2xy0，所以2.由c2a2b2可得5a24a2，解得a21，b24，故双曲线C的标准方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点的坐标为(x0,4)，则x1，x1，得，xx，即x0，又tan1，所以x01，所以直线l的方程为y4(x1)，即xy30.一、单项选择题1已知双曲
12、线方程为x21，过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则这样的直线l有()A4条 B3条 C2条 D1条答案B解析因为双曲线方程为x21，则P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的直线有3条2若直线ykx与双曲线4x2y216相交，则实数k的取值范围为()A(2,2) B2,2)C(2,2 D2,2答案A解析易知k2，将ykx代入4x2y216得关于x的一元二次方程(4k2)x2160，由0可得2k0，b0)的左焦点为F(c,0)，过点F且斜率为
13、1的直线与双曲线C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(2c,0)，则双曲线C的离心率为()A. B C D2答案D解析设线段AB的中点坐标为(x0，y0)，则有x0， y0c，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程有1，1，两式相减，得0，可得10，即，b23a2，c2a，e2.故选D.5已知双曲线1(a0，b0)的离心率为，过其右焦点F作斜率为2的直线，交双曲线的两条渐近线于B，C两点(B点在x轴上方)，则()A2 B3 C2 D2答案B解析由双曲线的离心率为，可得ca，即有ab，则双曲线的渐近线方程为yx，如图，右焦点为F(c,0)，过点F作斜率为2的直线方
14、程为y2(xc)，由yx和y2(xc)，可得B(2c,2c)，由yx和y2(xc)可得C，设，即有02c，解得3，则3.故选B.6(2022南昌联考)已知双曲线C：1(a0，b0)，过左焦点F作斜率为的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且A在第一象限，若|OA|OF|(O为坐标原点)，则双曲线C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx答案B解析解法一：由题意可得直线AF的方程为y(xc)，双曲线C过第一、三象限的渐近线的方程为yx.由得所以A.因为|OA|OF|c，所以22c2，整理可得3b4a，即，所以双曲线C的渐近线方程为yx.解法二：设双曲线C的右焦点为F，连接AF，因为|OA|
15、OF|，所以|OA|OF|OF|，所以AFF为直角三角形，AFAF，因为直线AF的斜率为，所以tanAFF，又tanAFF，所以，令|AF|t，则|AF|2t，由勾股定理得t2(2t)2(2c)2，所以tc，即|AF|c，所以cosAOF，所以sinAOF，tanAOF，则双曲线C的渐近线方程为yx.解法三：设双曲线的右焦点为F，连接AF，因为|OA|OF|，所以|OA|OF|OF|，所以AFF为直角三角形，AFAF，即点A在以FF为直径的圆上，所以AOF2AFF.因为直线AF的斜率为，所以tanAFF，所以tanAOF，则双曲线C的渐近线方程为yx.故选B.7已知双曲线E的中心为原点，F(3
16、,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则双曲线E的方程为()A.1 B1C.1 D1答案B解析kAB1，直线AB的方程为yx3.由于双曲线的焦点为F(3,0)，c3，c29.设双曲线E的标准方程为1(a0，b0)，则1.整理，得(b2a2)x26a2x9a2a2b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22(12)，a24a24b2，5a24b2.又a2b29，a24，b25.双曲线E的方程为1.故选B.8过点C(0，1)的直线与双曲线1右支交于A，B两点，则直线AB的斜率的取值范围为()A.B. C(1,1)D.答案A解析设A(x1，
17、y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为ykx1，由消去y，得(23k2)x26kx90.x1x2，x1x2.直线AB与双曲线的右支有两个不同的交点，即解得k0，b0)的一条渐近线方程为x2y0，A，B是C上关于原点对称的两点，M是C上异于A，B的动点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，若1k12，则k2的取值范围为()A. BC. D答案A解析双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为x2y0，a2b，则双曲线的方程为1(b0)，设A(x1，y1)，M(x0，y0)，则B(x1，y1)，所以，即k1k2，1k12，k2.故选A.10已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，
18、过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|2a，F1AF2，则()A1 B C D答案B解析如图所示，由双曲线定义可知|AF2|AF1|2a.又|AF1|2a，所以|AF2|4a，因为F1AF2，所以SAF1F2|AF1|AF2|sinF1AF22a4a2a2.由双曲线定义可知|BF1|BF2|2a，所以|BF1|2a|BF2|，又知|BF1|2a|BA|，所以ABF2为等边三角形，边长为4a，所以SABF2|BA|2(4a)24a2，所以.故选B.二、多项选择题11(2021河北唐山二模)已知双曲线C：x21(a0)，其上、下焦点分别为F1，F2，O为坐标原点过双曲线
19、上一点M(x0，y0)作直线l，分别与双曲线的渐近线交于P，Q两点，且点M为PQ的中点，则下列说法正确的是()A若ly轴，则|PQ|2B若点M的坐标为(1,2)，则直线l的斜率为C直线PQ的方程为x0x1D若双曲线的离心率为，则OPQ的面积为2答案ACD解析若ly轴，则直线l过双曲线的顶点，M(0，a)，双曲线的渐近线方程为yax，易得P，Q两点的横坐标为1，|PQ|2，故A正确；若点M的坐标为(1,2)，则a，易得双曲线的渐近线方程为y22x20，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y2x0，y2x0，两式作差可得，yy2x2x，即2，kl21，故B错误；若M(x0，y0)，利用点差法同
20、样可得kla2，直线PQ的方程为yy0(xx0) ，即y0yya2x0xa2x，y0ya2x0xya2xa2，x0x1，故C正确；若双曲线的离心率为，则双曲线的方程为x21，渐近线方程为y2x，设P(x1,2x1)，Q(x2，2x2)， SOPQ2|x1x2|，联立方程可得x1，同理可得x2，SOPQ2|x1x2|2|2，故D正确故选ACD.12(2021济南历城第二中学模拟)已知双曲线C：y21(a0)，若圆(x2)2y21与双曲线C的渐近线相切，则()A双曲线C的实轴长为6B双曲线C的离心率eC点P为双曲线C上任意一点，若点P到C的两条渐近线的距离分别为d1，d2，则d1d2D直线yk1x
21、m与C交于A，B两点，点D为弦AB的中点，若OD(O为坐标原点)的斜率为k2，则k1k2答案BCD解析由题意知双曲线C的渐近线方程为xay0，所以1，解得a，所以实轴长为2，半焦距c2，所以e，故A错误，B正确；设P(x0，y0)，所以d1，d2，所以d1d2，故C正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1，y1，两式相减，得(y1y2)(y1y2)0，所以(y1y2)0，(y1y2)k10，所以2k10，所以xDyD2k10，所以2k10，所以k22k10，所以k1k2，故D正确故选BCD.三、填空题13已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线l与双曲线
22、的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是_.答案2，)解析由题意，知，则3，所以e2.14已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线的一个交点为P，且PF1F2，则双曲线的渐近线方程为_.答案yx解析根据已知可得，|PF2|且|PF1|，故2a，所以2，双曲线的渐近线方程为yx.15(2019全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，0，则C的离心率为_.答案2解析解法一：由，得A为F1B的中点又O为F1F2的中点，OABF2.又0，F1BF290.|OF2
23、|OB|，OBF2OF2B.又F1OABOF2，F1OAOF2B，BOF2OF2BOBF2，OBF2为等边三角形如图1所示，点B在直线yx上，离心率e2.解法二：0，F1BF290.在RtF1BF2中，O为F1F2的中点，|OF2|OB|c.如图2，作BHx轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得，且|BH|2|OH|2|OB|2c2，|BH|b，|OH|a，B(a，b)，F2(c,0)又，A为F1B的中点OAF2B，c2a，离心率e2.16双曲线1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_.答案解析双曲线1的右顶点为A(3,0)，右焦点为F
24、(5,0)，渐近线方程为yx.不妨设直线FB的方程为y(x5)，代入双曲线方程整理，得x2(x5)29，解得x，y，所以B.所以SAFB|AF|yB|(ca)|yB|(53).四、解答题17(2022杭州模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)如图，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足|，|，|成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P.(1)求证：；(2)若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点E，D，求双曲线的离心率e的取值范围解(1)证明：双曲线的渐近线方程为yx，F(c,0)，所以直线l的斜率为，所以直线l：y(xc)由得P，因为|，|，|成等比数列，所
25、以xAca2，所以xA，A，所以，则.(2)设点E，D的横坐标分别为x1，x2.由得x22cx0，0，x1x2，因为点E，D分别在左、右两支上，所以a2，所以e22，所以e.18已知直线yax1与双曲线3x2y21交于A，B两点(1)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；(2)是否存在这样的实数a，使A，B两点关于直线yx对称？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由解(1)由消去y，得(3a2)x22ax20.依题意即a0，所以k210.所以2.综上所述，当ABx轴时，取得最小值2.20(2022聊城摸底)如图，已知直线y2x是双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线，点A(1,0)，M
26、(m，n)(n0)都在双曲线C上，直线AM与y轴相交于点P，设坐标原点为O.(1)求双曲线C的方程，并求出点P的坐标(用m，n表示)；(2)设点M关于y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q.问：在x轴上是否存在定点T，使得TPTQ？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若过点D(0,2)的直线l与双曲线C交于R，S两点，且|，试求直线l的方程解(1)由已知，得故双曲线C的方程为x21.(m1，n)为直线AM的一个方向向量，直线AM的方程为，它与y轴的交点为P.(2)由条件，得N(m，n)，且(m1，n)为直线AN的一个方向向量，故直线AN的方程为，它与y轴的交点为Q.假设在x轴上存在定点T(x0,0)，使得TPTQ，则0.由， ，及m21，得xxx40.故x02，即存在定点T，其坐标为(2,0)或(2,0)，满足题设条件(3)由|知，以OR，OS为邻边的平行四边形的对角线的长相等，故此四边形为矩形，从而.由已知，可设直线l的方程为ykx2，并设R(x1，y1)，S(x2，y2)，则由得(k24)x24kx80.由16k232(k24)16(8k2)0，及k240，得k28且k24，(*)由x1x2，x1x2，y1y2(kx12)(kx22)，得x1x2y1y2(k21)x1x22k(x1x2)440，故k22，符合约束条件(*)因此，所求直线l的方程为yx2.
