1、第5讲椭圆(一)1椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P表示椭圆；(2)若ac，则集合P表示线段；(3)若ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|
2、2c焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)离心率e(0,1)a，b，c的关系c2a2b2椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形如图所示，设F1PF2.(1)当P为短轴端点时，最大(2)S|PF1|PF2|sinb2tanc|y0|，当|y0|b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.(3)焦点三角形的周长为2(ac)(4)4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos.1已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4，0)，则m()A2 B3 C4 D9答案B解析由4(m0)m3，故选B.2设P是椭圆1上的点，若F1
3、，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4 B5 C8 D10答案D解析依椭圆的定义知，|PF1|PF2|2510.故选D3已知椭圆1(ab0)的离心率为，则()Aa22b2 B3a24b2Ca2b D3a4b答案B解析因为椭圆的离心率e，所以a24c2.又a2b2c2，所以3a24b2.故选B.4已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C的方程是()A1 B1C1 D1答案D解析依题意，设椭圆方程为1(ab0)，所以解得a29，b28.故椭圆C的方程为1.故选D5(2022河北邢台诊断考试)已知点P(x1，y1)是椭圆1上的一点，F1，F2是其左、右焦点
4、，当F1PF2最大时，PF1F2的面积是()A B12C16(2) D16(2)答案B解析椭圆的方程为1，a5，b4，c3，F1(3,0)，F2(3,0)根据椭圆的性质可知当点P与短轴端点重合时，F1PF2最大，此时PF1F2的面积S23412，故选B.6若方程1表示椭圆，则k的取值范围是_.答案(3,4)(4,5)解析由已知得解得3k5且k4.考向一椭圆的定义及其应用例1(1)已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线答案B解析点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|PN|.又AM
5、是圆的半径，所以|PM|PN|PM|PA|AM|6|MN|.由椭圆的定义知，动点P的轨迹是椭圆(2)如图，椭圆1(a2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若F1PF260，那么PF1F2的面积为()A BC D答案D解析由题意知|PF1|PF2|2a，|F1F2|24a216，由余弦定理得4a216|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60，即4a216(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|，|PF1|PF2|，SPF1F2|PF1|PF2|sin60，故选D(1)椭圆定义的应用范围确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆解决与焦点有关的距离问题(2)焦点三角形
6、的应用椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等1(多选)(2021济南模拟)已知P是椭圆1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cosF1PF2，则()APF1F2的周长为12BSPF1F22C点P到x轴的距离为D2答案BCD解析由椭圆方程知a3，b2，所以c，所以|PF1|PF2|6，于是PF1F2的周长为2a2c62，故A错误；在PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|
7、PF1|PF2|cosF1PF2，所以20362|PF1|PF2|PF1|PF2|，解得|PF1|PF2|6，故SPF1F2|PF1|PF2|sinF1PF262，故B正确；设点P到x轴的距离为d，则SPF1F2|F1F2|d2d2，所以d，故C正确；|cosF1PF262，故D正确2与圆C1：(x3)2y21外切，且与圆C2：(x3)2y281内切的动圆圆心P的轨迹方程为_.答案1解析设动圆的半径为r，圆心P(x，y)，则有|PC1|r1，|PC2|9r，所以|PC1|PC2|10|C1C2|，即点P在以C1(3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，即点P的轨迹方程为1.考向二
8、椭圆的标准方程例2(1)(2019全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()Ay21 B1C1 D1答案B解析设椭圆的标准方程为1(ab0)，由椭圆定义可得|AF1|AB|BF1|4a.|AB|BF1|，|AF1|2|AB|4a.又|AF2|2|F2B|，|AB|AF2|，|AF1|3|AF2|4a.又|AF1|AF2|2a，|AF2|a，A为椭圆的短轴端点如图，不妨设A(0，b)，又F2(1,0)，2，B.将B点坐标代入椭圆方程1，得1，a23，b2a2c22.椭圆C的方程为1.故选B.
9、(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(，)，则该椭圆的方程为_.答案1解析设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)因为椭圆经过P1，P2两点，所以点P1，P2的坐标满足椭圆方程，则解得所以所求椭圆的方程为1. 求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法：根据椭圆的定义确定2a,2c，然后确定a2，b2的值，再结合焦点位置写出椭圆的标准方程(2)待定系数法：具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，那么要考虑是否有两解有时为了解题方便，也可把椭圆方程设成mx2ny21(m0，n0，mn)的形式
10、解题步骤如下：3.(多选)已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为()A1 B1C1 D1答案BD解析因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以解得a5，b225169.所以当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为1；当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为1.4(2021苏州模拟)已知椭圆的两个焦点为F1(，0)，F2(，0)，M是椭圆上一点，若MF1MF2，|MF1|MF2|8，则该椭圆的方程是()A1 B1C1 D1答案C解析设|MF1|m，|MF2|n，因为MF1MF2，|MF1|MF2|8，|F1F2|2，所以m2n220，mn8，所以(m
11、n)236，所以mn2a6，所以a3.因为c，所以b2.所以椭圆的方程是1.多角度探究突破考向三椭圆的几何性质角度离心率问题例3(1)椭圆1(ab0)的一个焦点为F1，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为()A B C D答案D解析设线段PF1的中点为M，另一个焦点为F2，由题意知，|OM|b，又OM是F2PF1的中位线，|OM|PF2|b，|PF2|2b，由椭圆的定义知|PF1|2a|PF2|2a2b.又|MF1|PF1|(2a2b)ab，|OF1|c，在RtOMF1中，由勾股定理得(ab)2b2c2，又a2b2c2，可得2a3b，故有
12、4a29b29(a2c2)，由此可求得离心率e，故选D(2)(2022泰安模拟)已知椭圆1(ab0)的半焦距为c，且满足c2b2ac0，则该椭圆的离心率e的取值范围是_.答案解析c2b2ac0，c2(a2c2)ac0，即2c2a2ac0，10，即2e2e10，解得1e.又0e1，0e.椭圆的离心率e的取值范围是.角度与椭圆有关的最值(范围问题)例4(1)设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点，若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A(0,19，) B(0，9，)C(0,14，) D(0，4，)答案A解析由题意知，当M在短轴顶点时，AMB最大如图1，当焦点在x轴，即m3时，a，b，ta
13、ntan60，03时，a，b，tantan60，m9.综上，m的取值范围是(0,19，)，故选A(2)(2021全国乙卷)设B是椭圆C：y21的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为()A B C D2答案A解析由P在C上，设P(x0，y0)，则y1，又B(0，1)，所以|PB|2x(y01)2，由y1，得x55y，y01,1，代入上式，得|PB|255y(y01)2，化简，得|PB|242，y01,1因此当且仅当y0时，|PB|的最大值为.故选A1求椭圆的离心率的方法(1)直接求出a，c来求解，通过已知条件列方程组，解出a，c的值(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的
14、二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率2椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式，例如，axa，byb,0e1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等式5.若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2 B3 C6 D8答案C解析由题意，O(0,0)，F(1,0)，设P(x，y)，则(x，y)，(x1，y)，x(x1)y2x2y2x.又1，y23x2，x2x3(x2)22.2x2，当x2时，有最大值6.6(多选)(2022海南模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|
15、2，点P(1,1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是()A|QF1|QP|的最小值为2a1B椭圆C的短轴长可能为2C椭圆C的离心率的取值范围为D若，则椭圆C的长轴长为答案ACD解析由题意可知2c2，则c1，因为点Q在椭圆上，所以|QF1|QF2|2a，|QF1|QP|2a|QF2|QP|，又1|QF2|QP|1，所以A正确；因为点P(1,1)在椭圆内部，所以b1,2b2，所以B错误；因为点P(1，1)在椭圆内部，所以1，即b2a2a2b20，又c1，b2a2c2，所以(a21)a2a2(a21)0，化简可得a43a210，解得a2或a2(舍去)，则椭圆C的离心率e，所以C正确；由可得
16、，F1为PQ的中点，而P(1,1)，F1(1,0)，所以Q(3，1)，|QF1|QF2|2a，所以D正确故选ACD7已知F1，F2是椭圆1(ab0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使F1PF290，则椭圆的离心率的取值范围是_.答案解析若存在点P，则圆x2y2c2与椭圆有公共点，则F1BF290(B为短轴端点)，即bca，即b2c2，a2c2c2，a22c2，e1.椭圆中最值问题的求解方法1已知点F1，F2是椭圆x22y22的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|的最小值是()A0 B1 C2 D2答案C解析解法一：设P(x0，y0)，则(1x0，y0)，(1x0，y0)，所以(2x0，
17、2y0)，所以|22.因为点P在椭圆上，所以0y1，所以当y1时，|取最小值2.故选C解法二：设P(x0，y0)，由2，得|2|P|2，因为点P在椭圆上，所以x2y2，且0y1，则222，当y1时，|取最小值2.故选C2已知F是椭圆1的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，求|PA|PF|的最大值和最小值解由题意知a3，b，c2，F(2,0)设椭圆右焦点为F，则|PF|PF|6，所以|PA|PF|PA|PF|6.当P，A，F三点共线时，|PA|PF|取到最大值|AF|，或者最小值|AF|.所以|PA|PF|的最大值为6，最小值为6.答题启示椭圆中距离的最值问题一般有两种解法：(1)
18、利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e)；(2)根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上)对点训练1在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，1)，则|PA|PB|的最大值为()A5 B4 C3 D2答案A解析椭圆的方程为1，a24，b23，c21，B(0，1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C(0,1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB|PC|4，|PB|4|PC|，|PA|PB|4|PA|PC|4|AC|5，即|PA|PB|的最大值为5.2设P，Q分别为圆x2(y6)2
19、2和椭圆y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A5 BC7 D6答案D解析设椭圆上任意一点为Q(x，y)，且x，1y1，则圆心(0，6)到点Q的距离d，当y时，dmax5，P，Q两点间的最大距离ddmax6.3(2022湖北宜昌质检)如图，焦点在x轴上的椭圆1的离心率e，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则的最大值为_.答案4解析由题意知a2，因为e，所以c1，所以b2a2c23.所以椭圆方程为1.设P点坐标为(x0，y0)，所以2x02，y0 .因为F(1，0)，A(2,0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)，所以xx02yxx01(x02)2.当x02时，取得最
20、大值4.一、单项选择题1若椭圆C：1(ab0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为()A B C D答案C解析因为椭圆的短轴长等于焦距，所以bc，所以a2b2c22c2，所以e，故选C2(2021新高考卷)已知F1，F2是椭圆C：1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|MF2|的最大值为()A13 B12 C9 D6答案C解析由椭圆的定义可知，|MF1|MF2|2a6.由基本不等式可得|MF1|MF2|229，当且仅当|MF1|MF2|3时等号成立故选C3已知椭圆1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于()A5 B6 C9 D10答案C解析由椭圆1的长轴在y轴上，且焦距为4，可得2，解得m9.故选C
21、4椭圆1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于()A2 B4 C8 D答案B解析设椭圆的另一焦点为F2，则在MF1F2中，|ON|MF2|(2a|MF1|)(102)4，故选B.5(2021湖南高三月考)明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图1所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图2所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图3所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆已知图1,2,3中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为，设图1,2,3中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，则()Ae1e3e2 Be2e3e1Ce1e2e3 De2e1e3答案A解析因为椭圆的离心率e，所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大
22、，离心率越大因为1.44，1.24，1.43，则，所以e1e3e2.故选A6(2022苏州摸底)如图，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆上的点P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形F1F2PQ为菱形，则该椭圆的离心率为()A B C1 D1答案B解析由题意，F1(c,0)，F2(c,0)，因为四边形F1F2PQ为菱形，所以P(2c，c)，将点P的坐标代入1，可得1，整理得4c48a2c2a40，所以4e48e210，因为0eb0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()A B2 C2 D答案D
23、解析设|F1F2|2c，|AF1|m，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|AF1|m，|BF1|m.由椭圆的定义可得F1AB的周长为4a，即有4a2mm，即m(42)a，则|AF2|2am(22)a，在RtAF1F2中，|F1F2|2|AF1|2|AF2|2，即4c24(2)2a24(1)2a2，即有c2(96)a2，即c()a，即e，故选D9如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|OF|且|PF|6，则椭圆C的方程为()A1 B1C1 D1答案C解析由题意可得c5，设右焦点为F，连接PF，由|OP|OF|OF|FF|，知FPF90
24、，即PFPF.在RtPFF中，由勾股定理，得|PF| 8，由椭圆定义，得|PF|PF|2a6814，从而a7，得a249，于是b2a2c2725224，所以椭圆C的方程为1，故选C10(2021全国乙卷)设B是椭圆C：1(ab0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|2b，则C的离心率的取值范围是()A BC D答案C解析依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|b，1，可得xa2y，则|PB|2x(y0b)2xy2by0b2y2by0a2b24b2.因为当y0b时，|PB|24b2，所以b，得2c2a2，所以离心率e，故选C二、多项选择题11(2021汕头二模)202
25、1年2月10日19时52分，首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附近一点P变轨进入以火星星球球心F为一个焦点的椭圆轨道(环火轨道)绕火星飞行，2021年2月24日6时29分，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道(火星停泊轨道)，且测得该轨道近火点m千米、远火点n千米，火星半径为r千米，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，则下列结论正确的是()Aa1c1a2c2Ba1c1a2c2C椭圆轨道的短轴长为2Da2c1a2，b1b2，c1c2，a1c1a2c2，故A错误；|PF|a1c1a2c2，
26、故B正确；轨道的短轴长为2b2222，故C正确；由a1c1a2c2得a1c2a2c1，两边平方得ac2a1c2ac2a2c1，即b2a1c2b2a2c1，由于b1b20，故bb，a1c2b0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为_.答案解析设|PF2|m，PF2F1F2，PF1F230，|PF1|2m，|F1F2|m.又|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c，2a3m,2cm，C的离心率为e.14(2019全国卷)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_.答案(3，)解析设F1为
27、椭圆的左焦点，分析可知M在以F1为圆心、焦距为半径的圆上，即在圆(x4)2y264上因为点M在椭圆1上，所以联立方程可得解得又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，)15设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点是同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆的方程为_，离心率为_.答案1或1解析焦点与椭圆上的点的最短距离为ac，又a2c，c，a2，b3，椭圆的方程为1或1.离心率e.16(2021全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为_.答案8解析由|PQ|F1F2|，得|
28、OP|F1F2|(O为坐标原点)，所以PF1PF2，又由椭圆的对称性，知四边形PF1QF2为平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形设|PF1|m，则|PF2|2a|PF1|8m，则|PF1|2|PF2|2m2(8m)22m26416m|F1F2|24c24(a2b2)48，得m(8m)8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|PF2|m(8m)8.四、解答题17已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF260.(1)求椭圆的离心率的取值范围；(2)求证：PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关解(1)设椭圆的方程为1(ab0)，|PF1|m，|PF2|n，则mn2a.在PF1F2
29、中，由余弦定理可知，4c2m2n22mncos60(mn)23mn4a23mn4a2324a23a2a2(当且仅当mn时取等号)，即e.又0eb0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围解(1)连接PF1.由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的离心率为e1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|2c16，1，1，即c|y|16，x2y2c2，1.由及a2
30、b2c2得y2.又由知y2，故b4.由及a2b2c2得x2(c2b2)，所以c2b2，从而a2b2c22b232，故a4.当b4，a4时，存在满足条件的点P.所以b4，a的取值范围为4，)19(2022武汉高三预测)已知椭圆C的两个顶点分别为A(2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：BDE与BDN的面积之比为45.解(1)设椭圆C的方程为1(ab0)由题意得解得c.所以b2a2c21.所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：设M(m，n)，则D(m,0)，N(m
31、，n)由题设知m2，且n0.直线AM的斜率kAM，故直线DE的斜率kDE.所以直线DE的方程为y(xm)直线BN的方程为y(x2)联立解得点E的纵坐标为yE.由点M在椭圆C上，得4m24n2，所以yEn.又SBDE|BD|yE|BD|n|，SBDN|BD|n|，所以BDE与BDN的面积之比为45.20(2020全国卷)已知椭圆C：1(0m5)的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线x6上，且|BP|BQ|，BPBQ，求APQ的面积解(1)C：1(0m5)，a5，bm，根据离心率e，解得m或m(舍去)，C的方程为1，即1.(2)过点P作x轴的垂线，垂
32、足为M，设直线x6与x轴的交点为N，根据题意画出图象，如图|BP|BQ|，BPBQ，PMBBNQ90，PBMQBN90，BQNQBN90，PBMBQN.PMBBNQ.1.B(5,0)，|PM|BN|651.设P点坐标为(xP，yP)，不妨设yP0，可得P点纵坐标为yP1，将其代入1，可得1，解得xP3或xP3，P点坐标为(3,1)或(3,1)当P点坐标为(3,1)时，|MB|532，PMBBNQ，|MB|NQ|2，Q点坐标为(6,2)，画出图象，如图由A(5,0)，Q(6,2)，可求得直线AQ的方程为2x11y100，点P到直线AQ的距离为d，|AQ|5，APQ面积为5.当P点坐标为(3,1)时，|MB|538，PMBBNQ，|MB|NQ|8，Q点坐标为(6,8)画出图象，如图由A(5,0)，Q(6,8)，可求得直线AQ的方程为8x11y400，点P到直线AQ的距离为d，|AQ|，APQ面积为.综上所述，APQ的面积为.
