1、高考资源网（） 您身边的高考专家2020-2021学年广东省梅州市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1（5分）设复数是虚数单位），则ABCD2（5分）一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为ABCD3（5分）设、为两个互斥事件，且（A），（B），则下列各式错误的是AB（A）（B）CD（A）（B）4（5分）已知，是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列结论正确的是A若，则B若，则C若，则D若，则5（5分）已知平面向量，与垂直，则是AB1CD
2、26（5分）已知一组样本数据，且，平均数，则该组数据的方差A1BC2D7（5分）祖暅（公元世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立据此，短轴长为，长半轴为的椭半球体的体积是ABCD8（5分）已知长方体的高，
3、则当最大时，二面角的余弦值为ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9（5分）已知复数满足是虚数单位），则下列关于复数的结论正确的是AB复数的共轭复数为C复平面内表示复数的点位于第三象限D复数是方程的一个根10（5分）已知的内角，所对边的长分别为，若满足条件的有两个，则的值可以是ABC3D411（5分）在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说
4、法中正确的是A成绩在，的考生人数最多B不及格的考生人数为500C考生竞赛成绩的众数为75分D考生竞赛成绩的中位数约为75分12（5分）正方体中，是棱的中点，在侧面上运动，且满足平面以下命题正确的有A侧面上存在点，使得B直线与直线所成角可能为C平面与平面所成锐二面角的正切值为D设正方体棱长为1，则过点、的平面截正方体所得的截面面积最大为三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13（5分）向量，满足，与的夹角为，则14（5分）某校为了普及“一带一路“知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这1
5、0名同学成绩的极差为，分位数是15（5分）重庆一中高一、高二、高三的模联社团的人数分别为25，15，10，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取5名同学，若从这5名同学中再随机抽取2名同学承担文件翻译工作，则抽取的两名同学来自同一年级的概率为16（5分）在边长为3的菱形中，将菱形沿其对角线折成直二面角，若，四点均在某球面上，则该球的表面积为 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）在三角形中，是线段上一点，且，为线段上一点（1）若，求的值；（2）求的取值范围18（12分）如图，在正方体中，棱长为1，为
6、的中点，（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积19（12分）在；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目在中，内角，的对边分别为，且_（1）求角；（2）若，的面积为，求的周长20（12分）某校为了解高一新生对文理科的选择，对1000名高一新生发放文理科选择调查表，统计知，有600名学生选择理科，400名学生选择文科分别从选择理科和文科的学生随机各抽取20名学生的数学成绩得如下累计表：分数段理科人数文科人数，一，正 一正，正 一，（1）从统计表分析，比较选择文理科学生的数学平均分及学生选择文理科的情况，并绘制理科数学成绩的频率分布直方图（2）从考分不低于7
7、0分的选择理科和文科的学生中各取一名学生的数学成绩，求选取理科学生的数学成绩一定至少高于选取文科学生的数学成绩一个分数段的概率21（12分）如图，在三棱柱中，平面底面，为的中点，侧棱（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的余弦值22（12分）杭州西溪国家湿地公园是以水为主题的公园，以湿地良好生态环境和多样化湿地景观资源为基础的生态型主题公园欲在该公园内搭建一个平面凸四边形的休闲、观光及科普宣教的平台，如图所示，其中百米，百米，为正三角形建成后将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，将作为科普宣教湿地功能利用、弘扬湿地文化的区域（1）当时，求旅游观光、休闲娱乐的区域的面积；（2）求旅游观光、休闲娱乐
8、的区域的面积的最大值2020-2021学年广东省梅州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1（5分）设复数是虚数单位），则ABCD【考点】复数的运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：故选：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题2（5分）一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为ABCD【考点】：平面图形的直观图【分析】利用斜二测画法的过程把给出的直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶
9、点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可【解答】解：还原直观图为原图形如图所示，因为，所以，还原回原图形后，；所以原图形的面积为故选：【点评】本题考查了平面图形直观图的画法于应用问题，解题的关键是还原成原图形，是基础题3（5分）设、为两个互斥事件，且（A），（B），则下列各式错误的是AB（A）（B）CD（A）（B）【考点】互斥事件与对立事件【分析】根据已知条件，结合互斥的概念，即可求解【解答】解：、为两个互斥事件，即，故选项正确，选项错误，是必然事件，故选项正确，、为两个互斥事件，（A）（B），故选项正确故选：【点评】本题主要考查了互斥的概念，难度不大，属于
10、基础题4（5分）已知，是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列结论正确的是A若，则B若，则C若，则D若，则【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直【分析】由直线与直线平行、直线与平面平行的位置关系判定；由平面与平面平行可得两平面中直线的位置关系判定；由直线与直线、直线与平面垂直的关系分析；由直线与平面垂直的性质及面面平行的判定判断【解答】解：若，则或与相交，故错误；若，则或与异面，故错误；若，则或，故错误；若，则或，又，则，故正确故选：【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间
11、想象能力与思维能力，是基础题5（5分）已知平面向量，与垂直，则是AB1CD2【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】由于，所以，即，整理得【解答】解：，即，整理得，故选：【点评】高考考点：简单的向量运算及向量垂直；易错点：运算出错；全品备考提示：高考中每年均有相当一部分基础题，要想得到高分，这些习题均不能大意，要争取多得分，最好得满分6（5分）已知一组样本数据，且，平均数，则该组数据的方差A1BC2D【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【分析】根据已知条件，结合平均数和方差的公式，即可求解【解答】解：由题意可知，故选：【点评】本题主要考查了平均数和方差的公式，需要学生熟练掌
12、握公式，属于基础题7（5分）祖暅（公元世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立据此，短轴长为，长半轴为的椭半球体的体积是ABCD【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】利用题中给出的椭球的计算公式求解即可
13、【解答】解：由题意可知，短轴长为，长半轴为的椭半球体的体积为：故选：【点评】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于基础题8（5分）已知长方体的高，则当最大时，二面角的余弦值为ABCD【考点】：二面角的平面角及求法【分析】推导出当最大时，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值【解答】解：长方体的高，当最大时，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，设平面的法向量，则，取，得，平面的法向量，0，设二面角的平面
14、角为，结合图形得为钝角，则二面角的余弦值为故选：【点评】本题考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9（5分）已知复数满足是虚数单位），则下列关于复数的结论正确的是AB复数的共轭复数为C复平面内表示复数的点位于第三象限D复数是方程的一个根【考点】复数的运算【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一分析四个选项得答案【解答】解：由，得，故正确；，故正确；平面内表示复数的
15、点的坐标为，位于第二象限，故错误；，复数是方程的一个根，故正确故选：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题10（5分）已知的内角，所对边的长分别为，若满足条件的有两个，则的值可以是ABC3D4【考点】正弦定理【分析】因为，已知，所以的顶点、为定点，点为一边上的动点，结合图象，利用垂线段最短，讨论的取值范围【解答】解：如图，点在射线上运动过点作，垂足为在中，所以，结合图象，若满足条件的有两个，则；故选：【点评】本题是解三角形中解的个数问题，考查数形结合的思想，属于基础题11（5分）在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000
16、名生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是A成绩在，的考生人数最多B不及格的考生人数为500C考生竞赛成绩的众数为75分D考生竞赛成绩的中位数约为75分【考点】频率分布直方图【分析】由频率分布直方图，求出该组数据的众数、中位数和对应的频率和频数，即可判断命题的正误【解答】解：由频率分布直方图可知，成绩在，的频率最大，因此成绩分布在此的考生人数最多，所以正确；成绩在，的频率为，所以不及格的人数为（人，所以错误；成绩在，的频率最大，所以众数为75，即正确；成绩在，的频率和为0.4，所以
17、中位数为，即错误故选：【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了数据分析与运算求解能力，是基础题12（5分）正方体中，是棱的中点，在侧面上运动，且满足平面以下命题正确的有A侧面上存在点，使得B直线与直线所成角可能为C平面与平面所成锐二面角的正切值为D设正方体棱长为1，则过点、的平面截正方体所得的截面面积最大为【考点】命题的真假判断与应用；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法【分析】：在平面内找到点证明垂直即可；：找到与所成角的最大值进行验证即可；：找到二面角的平面角，进而求出其正切值进行验证；：找到截面面积大于，即可证明选项错误【解答】解：取中点，中点，连接，易证，从而平面平面
18、，所以点的运动轨迹为线段，取为中点，因为是等腰三角形，所以，又因为，所以，故正确；设正方体棱长为，当点与点或点重合时，直线与直线所成角最大，此时，所以错误；平面平面，取为中点，则，即为平面与平面所成的锐二面角，所以正确；当为与交点时，易知截面为菱形为中点），因为正方体棱长为1，所以，此时截面面积可以为，故错误故选：【点评】本题考查空间几何中二面角的平面角，线面垂直，线线所成角，及截面积求解的相关知识，属于中档题三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13（5分）向量，满足，与的夹角为，则【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】根据条件可求出，再由，求出的值【解答】解：，故答案为：【点评】
19、本题考查了向量数量积的运算及计算公式，向量的模，考查了计算能力，属于基础题14（5分）某校为了普及“一带一路“知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的极差为7，分位数是【考点】：极差、方差与标准差【分析】根据数表写出这组数据，再求极差和分位数【解答】解：由题意知，数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的极差是；所以数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的分位数是故答案为：7，8.5【点评】本题考查了根据数表写出数据，以及极差和分位数的应用问题，是基础题15（5分）重
20、庆一中高一、高二、高三的模联社团的人数分别为25，15，10，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取5名同学，若从这5名同学中再随机抽取2名同学承担文件翻译工作，则抽取的两名同学来自同一年级的概率为【考点】：分层抽样方法；：古典概型及其概率计算公式【分析】在高二年级抽取3人，在高三年级抽取2人，从这5名同学中再随机抽取2名同学承担文件翻译工作，基本事件总数，抽取的两名同学来自同一年级包含的基本事件个数，由此能求出抽取的两名同学来自同一年级的概率【解答】解：重庆一中高一、高二、高三的模联社团的人数分别为25，15，10，现采用分层抽样的方法从中抽取部分
21、学生参加模联会议，在高二年级和高三年级中共抽取5名同学，则在高二年级抽取：人，在高三年级抽取：人，从这5名同学中再随机抽取2名同学承担文件翻译工作，基本事件总数，抽取的两名同学来自同一年级包含的基本事件个数，则抽取的两名同学来自同一年级的概率为故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查分层抽样、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16（5分）在边长为3的菱形中，将菱形沿其对角线折成直二面角，若，四点均在某球面上，则该球的表面积为 【考点】球的体积和表面积【分析】由菱形，求解底面外接圆半径，利用球心到各顶点距离相等求解，可得结论【解答】解：由题意菱形满足，将菱形沿对角线折成一
22、个直二面角，底面是正三角形，边长为3，外接圆半径为：，外接球半径为，球心与圆心的距离为，的外接圆的半径为，是正三角形，边长为3，所以，外接球的表面积故答案为：【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）在三角形中，是线段上一点，且，为线段上一点（1）若，求的值；（2）求的取值范围【考点】平面向量数量积的性质及其运算【分析】（1）由平面向量的线性运算可得，由平面向量基本定理即可求得，的值，由此得解；（2）设，而，利用二次函数的性质即可得解【解答】解：（1），即，又，（
23、2）在中，设，由题意，又，即的取值范围为，【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查函数思想及运算求解能力，属于中档题18（12分）如图，在正方体中，棱长为1，为的中点，（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积【考点】直线与平面平行；直线与平面垂直；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）利用正方体的几何性质可证明，结合，由线面垂直的判定定理可证明平面；（2）连接，利用四边形是平行四边形，得到且，进一步证明四边形是平行四边形，可得，由线面平行的判定定理证明即可；（3）由平面，则点到平面的距离即为点到平面的距离，由等体积法求解体积即可【解答】（1）证明：在正方体中，平面，又平面，平面，
24、平面；（2）证明：连接，在正方体中，且，四边形是平行四边形，且，分别为，中点，四边形是平行四边形，平面，平面，平面；（3）由（2）得平面，点到平面的距离即为点到平面的距离，由等体积法可得，【点评】本题考查了线面垂直与线面平行的判定定理的运用，锥体体积公式的运用，对于三棱锥的体积问题，常运用等体积法求解，考查了逻辑推理能力、转化化归能力与化简运算能力，属于中档题19（12分）在；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目在中，内角，的对边分别为，且_（1）求角；（2）若，的面积为，求的周长【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）条件：利用正弦定理边化角，利用和差角公式求角条件
25、：利用正弦定理边化角，利用同角关系求角；条件：利用余弦定理求角；（2）利用余弦定理，面积公式构造方程组求解【解答】解：（1）选，由正弦定理得，即，又在中，选，由正弦定理得，又在中，选，即，由余弦定理得，（2），的面积为，又由余弦定理得，即，即，所以的周长为【点评】本题考查正余弦定理、三角形面积公式、和差角公式的应用，属于中档题20（12分）某校为了解高一新生对文理科的选择，对1000名高一新生发放文理科选择调查表，统计知，有600名学生选择理科，400名学生选择文科分别从选择理科和文科的学生随机各抽取20名学生的数学成绩得如下累计表：分数段理科人数文科人数，一，正 一正，正 一，（1）从统计表
26、分析，比较选择文理科学生的数学平均分及学生选择文理科的情况，并绘制理科数学成绩的频率分布直方图（2）从考分不低于70分的选择理科和文科的学生中各取一名学生的数学成绩，求选取理科学生的数学成绩一定至少高于选取文科学生的数学成绩一个分数段的概率【考点】：频率分布直方图；：列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（1）从统计表看出选择理科的学生的数学平均成绩高于选择文科的学生的数学平均成绩，反映了数学成绩对学生选择文理科有一定的影响；（2）利用互斥事件的加法公式，即可得出结论【解答】解：（1）从统计表看出选择理科的学生的数学平均成绩高于选择文科的学生的数学平均成绩，反映了数学成绩对学生选择文理科
27、有一定的影响，频率分布直方图如右（2）设选择理科的学生考分在，分别为事件，选择文科的学生考分在，的事件分别为，事件选取理科学生的数学成绩一定至少高于选取文科的学生的数学成绩一个分数段则，（C），由累计表可得（C）【点评】本题考查频率分布直方图，考查概率的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21（12分）如图，在三棱柱中，平面底面，为的中点，侧棱（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的余弦值【考点】直线与平面垂直；直线与平面所成的角【分析】（1）证明，结合，推出平面，即可证明（2）说明为直线与平面所成的角，解法一：过作于，连，通过求解三角形，推出直线与面所成的角的余弦值解法二：为直线与平
28、面所成的角，利用余弦定理，然后求解即可【解答】（1）证明：，为的中点，又平面平面，平面平面，平面，又平面，又，平面，平面，（2）平面平面，在平面上的射影在上，为直线与平面所成的角，解法一：过作于，连，可得平面，平面，在中，在中，在中，直线与面所成的角的余弦值为解法二：在平面上的射影在上，为直线与平面所成的角，在中，为等边三角形，在中，由（1）得，平面，又平面，在中，由余弦定理得【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题22（12分）杭州西溪国家湿地公园是以水为主题的公园，以湿地良好生态环境和多样化湿地景观资源为基础的
29、生态型主题公园欲在该公园内搭建一个平面凸四边形的休闲、观光及科普宣教的平台，如图所示，其中百米，百米，为正三角形建成后将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，将作为科普宣教湿地功能利用、弘扬湿地文化的区域（1）当时，求旅游观光、休闲娱乐的区域的面积；（2）求旅游观光、休闲娱乐的区域的面积的最大值【考点】解三角形；余弦定理【分析】（1）在中，由余弦定理可求得的值，再由正弦定理，可求得的值，从而推出，故，代入相关数据即可得解；（2）不妨设，同（1），可分别推出，另外由，可得，故，由正弦函数的图象与性质即可得解【解答】解：（1）在中，由余弦定理知，由正弦定理知，即，（2）不妨设，在中，由余弦定理知，由正弦定理知，即，当且仅当，即时，等号成立，故的面积的最大值为【点评】本题考查解三角形的实际应用，还涉及三角恒等变换的知识，熟练掌握正弦定理、余弦定理、两角和差公式和辅助角公式等常见公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/8/4 20:32:21；用户：18173447192；邮箱：18173447192；学号：22161184高考资源网版权所有，侵权必究！
