1、2021平邑一中高二（上）开学收心数学试卷一选择题（共8小题）1已知向量（5，1），（1，2m），若，则m（）ABCD2设复数z满足i，则（）AiBiC1D3如图，若一个水平放置的图形用斜二测画法作出的直观图是直角梯形ABCD，其中，ABCD，ABAD，ABAD1，CD2，则原平面图形的面积是（）ABCD34某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），将所得数据分为5组17.5，20），20，22.5），22.5，25），25，27.5），27.5，30，并整理得到如图频率分布直方图则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为（）A56B60C120D1405甲、乙、丙
2、三位同学将独立参加英语听力测试，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为p、，若三人中有人达标但没有全部达标的概率为，则p等于（）ABCD6在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，若，则+（）ABCD17如图，四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN平面PAD，则（）AMNPDBMNPACMNADD以上均有可能8某市为了解高中教师对新冠肺炎防控知识的掌握情况，调研组采用分层抽样的方法，从甲、乙、丙三所不同的高中共抽取60名教师进行调查已知甲、乙、丙三所高中分别有180名、270名、90名教师，则从乙校中应抽取的人数为（）A10B20C30D40二多选题（共
3、4小题）9设z为复数，则下列命题中正确的是（）ABz2|z|2C若|z|1，则|z+i|的最大值为2D若|z1|1，则0|z|210抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为号和号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果：记A“号骰子出现的点数为1”；B“号骰子出现的点数为2”；C“两个点数之和为8”；D“两个点数之和为7”，则（）AA与B相互独立BA与D相互独立CB与C相互独立DC与D相互独立11设向量（k，2），（1，1），则下列叙述错误的是（）A若k2时，则与的夹角为钝角B|的最小值为2C与共线的单位向量只有一个为D若|2|，则或12如图，若ABCDEFA1B1C1D1E1F1为正六棱台，则下列说法正
4、确的是（）A直线AB与C1D1是异面直线B直线AB与D1E1平行C线段BB1与FF1的延长线相交于一点D点F1到底面ABCDEF的距离大于点B1到底面ABCDEF的距离三填空题（共4小题）13已知正四棱锥PABCD的底面边长为6，侧棱长为，则该四棱锥外接球的表面积为 14某社会爱心组织面向全市征召义务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组20，25），第2组25，30），第3组30，35），第4组35，40），第5组40，45），得到的频率分布直方图如图所示若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，应从第3组抽取 名志愿者15甲、乙两人独
5、立正确解答一道数学题的概率分别是，假定两人是否正确解答互不影响，则甲、乙两人至少有一人正确解答这道题的概率为 16如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADCD，ABD是边长为2的正三角形，P是平面ABCD内的动点，设，则+的取值范围是 四解答题（共6小题）17已知1+2i是关于x的方程x2+px+q0（p，qR）的一个根，其中i为虚数单位（1）求p，q的值；（2）记复数zp+（q+4）i，求复数的模18如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，F是线段A1C1上异于点A1的一个动点，E，M分别是AD，DF的中点（1）求证：EM平面ACC1A1；（2）在棱A1D1上是否存在一点N，使得平面NEM
6、平面ACC1A1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由19如图，正三角形ABC的边长为6，E，F分别是边AB，AC上的点，且，其中x，y（0，1），N为BC的中点（1）若，求；（2）设M为线段EF的中点，若x+y1，求的最小值20如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAD为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，ABCD，ABAD，ABAD2（1）证明：平面PAD平面PCD；（2）若直线PD与平面PBC所成角的正弦值为，求CD的长度21某超市举办购物抽奖的促销活动，规定每位顾客购物满1000元，可参与抽奖，抽奖箱中放有编号分别为1，2，3，4，5的五个小球小球除编号不同外，其余均
7、相同活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为3，则获得奖金20元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金10元；若抽到其余编号的小球，则不中奖现某顾客依次有放回的抽奖两次（1）求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率；（2）求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为20元的概率22为了解某年级学生对居民家庭用电配置的了解情况，校有关部门在该年级进行了一次问卷调查（共10道题），从该年级学生中随机抽取24人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成0，2），2，4），4，6），6，8），8，10五组，得到如下频率分布直方图（1）估计这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）用分层
8、随机抽样的方法从4，6），6，8），8，10的组别中共抽取12人，分别求出抽取的三个组别的人数；（3）若从答对题数在2，6）内的人中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在2，4）内的概率参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1已知向量（5，1），（1，2m），若，则m（）ABCD解：，解得故选：D2设复数z满足i，则（）AiBiC1D解：复数z满足i，故选：C3如图，若一个水平放置的图形用斜二测画法作出的直观图是直角梯形ABCD，其中，ABCD，ABAD，ABAD1，CD2，则原平面图形的面积是（）ABCD3解：计算直观图是直角梯形ABCD的面积为：S直（1+2）1，则原平面图形的面积是：S原2S
9、直23故选：D4某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），将所得数据分为5组17.5，20），20，22.5），22.5，25），25，27.5），27.5，30，并整理得到如图频率分布直方图则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为（）A56B60C120D140解：这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）2.50.7，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为0.7200140故选：D5甲、乙、丙三位同学将独立参加英语听力测试，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为p、，若三人中有人达
10、标但没有全部达标的概率为，则p等于（）ABCD解：甲、乙、丙三位同学将独立参加英语听力测试，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为p、，三人中有人达标但没有全部达标的概率为，1（1p）（1）（1）p，解得p故选：C6在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，若，则+（）ABCD1解：AD为BC边上的中线，E为AD的中点，（），+，故选：B7如图，四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN平面PAD，则（）AMNPDBMNPACMNADD以上均有可能解：四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN平面PAD，MN平面PAC，平面PAC平面PADPA，由直线与平面平行的
11、性质定理可得：MNPA故选：B8某市为了解高中教师对新冠肺炎防控知识的掌握情况，调研组采用分层抽样的方法，从甲、乙、丙三所不同的高中共抽取60名教师进行调查已知甲、乙、丙三所高中分别有180名、270名、90名教师，则从乙校中应抽取的人数为（）A10B20C30D40解：根据分层抽样原理，可知从乙校应抽取的人数为6030（人）故选：C二多选题（共4小题）9设z为复数，则下列命题中正确的是（）ABz2|z|2C若|z|1，则|z+i|的最大值为2D若|z1|1，则0|z|2解：由题意，设za+bi（a，bR），则|z|2a2+b2，故A选项正确，z2a2b2+2abi，则z2|z|2，故B选项错
12、误，依题意设zcos+sini，则，当sin1时|z+i|的最大值为2，故C选项正确，由za+bi（a，bR），得z1a1+bi，若|z1|1，则，（a1）2+b21，则b21（a1）2，a2+b22a，b21（a1）20，0a2，则0|z|2，故D选项正确故选：ACD10抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为号和号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果：记A“号骰子出现的点数为1”；B“号骰子出现的点数为2”；C“两个点数之和为8”；D“两个点数之和为7”，则（）AA与B相互独立BA与D相互独立CB与C相互独立DC与D相互独立解：对于A，事件A发生与否与事件B发生与否相互间没有影响，A与B相互独立，
13、故A正确；对于B，P（A）P（D），P（AD），P（AD）P（A）P（D），A与D相互独立，故B正确；对于C，事件B发生与否与事件C是否发生有关系，B与C不是相互独立事件，故C错误；对于D，事件C发生与否与事件D是否发生有关系，C与D相互独立，故D错误故选：AB11设向量（k，2），（1，1），则下列叙述错误的是（）A若k2时，则与的夹角为钝角B|的最小值为2C与共线的单位向量只有一个为D若|2|，则或解：对于A，当时，所以当k2时，与不共线，又，所以与的夹角为钝角，故A正确对于B，当k0时不等式取等号，所以的最小值为 2，所以B 正确；对于C，与共线的单位向量为，即或，所以C不正确对于D，若
14、，可得，解得k2或k2，所以D不正确；故选：CD12如图，若ABCDEFA1B1C1D1E1F1为正六棱台，则下列说法正确的是（）A直线AB与C1D1是异面直线B直线AB与D1E1平行C线段BB1与FF1的延长线相交于一点D点F1到底面ABCDEF的距离大于点B1到底面ABCDEF的距离解：因为不共线的三点A，B，C1共面，且D1不在这个面内，所以AB与C1D1是异面直线，即选项A正确；因为ABDE，DED1E1，所以ABD1E1，即选项B正确；由于棱台是由一个与棱锥底面平行的平面截棱锥所得，所以BB1与FF1的延长线相交于棱锥的顶点，即选项C正确；因为棱台的上、下两个面平行，所以点F1到底面
15、ABCDEF的距离等于点B1到底面ABCDEF的距离，即选项D错误故选：ABC三填空题（共4小题）13已知正四棱锥PABCD的底面边长为6，侧棱长为，则该四棱锥外接球的表面积为 解：如图，设O为底面正方形ABCD的中心，则PO为正四棱锥的高由条件有AO，PO外接球的球心O在高PO上，设球的半径为R，则R2（POR）2+（AO）2，解得：，所以外接球的表面积为4R296故答案为：9614某社会爱心组织面向全市征召义务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组20，25），第2组25，30），第3组30，35），第4组35，40），第5组40，45），得到的频率分布直方图如
16、图所示若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，应从第3组抽取 名志愿者解：从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，应从第3组抽取的人数为63故答案为：315甲、乙两人独立正确解答一道数学题的概率分别是，假定两人是否正确解答互不影响，则甲、乙两人至少有一人正确解答这道题的概率为 解：两人至少有一人正确解答这道题的对立事件为两人都没有正确解答这道题，甲、乙两人至少有一人正确解答这道题的概率为：P1（1）（1）16如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADCD，ABD是边长为2的正三角形，P是平面ABCD内的动点，设，则+的取值范围是 解：根
17、据题意建立平面直角坐标系：直角梯形ABCD中，CBCD，ADBC，ABD是边长为2的正三角形，解得：BC1，CD，ABBDAD2，所以A（2，0），B（1，），C（0，），D（0，0），则（2，0），（1，）由|，可得点P在以C为圆心，为半径的圆上运动，该圆方程为x+（y），设P（cos，sin），则（cos+2，sin），由于，则：（cos+2，sin）（2，0）+（1，），整理得：，所以，所以+sincossin（），因为1sin（）1，所以1sin（）2，所以+的取值范围是1，2故答案为：1，2四解答题（共6小题）17已知1+2i是关于x的方程x2+px+q0（p，qR）的一个根，其中i
18、为虚数单位（1）求p，q的值；（2）记复数zp+（q+4）i，求复数的模解：（1）1+2i是关于x的方程x2+px+q0的一个根，12i是关于x的方程x2+px+q0的另一个根，由根与系数的关系可得：，解得p2，q12（2i）21+45；（2）zp+（q+4）i2+（5+4）i2i，的模为|18如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，F是线段A1C1上异于点A1的一个动点，E，M分别是AD，DF的中点（1）求证：EM平面ACC1A1；（2）在棱A1D1上是否存在一点N，使得平面NEM平面ACC1A1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由证明：（1）连接AF，则EMAF，又EM平面AC1，AF
19、平面AC1，故EM平面AC1（2）取A1D1中点N，连接EN，NM，则ENAA1，故EN平面AC1，又EM平面AC1，且EN，EM是平面NEM内两条相交直线，故平面NEM平面ACC1A1，因此存在棱A1D1中点N，即时满足题意19如图，正三角形ABC的边长为6，E，F分别是边AB，AC上的点，且，其中x，y（0，1），N为BC的中点（1）若，求；（2）设M为线段EF的中点，若x+y1，求的最小值解：【法一（基底法）】（1）当时，18（2），则，则当时，的最小值为【法二（坐标法）】以BC所在直线为x轴，其中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则N（0，0），B（3，0），C（3，0），（1）由，得，则
20、，（2），M为线段EF的中点，则，则，当时，的最小值为20如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAD为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，ABCD，ABAD，ABAD2（1）证明：平面PAD平面PCD；（2）若直线PD与平面PBC所成角的正弦值为，求CD的长度解：（1）证明：底面ABCD为直角梯形，ABCD，ABAD，可得CDAD，因为平面PAD平面ABCD，可得CD平面PAD，而CD平面PCD，所以平面PAD平面PCD；（2）设D到平面PBC的距离为h，由题意可得，解得h，又取AD的中点H，连接PH，可得PHAD，由平面PAD平面ABCD，可得PH平面ABCD，且PH2，设C
21、Da，可得BC，在直角三角形PAB中，PB2，在直角三角形PCD中，PC，所以PBC的面积为，BCD的面积为a2a，由VDPBCVPBCD，可得hSPBCPHSBCD，所以a，化为a232a+1120，解得a4或28即CD4或2821某超市举办购物抽奖的促销活动，规定每位顾客购物满1000元，可参与抽奖，抽奖箱中放有编号分别为1，2，3，4，5的五个小球小球除编号不同外，其余均相同活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为3，则获得奖金20元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金10元；若抽到其余编号的小球，则不中奖现某顾客依次有放回的抽奖两次（1）求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概
22、率；（2）求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为20元的概率解：（1）该顾客有放回的抽奖两次的所有的结果如下：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共有25种，两次都没有中奖的情况有（1，1），（1，5），（5，1），（5，5），共4种，两次都没有中奖的概率为P（2）两次抽奖奖金之和为20元的情况有：第一次获奖20元，第二次没有获奖，其结果有
23、（3，1），（3，5），故概率为P1，两次获奖10元，其结果有（2，2），（2，4），（4，2），（4，4），故概率为P2，第一次没有中奖，第二次获奖20元，其结果有（1，3），（5，3），故概率为P3，所求概率PP1+P2+P322为了解某年级学生对居民家庭用电配置的了解情况，校有关部门在该年级进行了一次问卷调查（共10道题），从该年级学生中随机抽取24人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成0，2），2，4），4，6），6，8），8，10五组，得到如下频率分布直方图（1）估计这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）用分层随机抽样的方法从4，6），6，8），8，10
24、的组别中共抽取12人，分别求出抽取的三个组别的人数；（3）若从答对题数在2，6）内的人中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在2，4）内的概率解：（1）在0，2），2，4），4，6），6，8），8，10的概率分别为，则估计这组数据的平均数为；（2）在4，6），6，8），8，10中分别抽取4个、6个、2个；（3）由题图可知，答对题数在4，6）中有6个，分别设为a，b，c，d，e，f，答对题数在2，4）中有3个，分别设为g，h，i，从答对题数在2，6）内的人中随机抽取2人的情况有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（a，g），（a，h），（a，i），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（b，g），（b，h），（b，i），（c，d），（c，e），（c，f），（c，g），（c，h），（c，i），（d，e），（d，f），（d，g），（d，h），（d，i），（e，f），（e，g），（e，h），（e，i），（f，g），（f，h），（f，i），（g，h），（g，i），（h，i），共有36种恰有1人答对题数在2，4）内的情况有（a，g），（a，h），（a，i），（b，g），（b，h），（b，i），（c，g），（c，h），（c，i），（d，g），（d，h），（d，i），（e，g），（e，h），（e，i），（f，g），（f，h），（f，i），共有18种故所求概率
