1、第十二章概率第二讲古典概型与几何概型练好题考点自测1.2019全国卷,3,5分两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是()A.16B.14C.13D.122.2021惠州第一次调研根据中央关于精准脱贫的要求,某市某农业经济部门随机派遣甲、乙等4位专家对3个县区进行调研,每个县区至少派1位专家,则甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为()A.16B.14C.13D.123.2020贵阳高三摸底考试某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课的时间为7:508:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8:509:30之间随机到达教室,则他
2、听第二节课的时间不少于20分钟的概率为()A.15B.14C.13D.124.2018全国卷,10,5分理图12-2-1来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.ABC的三边所围成的区域记为,黑色部分记为,其余部分记为.在整个图形中随机取一点,此点取自,的概率分别记为p1,p2,p3,则()图12-2-1A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p35.2020武汉高三模拟与数列交汇将数字1,2,3,4,5这五个数随机排成一列组成一个数列,则该数列为先减后增数列的概率为()A.120B.76
3、0C.112D.724 6.2020江苏,4,5分将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是.拓展变式1.(1)与函数交汇若a,b是从集合-1,1,2,3,4中随机选取的两个不同元素,则使得函数f(x)=x5a+xb是奇函数的概率为()A.320B.310C.925D.35(2) 2021武汉高三质检我国古人认为宇宙万物是由金、木、水、火、土这五种元素构成的,历史文献尚书洪范提出了五行的说法,到战国晚期,五行相生相克的思想被正式提出.这五种物质属性的相生相克关系如图12-2-3所示,若从这五种物质中随机选取三种,则取出的三种物质中,彼此间恰好有一个相生关系和两
4、个相克关系的概率为()图12-2-3A.35B.12C.25D.132.(1)2020湖北武汉模拟与向量交汇在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,0),B(1,2),D(3,2),动点P满足OP=OA+OB,其中0,1,0,2,+1,2,则点P落在三角形ABD内的概率为()A.12B.33C.32D.23(2)2017江苏,7,5分与函数交汇记函数f(x)=6+x-x2的定义域为D.在区间-4,5上随机取一个数x,则xD的概率是.3.采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率,先由计算器给出0到9之间取整数的随机数,指定0,1,2,3表示没有击中目标,4,5,6,7,8,9表示击中目标
5、,4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为.4.2020安徽六安一中模拟河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案,蕴含了深奥的宇宙星象密码.河图的排列结构如图12-2-8所示,一与六共宗居下,二与七同道居上,三与八为朋居左,四与九为友居右,五与十同途居中,其中白圈为阳数,黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数,则这3
6、个数中至少有2个阳数且3个数能构成等差数列的概率为()A.15B.120C.112D.340图12-2-8答 案第二讲古典概型与几何概型1.D四位同学排成一列,情况有A44=24(种),两个女生相邻,情况有A22A33=12(种),所以所求概率P=1224=12.故选D.2.A甲、乙等4位专家分到3个县区,每个县区至少派一位专家,等可能的情况共有C42C21C11A22A33=36(种),其中甲、乙两位专家派遣至同一县区等可能的情况有C21C11A22A33=6(种),所以甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率P=636=16,故选A.3.B随机到达教室总的时间长度为40分钟,第二节课8:40开始
7、,9:20结束,听第二节课的时间不少于20分钟,必须在9:00前到达教室,即8:509:00到达即可,时间长度为10分钟,由几何概型的概率计算公式知他听第二节课的时间不少于20分钟的概率P=1040=14.故选B.4.A解法一设直角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则区域的面积即ABC的面积,为S1=12bc,区域的面积S2=12(c2)2+12(b2)2-(a2)22-12bc=18(c2+b2-a2)+12bc=12bc,所以S1=S2,由几何概型的知识知p1=p2,故选A.解法二不妨设ABC为等腰直角三角形,AB=AC=2,则BC=22,所以区域的面积(即ABC的面积
8、)为S1=1222=2,区域的面积S2=12-(2)22-2=2,区域的面积S3=(2)22-2=-2.根据几何概型的概率计算公式,得p1=p2=2+2,p3=-2+2,所以p1p3,p2p3,p1p2+p3,故选A.5.B将1,2,3,4,5这五个数随机排成一列,共组成A55个数列.若排成先减后增的数列,则最小的数字1是这个数列的最小项,当1排在第2项时,第一步,先从余下的4个数字中任取1个放在第1项,有C41种方法,第二步,把剩下的3个数字按照从小到大的顺序排列在第3,4,5项,共有1种方法,所以共有C411=4(种)方法;同理当1排在第3项时有C421=6(种)方法;当1排在第4项时有C
9、431=4(种)方法.所以先减后增的数列共有4+6+4=14(个),因此将数字1,2,3,4,5随机排成一列组成一个数列,则该数列为先减后增的概率P=14A55=760,故选B.6.19将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,向上的点数共有36种情况,其中点数和为5的情况有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4种,则所求概率为436=19.1.(1)B记集合A=-1,1,2,3,4,要使函数f(x)=x5a+xb是奇函数(a,b是从A中随机选取的两个不同元素),则a,b只能是从-1,1,3中任选的两个不同元素,则所求概率P=A32A52=310.故选B.(2)B解法一依题意,基本
10、事件有C53=10(种),恰好有两个不相克关系的情况有C51C21A22=5(种),所以彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率P=1-510=12,故选B.解法二依题意,基本事件有C53=10(种),恰好有一个相生关系和两个相克关系的情况有C52C31A33=5(种),所以彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率P=510=12,故选B.解法三(列举法)依题意,三种物质间相生相克关系如下表,所以彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率P=510=12,故选B.2.(1)A由题意得OP=OA+OB=(3,0)+(1,2)=(3+,2).设P(x,y),则x=3+,y=2,解得=33
11、(x-y2),=y2,因为0,1,0,2,+1,2,所以033(x-y2)1,0y22,133(x-y2)+y22,化简得02x-y23,0y4,232x+(3-1)y43.作出不等式组表示的平面区域,如图D 12-2-1中阴影部分所示,点P位于平行四边形ABEC的内部(包含边界).记事件M为点P落在三角形ABD内,则由几何概型的概率计算公式可得所求概率为P(M)=SABCS四边形ABEC=12.故选A.(2)59由6+x-x20,解得-2x3,则D=-2,3,则所求概率为3-(-2)5-(-4)=59.3.0.4根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为75279857863669474698804595977424,所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为820=0.4.4.C从这10个数中任取3个数,共有C103=120(种)不同的结果,3个数中至少有2个阳数且3个数能构成等差数列的情况有1,2,3,3,4,5,5,6,7,7,8,9,1,4,7,3,6,9,1,3,5,3,5,7,5,7,9,1,5,9,共10种.所以这3个数中至少有2个阳数且3个数能构成等差数列的概率P=10120=112.故选C.
