1、第四节数系的扩充与复数的引入1.复数的有关概念(1)虚数单位 i作为虚数单位，i2=，实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立 i1=i，i2=-1，i3=-i，i4=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1(nN+)（2）形如 的数叫做复数，其中 和 都是实数，叫做复数z的实部，叫做复数z的虚部.对于复数a+bi(a,bR),当且仅当时，它是实数；当 时，叫做虚数；当 时，叫做纯虚数.（3）复数的相等 如果a,b,c,d都是实数，那么 a+bi=c+di ;a+bi=0 .基础梳理a+bi a a bbb=0b0 a=0且b0 a=c且b=d a=0且
2、b=0 -14.共轭复数概念 当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数用z表示，即z=a+bi,则z=(a,bR).直角坐标系 实轴 虚轴 实数 原点 纯虚数 虚数 一一对应 一一对应 2.复平面的概念 建立 来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做 ,y轴叫做 .实轴上的点都表示 ;除 外，虚轴上的点都表示 ;各象限内的点都表示 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是 的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是 的.相等 3.复数的模 设复数a+bi在复平面内对应的点是Z(a，b)到原点的距离|OZ|叫做复数z的模或绝对值，记作|z|，则|a+
3、bi|=.a-bi 22ab互为相反数 (ac)+(bd)i 交换律 5.复数的加法与减法（1）复数的加减法运算法则（a+bi）(c+di)=(a,b,c,dR).（2）复数加法的运算定律 复数的加法满足 、，即对任何z1、z2、z3C,有z1+z2=,(z1+z2)+z3=.结合律 z2+z1 z1+(z2+z3)（3）复数加、减法的几何意义 复数加法的几何意义 若复数z1、z2对应的向量OZ1,OZ2不共线，则复数z1+z2是以OZ1、OZ2为两邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数.复数减法的几何意义 复数z1-z2是连接向量OZ1、OZ2的终点，并指向被减数的向量Z2Z1所对应的复数
4、.(ac-bd)+(bc+ad)i z2z1 z1(z2z3)z1z2+z1z3 6.复数的乘法与除法 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR).（1）复数的乘法运算法则 z1z2=(a+bi)(c+di)=;交换律z1z2=;结合律(z1z2)z3=;分配律z1(z2+z3)=.（2）复数的除法运算法则 (a+bi)(c+di)=(c+di0).2222acbdbcad icdcd基础达标1.（教材改编题）在复平面内，复数 对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设复数z=3i+2,则1-z=()A.-1+3i B.-1-3i C.3+3i D
5、.3-3i 1iiD A 1.解析：,故选D.1(1)11iiiii 2.解析：由z3i2，得3i2，则1 1(3i2)13i.zz3.解析：原式1i1i0.3.(教材改编题)1+i+i2+i3=()A.I B.I C.1 D.0 112aii4.（2011深圳模拟）设a是实数，且 是实数，则a=()A.B.1 C.D.2 3212B D 4.解析：设a是实数，是实数，则a1.1(1)1(1)(1)12222aiaiiaa ii 5.（2010天津）i是虚数单位，复数 =()A.1+2i B.2+4i C.-1-2i D.2-i 31iiA 3(3)(1)121(1)(1)iiiiiii 解析
6、：，故选A.经典例题题型一 复数的有关概念【例1】已知复数z=m2(1+i)-m(3+i)-6i,则当m为何实数时，复数z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?(5)对应点在第三象限?解：z=(m2-3m)+(m2-m-6)i=m(m-3)+(m+2)(m-3)i,(1)当m=-2或m=3时,z为实数;(2)当m-2且m3时,z为虚数;(3)当m=0时,z为纯虚数;(4)当m=3时,z=0;(5)由 ,解得0m3,当m(0,3)时,z对应的点在第三象限.(3)0(2)(3)0m mmm变式1-1(2010山东改编)已知 （a,bR），其中i为虚数单位，若复数z=a+bi,则z对应的
7、点所在的象限为()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2aibii解析：由 得-ai+2=b+i,所以由复数相等 得:a=-1,b=2,所以z=a+bi=-1+2i,z=-1-2i,故选C.2aibii题型二复数的运算【例2】(1)(2011温州模拟)已知z1=5+10i，z2=3-4i，求z；（2）(2011南通模拟)已知复数z1=m+2i,z2=3-4i,若 为实数，求实数m的值.12zz21111zzz（2）又 为实数，6+4m=0,m=-.122(2)(34)(38)(64)34(34)(34)25zmimiimm iziii12zz321 212z zzz5 10
8、345 1034iiii 55 1086ii55 10868686iiii 500250100i52解(1)由题意得z=5-i.变式2-1(2011广东东莞五校联考)复数 的共轭复数为 .512i解析:的共轭复数为1+2i.512i55(12)5(12)1212(12)(12)5iiiiii题型三复数的几何意义【例3】（原创题）对任意复数z=(x2-x+1)+(3-2x+x2)i (xR)，i为虚数单位，则 对应的点所在的象限为()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1z解：x2-x+1=（x-）2+0,3-2x+x2=(x-1)2+20,z对应的点在第一象限，故 对应的点
9、在第四象限,故选D.1z1234变式3-1（2010湖北）若i为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z，则表示复数 的点是 ()A.E B.F C.G D.H 1zi解析：由点Z(x,y)的坐标知z=3+i，故 3(3)(1)2112ziiiiii因此表示复数 的点是H.1zi链接高考 1.（2010江苏）设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为 .知识准备:复数的加、减、乘、除运算法则，复数的模长计算公式.解析:由z(2-3i)=6+4i，得 即z=2i,|z|=2.64(64)(23)223(23)(23)iiiziiii2.（2010辽宁）设a,b为实数，若复数 =1+i，则()A.a=,b=B.a=3,b=1 C.a=,b=D.a=1,b=3 知识准备:1.复数的除法运算;2.复数相等的性质.12iabi3232121212iabi解析:由 =1+i,可得1+2i=(1+i)(a+bi),即1+2i=(a-b)+(a+b)i,312212aababb 3.（2010北京）在复平面内，复数 对应的点的坐标为 .知识准备:1.复数的除法运算;2.复数的几何表示.21ii解析：在复平面上对应的点的坐标为(-1,1).22(1)11(1)(1)iiiiiii 21ii
