1、 学科网（北京）股份 有限公司高一数学答案解析 第 1 页 共 10 页2023-2024 学年第一学期福州市四校教学联盟 1 月期末学业联考 高一数学答案解析一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的。题号12345678答案CABCDDCC二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。在每小题所给出的四个选项中，有多个选项是符合题意的。题号9101112答案ABDADADAD三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。13 94 14x|2k x 2k+,k Z 151
2、161C【分析】运用集合交集的定义直接求解即可【详解】因为集合=2 ，由不等式的可加性可得+，故 A 正确；当=3，=2，=4，=1时，=1，=1，故 B 错误；当=3，=2，=2，=3时，=6，=6，=，故 C 错误；当=3，=2，=2，=3时，=1，=1，=，故 D 错误.故选：A3B【分析】=|ln(1)|0恒成立，排除 CD，根据定义域排除 A，得到答案.【详解】=|ln(1)|0恒成立，排除 CD，=|ln(1)|的定义域为(1,+)，排除 A.故选：B.4C【分析】若是第二象限角或第三象限角，则cos 0，举反例得到不必要性，得到答案.【详解】若是第二象限角或第三象限角，则cos
3、0；学科网（北京）股份 有限公司高一数学答案解析 第 2 页 共 10 页若cos 0，取=，cos=1 0等价于 1，2，2+1恒成立，设()=2+1，则()=2+1=1+1 25 ，12所以命题为真命题的充要条件为 12，所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以为 1故选 C【点睛】解题的关键是得到命题为真命题时的充要条件，由于求的是命题为真时的一个充分不必要条件，故所选的范围应是充要条件对应范围的真子集，考查对充分条件、必要条件概念的理解8C【分析】由3 1 2 1，(1)(2)12(2)22，构造函数()=()2，则()=()2=2 1 2是3,1上的减函数，对实数分类讨论即可.【详解
4、】因为对任意3 1 2 1，(1)(2)12 2(1 2)，即(1)21 (2)22，构造函数()=()2，则(1)(2)，所以函数()=()2=2 1 2是3,1上的减函数.当=0时，函数()=1 2是3,1上的减函数，符合题意；学科网（北京）股份 有限公司高一数学答案解析 第 3 页 共 10 页当 0时，函数()=2 1 2图象的对称轴为直线=1，当 0时，函数()=2 1 2是3,1上的减函数，符合题意；当 13.综上所述，实数的取值范围足13,+)，故选：C.9ABD【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的单调性比较大小.【详解】A 选项：由指数函数=2为单调递增函数，可得20.3
5、20.4成立，所以A选项正确；B 选项：由幂函数=0.2为单调递增函数，可得30.2 log48，所以 C 选项不正确；D 选项：由函数=log2与=log3均为单调递增函数，则log23 log22=1，而log32 0,0，所以1+1=12(+)(1+1)=12(2+)12(2+2)=2，当且仅当=1时等号成立，所以1+1的最小值为 2，故 A 正确；对于 B，(+2)2=1，当且仅当=1时等号成立，所以的最大值为 1，故 B 错误；对于 C，(+)2=+2=2+2 4，当且仅当=1时等号成立，所以+2，即+的最大值为 2，故 C 错误；对于 D，2+2=(+)2 2=4 2 2，当且仅当
6、=1时等号成立，所以2+2的最小值为 2，故 D 正确.故选:AD.11AD【分析】利用=sin(+)+的图象与性质，对选项一一验证即可.学科网（北京）股份 有限公司高一数学答案解析 第 4 页 共 10 页【详解】对于 A：=2sin(2 3)+3的最小正周期为=22=，故 A 正确；对于 B：当512 1112 时，2 2 3 1和=4讨论并作出函数()图象，数形结合即可判断得解.【详解】由=0，得()=1，则函数=()+1的零点个数即为()=1解的个数，设()=，则()=1，二次函数=2 +1，其图象开口向上，过点(0,1)，对称轴为=2，当 1时，=2 +1在(,0上单调递减，且 1，
7、如图，由()=1，得log2=1，解得=12，由()=，得log2=12，解得=2，因此函数=()+1的零点个数是 1，A 正确，B 错误；当=4时，()=2+4+1,0log2,0，作出函数()的图象如图，由图象知()=1有 3 个根，当 0时，log2=1，解得=12；当 0时，2+4+1=1，解得=2 2，当=12时，()=12，若log2=12，则=2，若2+4+1=12，则=2 142，此时共有 3 个解；当=2+2时，()=2+2，此时log2=2+2有 1 个解，学科网（北京）股份 有限公司高一数学答案解析 第 5 页 共 10 页2+4+1=2+2，即(+2)2=1+2有 2
8、个解，当=2 2时，()=2 2，此时log2=2 2有 1 个解，2+4+1=2 2即(+2)2=1 2 0无解，因此当=4时，函数=()+1的零点个数是 7，D 正确，C 错误.故选：AD【点睛】方法点睛：关于复合函数的零点的判断问题，首先将零点问题转化为方程的解的问题；解答时要采用换元的方法，利用数形结合法，先判断外层函数对应方程的解的个数问题，继而求解内层函数对应方程的解.1394【分析】直接利用扇形的周长和扇形的面积公式求出结果.【详解】设扇形的圆心角为，半径为.所以扇形的周长为+2=6，=32,所以扇形的面积=12 2=94.故答案为：94.14|2 2+,【解析】利用偶次根式的意
9、义和对数的真数大于零，得到正弦的范围，再结合正弦函数图象特征解出自变量 x 的取值集合即可.【详解】由log12sin 0=log121知，0 sin 1，由正弦函数图象特征知，2 2+,故定义域为|2 2+,.故答案为：|2 2+,.151【分析】根据幂函数系数为1并结合单调性即可求解.【详解】由题意得2 1=1，解得=2或=1，当=2时，()=2在(0,+)上递减，不符合题意；当=1时，()=在(0,+)上递增，符合题意；故答案为：1.16【分析】根据指数函数、二次函数性质求()值域判断；由(,)上值域为(,2+)，讨论 0、0确定在,+)上值域，根据()不存在最小值，列不等式组求参数范围
10、；讨论 0，分析各分段上零点的个数判断；用特殊值=4，得到(3)=12,(4)=48,(5)=65即可判断.【详解】当=0时，()=2,02,0，在(,0)上的值域为(0,1)，在0,+)上值域为0,+).学科网（北京）股份 有限公司高一数学答案解析 第 6 页 共 10 页所以()的最小值为 0，故正确；在(,)上()的值域为(,2+)，当 0时，在,+)上值域为32,+)；当 或 ，解得 13或1 0，故正确；=2+至多一个零点，=2+2至多有两个零点，当 0，则()存在一个零点；若2+0，()不存在零点，所以 0时，()零点个数可能为 2 或 3 个；若=0，则()=2,0，即(,0)上
11、无零点，而2=0 =0，故()有一个零点，即(0)=1；若 0，则()=2+,0，无零点，,+)时，2+2=0也无解，故()无零点，即()=0；综上，()的值域为0,1,2,3，故正确；当=4时，()=2+4,42+8,4，则(3)=12,(4)=48,(5)=65，所以(3)+(5)=77 2(4)=96，故错误.故答案为：.【点睛】关键点点睛：对于，注意结合指数函数、二次函数性质，应用分类讨论分析各分段零点的可能情况.四、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分。除第 17 小题 10 分以外，每小题 12 分。17(1)(32,1)；(2)(3,+).【分析】（1）分别解不等式求出集合
12、 A，B，然后由并集运算可得；（2）根据集合包含关系，对 m 分类讨论即可.【详解】（1）3+21 1 2+31 0，解得=(32,1)，22+(2)0 (2+)(1)0当=1时，得=(12,1)，所以 =(32,1)(12,1)=(32,1).学科网（北京）股份 有限公司高一数学答案解析 第 7 页 共 10 页（2）若“”是“”的必要不充分条件，所以 AB，解方程(2+)(1)=0得=2或=1，当=2时，=，不满足题意；当2 2时，=(2,1)，因为 AB，所以2 3；当2 1，即 0)的最小正周期为，则2=，=2，学科网（北京）股份 有限公司高一数学答案解析 第 8 页 共 10 页()
13、=2sin(2+3)+1，(6)=2sin(2 6+3)+1=3+1；（2）取2 2 2+3 2+2,Z，解得 512 +12,Z，故()的单调递增区间为 512,+12,Z；（3）0,2，则2+3 3,43，当2+3=2，即=12时，()max=(12)=3；当2+3=43，即=2时，()min=(2)=3+1；故()的最大值为3，最小值为3+1.20(1)第一个函数模型=(0,1)满足要求，理由见解析，=278 (83)(2)该水域中水葫芦生长的面积在 7 月份是元旦开始研究时其生长面积的 240 倍以上【分析】（1）由随着的增大，=(0,1)的函数值增加得越来越快，而=12+(0,0)的
14、函数值增加得越来越慢求解；（2）根据题意，由278 (83)240 278 求解.【详解】（1）解：两个函数模型=(0,1),=12+(0,0)在(0,+)上都是增函数，随着的增大，=(0,1)的函数值增加得越来越快，而=12+(0,0)的函数值增加得越来越慢，在该水域中水葫芦生长的速度越来越快，即随着时间增加，该水域中水葫芦生长的面积增加得越来越快，第一个函数模型=(0,1)满足要求，由题意知，2=243=64，解得=83=278，所以=278 (83)；（2）由278 (83)240 278，解得 log83240，又log83240=lg240lg83=1+3lg2+lg33lg2 lg
15、3 5.59故 6，该水域中水葫芦生长的面积在 7 月份是元旦开始研究时其生长面积的 240 倍以上.21(1)32,12(2)不存在，理由见解析【分析】（1）求解一元二次不等式即可；（2）关于的不等式恒成立问题转化为关于的函数最值问题求解，按系数符号与轴与区间的关系分类讨论求解即可.学科网（北京）股份 有限公司高一数学答案解析 第 9 页 共 10 页【详解】（1）=2时，函数()=42+4 3，不等式()0即为42+4 3 0，即(2+3)(2 1)0，解得32 12，不等式()0的解集为32,12.（2）设()=22+2 2+1=(2 1)2+2+1，2,2，根据题意知，()0在2,2上
16、恒成立，当2 1=0时，解得=1，若=1，则()=2+1在2,2上单调递增，则()min=(2)=3 0，不符合题意；若=1，则()=2+1在2,2上单调递减，则()min=(2)=3 0，不符合题意；当2 1 0，即1 1时，()的图像为开口向下的抛物线，要使()0在2,2上恒成立，需(2)0(2)0，即42 4 3 042+4 3 0，解得 32或 32，又1 0，即 1时，()的图像为开口向上的抛物线，其对称轴方程为=12，（i）当12 2，即1 1+174，12 1，此时无解；（ii）当2 12 2，即 1+174时，()在2,12上单调递减，在12,2上单调递增，()min=(12)
17、=112 0，此时无解；（iii）当12 2，即1174 1时，()在2,2上单调递减，()min=(2)=42+4 3 0，解得 32或 12，32 1，此时无解；综上，不存在符合题意的实数.22(1)是，理由见解析；(2)当 2,2(+1)(N)时，()=sin(2)+1，且 2,+)；学科网（北京）股份 有限公司高一数学答案解析 第 10 页 共 10 页(3)存在，=2,Z.【分析】（1）利用 P 级递减周期函数定义，计算验证作答.（2）根据给定条件，利用 P 级周期函数定义，依次计算=1,2,3时解析式，根据规律写出结论作答.（3）假定存在符合题意的 k 值，利用 P 级周期函数定义
18、列出方程，探讨方程解的情况即可作答.【详解】（1）依题意，函数()=2+3定义域是 R，2()(+1)=2(2+3)(+1)2+3=2 2+2=(1)2+1 0，即 R，(+1)2()成立，所以函数()是 R 上的周期为 1 的 2 级递减周期函数.（2）因=2，=()是0,+)上的 P 级周期函数，则(+2)=()，即()=(2)，而当 0,2)时，()=sin+1，当 2,)时，2 0,2)，()=sin(2)+1，当 ,32)时，2 2,)，则()=(2)=2sin()+1，当 32,2)时，2 ,32)，则()=(2)=3sin(32)+1，当 2,2(+1)时，2 2(1),2)，则
19、()=(2)=sin(2)+1，并且有：当 0,2)时，1,2)，当 2,)时，,2)，当 ,32)时，2,22)，当 2,2(+1)时，,2)，因=()是0,+)上的严格增函数，则有 2 2 222 3 21 ，解得 2，所以当 2,2(+1)(N)时，()=sin(2)+1，且 2,+).（3）假定存在非零实数 k，使函数()=(12)cos是 R 上的周期为 T 的 T 级周期函数，即 R，恒有(+)=()成立，则 R，恒有(12)+cos(+)=(12)cos成立，即 R，恒有cos(+)=2 cos成立，当 0时，R，则 R，+R，于是得cos 1,1，cos(+)1,1，要使cos(+)=2 cos恒成立，则有 2=1，当 2=1，即2=1时，由函数=2与=1的图象存在交点知，方程2=1有解，此时cos(+)=cos恒成立，则=2,Z，即=2,Z，当 2=1，即2=1时，由函数=2与=1的图象没有交点知，方程2=1无解，所以存在=2,Z，符合题意，其中满足 2=1.
