1、山东省济南市2022届高三上学期期末考试学情检测（一模）数 学20221(满分：150分考试时间：120分钟)一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合Ax|2x4，Bx|1x5，则AB()A. x|1x2 B. x|2x5C. x|x1 D. x|x22. 复数z(其中i为虚数单位)的虚部是()A. 1 B. 1 C. i D. i3. (12x)5的展开式中，x3项的系数为()A. 40 B. 40 C. 80 D. 804. 已知函数f(x)的定义域为R，则 “f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的()A.
2、充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 已知函数f(x)A sin (x)(A0，0，0|f(3a)，则实数a的取值范围是()A. (1，4) B. (，1)(4，)C. (4，1) D. (，4)(1，)7. 酒后驾驶是严重危害交通安全的行为，某交通管理部门对辖区内四个地区(甲、乙、丙、丁)的酒驾治理情况进行检查督导，若“连续8天，每天查获的酒驾人数不超过10”，则认为“该地区酒驾治理达标”根据连续8天检查所得数据的数字特征推断，酒驾治理一定达标的地区是()A. 甲地：均值为4，中位数为5 B. 乙地：众数为3，中位数为2C. 丙地：均值为7，方差
3、为2 D. 丁地：极差为3，75%分位数为88. 已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分別是F1，F2，过点F1的直线与C交于A，B两点，且ABF1F2.现将平面AF1F2沿F1F2所在直线折起，点A到达点P处，使平面PF1F2平面BF1F2.若cos PF2B，则双曲线C的离心率为()A. B. C. 2 D. 二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知平面向量a(1，0)，b(1，2)，则下列说法正确的是()A. |ab|16 B. (ab)a2C. 向量ab与a的夹角为30
4、 D. 向量ab在a上的投影向量为2a10. 已知实数a，b，c满足abc0，则下列说法正确的是()A. B. acbc D. (ab)()的最小值为411. 在平面直角坐标系内，已知A(1，0)，B(1，0)，C是平面内一动点，则下列条件中使得点C的轨迹为圆的有()A. | B. |2|C. 0 D. 212. 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为侧面BCC1B1(不含边界)内的动点，Q为线段A1C上的动点，若直线A1P与A1B1的夹角为45，则下列说法正确的是()A. 线段A1P的长度为B. A1QPQ的最小值为1C. 对任意点P，总存在点Q，使得D1QCPD. 存在点P，使
5、得直线A1P与平面ADD1A1所成的角为60三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知抛物线y24x，作过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则AB的最小值为_14. 已知(，)，且sin cos ，则tan 的值为_15. 甲、乙两个箱子中各装有5个大小、质地均相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球抛一枚质地均匀的硬币，若硬币正面向上，从甲箱中随机摸出一个球；若硬币反面向上，从乙箱中随机摸出一个球，则摸到红球的概率为_16. 某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推，不断
6、得到新的数列如图，第一行构造数列1，2；第二行得到数列1，2，2；第三行得到数列1，2，2，4，2；，则第5行从左数起第6个数的值为_用An表示第n行所有项的乘积若数列Bn满足Bnlog2An，则数列Bn的通项公式为_四、 解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. (本小题满分10分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，a3.(1) 求角A的大小；(2) 若点D在边AC上，且，求BCD面积的最大值18.(本小题满分12分)已知数列an满足an2(1)nan3，a11，a22.(1) 记bna2n1，求数列bn的通项公式；(2) 记数列a
7、n的前n项和为Sn，求S30.18.(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，G为棱DD1上的动点(1) 求证：B，E，D1，F四点共面；(2) 是否存在点G，使得平面GEF平面BEF？若存在，求出DG的长度；若不存在，请说明理由20. (本小题满分12分)某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了100位市民进行调查结果如下：回答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人数是“非上班族”人数的；在回答 “不满意”的人中， “非上班族” 占.(1) 请根据以上数据填写下面22列联表，并依据小概率值
8、0.001的独立性检验，分析能否认为市民对于交通的满意度与是否为上班族有关联满意不满意合计上班族非上班族合计(2) 为了改善市民对交通状况的满意度，机构欲随机抽取部分市民做进一步调查规定：抽样的次数不超过n(nN*)，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到n时，抽样结束抽样结束时，记抽样的总次数为随机变量Xn，以频率代替概率 若n5，写出X5的分布列和数学期望； 请写出Xn的数学期望的表达式(不需证明)，根据你的理解说明Xn的数学期望的实际意义参考公式和数据：0.10.050.010.0050.001x02.706
9、3.8416.6357.87910.8282，其中nabcd.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)ex1(1a)xb.(1) 若曲线yf(x)在(0，f(0)处的切线方程为yex，求实数a，b的值；(2) 若不等式f(x)0恒成立，求的最小值22.(本小题满分12分)已知P为圆M：x2y22x150上一动点，点N(1，0)，线段PN的垂直平分线交线段PM于点Q.(1) 求点Q的轨迹方程；(2) 设点Q的轨迹为曲线C，过点N作曲线C的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分別为E，F，过点N作直线EF的垂线，垂足为点H，是否存在定点G，使得GH为定值？ 若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由
10、数学参考答案及评分标准1. B2. A3. D4. A5. A6. B7. C8. D9. BD10. BC11. BCD12. ABC13. 414. 15. 16. 8Bn(第一空2分，第二空3分)17. 解：(1) 因为 ， 所以 (2bc)cos Aa cos C，所以2sin B cos Asin A cos Ccos A sin Csin (AC)sin B.因为sin B0，所以cos A.因为A(0，)，所以A.(5分)(2) 因为，所以，所以SBCDSABCbc sin Abc.因为a2b2c22bc cos A，所以9b2c2bcbc，当且仅当bc时，等号成立，所以SBCD
11、bc，所以BCD面积的最大值为.(10分)18. 解：(1) 因为an2(1)nan3，令n取2n1，则a2n1a2n13，即bn1bn3，ba11，所以数列bn是以1为首项，3为公差的等差数列，所以bn3n2.(6分)(2) 令n取2n，则a2n2a2n3，所以S30(a1a3a29)(a2a4a30).由(1)可知a1a3a29b1b2b15330，a2a4a2na2(a4a6)(a28a30)22123，所以S3033023353.(12分)19. (1) 证明：连接D1E，D1F，取BB1的中点为M，连接MC1，ME.因为E为AA1的中点，所以EMA1B1C1D1，且EMA1B1C1D
12、1，所以四边形EMC1D1为平行四边形，所以D1EMC1.(2分)因为F为CC1的中点，所以BMC1F，且BMC1F，所以四边形BMC1F为平行四边形，所以BFMC1，所以BFD1E，所以B，E，D1，F四点共面(4分)(2) 以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系假设存在满足题意的点G，设G(0，0，t).(6分)由已知B(1，1，0)，E(1，0，1)，F(0，1，1)，则(1，1，0)，(0，1，1)，(1，0，t1).设平面BEF的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即取x11，则n1(1，1，1).(8分)设平面GEF的法向量为n2(x2，y2，z
13、2)，则即取x2t1，则n2(t1，t1，1).(10分)因为平面GEF平面BEF，所以n1n20，所以t1t110，所以t，所以存在满足题意的点G，使得平面GEF平面BEF，DG的长度为.(12分)20. 解：(1) 由题意知满意不满意合计上班族154055非上班族351045合计5050100(2分)零假设为H0：市民对交通的满意度与是否上班独立因为225.25310.828，(4分)根据小概率值0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为市民对交通的满意度与是否上班有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.(6分)(2) 当n5时，X5的取值为1，2，3，4，5，由(1)可知市民的
14、满意度和不满意度均为，所以P(X51)，P(X52)，P(X53)，P(X54)，P(X55)，所以X5的分布列为X512345P所以E(X5)12345.(9分)E(Xn)123(n1)n2，当n趋向于正无穷大时，E(Xn)趋向于2，此时E(Xn)恰好为不满意度的倒数，也可以理解为平均每抽取2个人，就会有一个不满意的市民(12分)21. 解：(1) 由已知f(0)eb0，所以be.又f(x)ex11a，所以kf(0)e1ae，所以a1.(4分)(2) 函数f(x)的定义域为R.因为f(x)ex11a， 若1a0，即a0，f(x)在R上单调递增，因为当x1时，f(x)(1a)xb1(1a)x|
15、b|1，所以取x011，则f(x0)0，f(x)在R上单调递增，若不等式f(x)ex1b0恒成立，则b0，(8分)所以0，即的最小值为0. 若1a1时，令f(x)0，解得xln (a1)1，令f(x)0，解得x0)，则.设g(t)(t0)，则g(t)，所以当t(0，1)时，g(t)0，g(t)单调递增；所以g(t)g(1)1，此时a2；即的最小值为1.综上所述，的最小值为1.(12分)22. 解：(1) 由题意可知圆M的圆心为(1，0)，半径为4，因为线段PN的垂直平分线交线段PM于点Q，所以QPQN，所以QNQMQPQM4.因为MN2b0)，则a2，c1，b，所以点Q的轨迹方程为1.(4分)
16、(2) 若两条直线斜率均存在，设过点E的弦所在直线l1的方程为xty1(t0)，代入椭圆方程，得(3t24)y26ty90.设l1与椭圆两交点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，所以y1y2，所以yE，则xEt1.同理xF，yF.由对称性可知EF所过定点必在x轴上，设为T(x0，0)，显然，所以(x0)(x0)，化简得4(1t2)7x0(1t2)，即x0.(8分) 若其中一条直线斜率不存在，则直线EF为x轴；综上，直线EF必过定点T(，0).取点N与点T的中点为G，则G(，0).因为NHEF，所以0，所以点H在以G为圆心，GTGH为半径的圆上运动，所以存在定点G，使得GH为定值(12分)
